R B V B V B B B NOM : Devoir de Mathématiques n°7 1S3 Une roue

NOM : ___________________________ Devoir de Mathématiques n°7
1S3
Ex1.
Une roue de fête foraine comporte huit secteurs de taille
R
B
identique dont cinq sont colorés en blanc, deux en vert et
un en rouge. La roue tourne sur son axe et s’arrête sur
B
B
un secteur, chaque secteur étant parfaitement équiprobable.
Pour jouer, un candidat à la fortune doit payer 2 €
(mise de départ) et, si la roue s’arrête sur un secteur :
V
B
• blanc, il ne gagne rien ; • vert, il gagne 3 € ;
V
B
• rouge, il gagne 7 €.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque partie associe
la somme avec laquelle le joueur repart (gain − mise de départ).
1. Décrire la loi de probabilité de X en fonction de 7 . On la présentera sous forme de tableau.
2. Déterminer E(X), l’espérance de la variable aléatoire X, si 7 = 5 €.
Le jeu est-il avantageux pour un candidat ?
3. Déterminer 7 pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire que E(X) = 0.
Calculer alors σ(X), l’écart type de la variable aléatoire X. ( arrondi au dixième )
Ex2. Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules rouges et 2 boules noires.
On tire successivement deux boules au hasard dans l’urne avec remise de la première
boule tirée.
1) Construire l’arbre des probabilités représentant la situation.
2) Déterminer la probabilité de l’événement A : « obtenir exactement une boule blanche. »
3) Déterminer la probabilité de l’événement B : « obtenir deux boules de la même
couleur. »
4) Déterminer la probabilité de l’événement C : « obtenir au moins une boule noire. »
Ex3. Dans une classe de 1ère S de 32 élèves, 12 élèves suivent l’option sport et 5 l’option
euro. On sait de plus que 3 élèves suivent les deux options.
On choisit un élève au hasard et on définit la variable aléatoire X qui associe le nombre
d’option(s) suivie(s) par l’élève.
a) Déterminer le nombre d’élèves qui suivent exactement une option.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
Ex4. On lance deux dés équilibrés à six faces, l’un rouge et l’autre vert.
On définit la variable aléatoire X donnant le plus grand diviseur commun (PGCD) des deux
nombres obtenus. Dans chaque cas indiquer la bonne réponse en justifiant.
1) Le nombre de valeurs que prend X est : a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
J
J
M
2) H(I = 6) vaut : a) 0
b)
c)
d)
3) H(I = 3) vaut : a)
J
KL
KL
b)
K
KL
L
c)
J
N
K
d)
M
K
BONUS. On considère un dé cubique parfaitement équilibré numéroté de 1 à 6.
Déterminer le nombre minimal O de lancers nécessaires afin que la probabilité d’obtenir
au moins un 6 sur les O lancers soit supérieure à 0,99.