COURS 13. 9. Transformation de Fourier dans L1(Rn). 9.1

COURS 13.
9. Transformation de Fourier dans L1 (Rn ).
9.1 Définitions.
Dans l’espace de dimension D supérieure à 1, D = n > 1, la transformation de Fourier
prend la forme suivante:
f (~r) ≡ f (x1 , x2 , ..., xn )
fˆ(~r) ≡ F [f (~r)](~p) =
(1)
Z
1
dn~re−i~p~r f (~r)
(2π)n/2
(2)
où:
p~ = (p1 , p2 , ..., pn ), p~~r = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn
(3)
La transformation réciproque:
F ∗ [fˆ(~p)](~r) =
Z
1
dn p~e−i~p~r fˆ(~p)
(2π)n/2
(4)
Cette transformation possède toutes les propriétés analogues à celles de la transformation
de Fourier dans L1 (R), voir les cours précédents. En plus, pour une fonction f (~r) radiale
(fonction f (~r) = f (r) qui ne depend que de r ≡ |~r|) sa transformée de Fourier sera aussi
une fonction radiale,
fˆ(~p) = fˆ(p), p ≡ |~p|
(5)
9.2 Transformation de Fourier d’une fonction radiale dans R3 .
f (~r) ≡ f (x1 , x2 , x3 ) = f (r), r =
fˆ(~p) =
q
x21 + x22 + x23
1 Z 3 −i~p~r
d ~re
f (r)
(2π)3/2
Z π
1 Z ∞ 2 Z 2π
=
r dr
dϕ
sin ΘdΘe−ipr cos Θ f (r)
3/2
(2π)
0
0
0
1
(6)
(7)
Nous sommes passés aux coordonnées sphériques avec l’axe polaire dans la direction du
vecteur p~. Ensuite, en passant à la variable µ:
µ = cos Θ, dµ = − sin ΘdΘ
Θ : 0 → π, µ : 1 → −1
(8)
et faisant l’intégration sur µ et ϕ, on obtient:
fˆ(~p) =
Z +1
1 Z∞ 2
r drf (r)2π
dµe−iprµ
3/2
(2π)
0
−1
2π Z ∞ 2
1
=
(e−ipr − eipr )
r drf (r)
3/2
(2π)
−ipr
0
2π Z ∞ 2
2 sin(pr)
=
r drf (r)
3/2
(2π)
pr
0
(9)
Finalement:
4π Z ∞
rdr sin(pr)f (r)
(10)
(2π)3/2 p 0
On observe que, pour f (~r) = f (r) radiale, fˆ(~p) est bien une fonction de p seulement,
fˆ(~p) = fˆ(p) =
donc radiale.
Exemple.
f (r) =
fˆ(p) =
e−mr
r
(11)
4π Z ∞
e−mr
rdr
sin(pr)
(2π)3/2 p 0
r
4π Z ∞ 1 ipr
=
dr (e − e−ipr )e−mr
(2π)3/2 p 0
2i
Z ∞
2π
=
dr(e−(m−ip)r − e−(m+ip)r )
(2π)3/2 pi 0
=
2π
1
1
2π
2ip
(
−
)=
3/2
3/2
2
(2π) pi m − ip m + ip
(2π) pi m + p2
fˆ(p) =
4π
(2π)3/2 (m2
(12)
(13)
+ p2 )
9.3 Transformation de Fourier d’une fonction radiale dans R2 .
f (~r) ≡ f (x1 , x2 ) = f (r), r =
2
q
x21 + x22
(14)
1 Z 2 −i~p~r
fˆ(~p) =
d ~re
f (r)
2π
Z 2π
1 Z∞
=
rdr
dϕe−ipr cos ϕ f (r)
2π 0
0
Z ∞
1
=
rdrf (r)2πJ0 (pr)
2π 0
(15)
Nous avons introduit:
1 Z 2π
dϕe−iz cos ϕ
J0 (z) =
2π 0
(16)
J0 (z) est une des fonctions spéciales, la fonction de Bessel.
Donc:
fˆ(~p) = fˆ(p) =
Z ∞
0
rdrJ0 (pr)f (r)
(17)
Exercices
Dans la mécanique quantique, l’amplitude de diffusion des particules avec l’impulsion
p~ sur un potentiel U (~r) est proportionnelle, dans l’approximation de Born, à la transformée de Fourier de U (~r), Û (~p). Dans les exercices qui suivent il est proposé de calculer
Û (~p) pour des puits de potentiel différents. Nous allons accepter dans ces exercices la
définition physique de la transformée de Fourier, définition (3) dans la partie des remarques à la fin du cours 12:
Û (~p) =
Z
d3~re−i~p~r U (~r)
(18)
Dans le cas du potentiel sphérique symétrique (U (~r) = U (r) radiale):
Û (~p) = Û (p) =
4π Z ∞
rdr sin(pr)U (r)
p 0
(19)
On se demande de calculer Û (~p) pour des potentiels suivants:
1)
(
U (~r) =
−U0 , 0 < |~r| < r0
(20)
0, ailleurs
– puits de potentiel de la Fig.1.
2)
U (~r) = −
U0
rα
– Fig.2. Donner l’intervalle des valeurs de α pour lesquelles Û (~p) existe.
3
(21)
3) Potentiel de Coulomb
U (r) = −
U0
r
(22)
Formellement Û (~p) n’existe pas, à cause de la divergence de l’intégrale correspondante.
Il est suggéré de faire le calcul de Û (~p) en utilisant deux types de régularisations:
1. U (r) = −
U0
e−mr
= lim {−U0
}
m→0
r
r
(23)
U0
U0
= lim {− α }
α→1
r
r
(24)
2. U (r) = −
–il s’agit, dans le deuxième cas de prolongement analytique dans le paramétre α.
Vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat.
4