Chapitre I Séries enti`eres - Propriétés des fonctions analytiques

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Chapitre I
Séries entières - Propriétés des fonctions analytiques
1. 1 – Panorama
P
Une série entière est une série de la forme
an z n , où z et les an sont des nombres complexes (on ne se
limitera pas dans ce cours aux séries de réels).
Nous rappelons les propriétés de convergence d’une telle série : existence d’un disque de convergence et
détermination du rayon de ce disque, convergence normale (et donc uniforme) sur tout sous-disque de rayon
strictement plus petit, divergence en tout point extérieur au disque. Puis nous nous intéresserons aux
propriétés de régularité (continuité, dérivabilité, ...) de la fonction définie comme somme de la série.
Ayant défini la notion de fonction analytique en a ∈ C (fonction développable en série entière sur un disque
centré en a), nous étudierons ensuite les propriétés de stabilité de ces fonctions par addition, multiplication,
inversion, composition.
Enfin, nous nous intéresserons à deux éléments importants, qui sont des résultats fondamentaux de la théorie
des fonctions holomorphes : le principe des zéros isolés, selon lequel une fonction analytique en tout point
d’un ouvert U de C ne possède que des racines isolées, sauf si elle est identiquement nulle, et les inégalités de
Cauchy, qui lient la taille des coefficients an de la série à la croissance de la fonction somme. La démonstration
de ces inégalités, que nous pourrions faire en utilisant des techniques de séries de Fourier, sera l’occasion de
découvrir le concept d’intégrale curviligne.
1. 2 – Séries entières : convergence
Dans tout le paragraphe,
P
an z n désigne une série entière.
1. 2. 1 – Rayon de convergence d’une série entière
Théorème 1. 2. 1
Soit R > 0 défini par
R = sup {r > 0 |
lim |an |rn = 0}
n→+∞
P
La série entière
an z n converge pour tout z tel que |z| < R et diverge pour tout z tel que |z| > R (et
dans ce cas, son terme général ne tend pas vers 0).
Si |z| = R, on ne peut rien dire a priori (il peut y avoir divergence sur tout le cercle ou sur une partie
seulement, il peut y avoir convergence sur tout le cercle).
Remarque – On peut remplacer, dans la définition de R, le fait que la suite |an |rn tend vers 0 par le
fait que cette suite est bornée.
1
P zn P zn
,
est égal à 1 (prédominance du
n
n2
comportement d’une suite géométrique par rapport à celui d’une suite arithmétique). Les comportements
de ces séries sur le cercle de convergence sont cependant différents : divergence partout pour la première,
convergence partout sauf en 1 pour la deuxième (utiliser la méthode d’Abel), convergence partout pour la
troisième.
Exemple
–
Le rayon de convergence des séries
P
zn,
Désignons par D(0, R) le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, par D(0, R) le disque fermé. Le théorème
ci-dessus indique donc qu’il y a convergence de la série entière sur D(0, R) et divergence sur le complémentaire
de D(0, R). On peut préciser “quantitativement” le résultat si l’on se place sur un disque de rayon plus petit.
Soit r < R. La série entière converge normalement (et donc uniformément) sur D(0, r).
1. 2. 2 – Méthodes de détermination de R.
Il ne faut pas négliger la méthode donnée par la définition elle-même ; associée à la maı̂trise des ordres de
grandeur (ou croissances comparées), elle permet souvent de répondre.
Dans des cas simples, on pourra néanmoins utiliser le résultat suivant (critère de d’Alembert) :
Si à partir d’un certain rang tous les an sont non nuls et si la suite
|an+1 |
converge vers ` ∈ [0, +∞],
|an |
1
.
`
On peut aussi utiliser le critère de Cauchy-Hadamard :
R=
Le rayon de convergence R verifie
p
1
= lim sup n |an |
R
n→+∞
On utilisera pour ces deux théorèmes les règles arithmétiques “étendues” :
1
1
= +∞,
= 0.
0
∞
1. 3 – Séries entières : régularité
Nous allons commencer par rappeler la définition de la continuité d’une fonction de la variable complexe, et
définir la dérivabilité d’une telle fonction.
Définition 1. 3. 1
Soit U un ouvert de C, f : U → C une fonction et z0 ∈ U .
On dit que f est continue en z0 si : ∀ε > 0, ∃α > 0 tel que si |z − z0 | < α, |f (z) − f (z0 )| < ε.
f (z) − f (z0 )
On dit que f est dérivable en z0 si la limite de
quand z tend vers z0 existe.
z − z0
Une fonction f dérivable en tout point de U est appelée fonction holomorphe sur U . On note H(U )
l’ensemble des fonctions holomorphes sur U .
La fonction z 7→ z̄ est continue sur C, mais elle n’est dérivable en aucun point de C.
Remarque – Toute fonction f de U dans C peut être aussi considérée comme une fonction f˜ de deux
variables définie sur l’ouvert correspondant à U dans R2 et à valeurs dans R2 . Si f est dérivable, f˜ est
différentiable, mais la réciproque est fausse (la conjugaison est un contre-exemple : elle est linéaire donc
différentiable, mais pas dérivable comme vu ci-dessus).
Exemple –
2
P
Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. La fonction f définie sur D(0, R) par
f : z 7→
+∞
X
an z n
n=0
est continue sur D(0, R).
P
Si la série
|an |Rn converge, la fonction f est définie et continue sur D(0, R).
Nous allons maintenant prouver que la somme d’une série entière est holomorphe sur le disque ouvert de
convergence, et que sa dérivée est la somme de la “série dérivée”.
On appelle série dérivée de la série entière
P
an z n la série
P
(n + 1)an+1 z n .
Le rayon de convergence d’une série entière est égal à celui de sa série dérivée.
P
Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. La fonction f définie sur D(0, R) par
f : z 7→
+∞
X
an z n
n=0
est dérivable sur D(0, R).
Démonstration – On pourrait utiliser des méthodes de convergence uniforme (dérivabilité de la limite
quand la suite des fonctions dérivées converge uniformément), mais on va revenir à la définition et procéder
par majorations.
Il faut donc prouver que la limite quand h tend vers 0 de
+∞
X
f (z0 + h) − f (z0 )
existe et vaut
nan z0n−1 .
h
n=1
Utilisant la définition de f , on écrit
+∞
+∞
X
(z0 + h)n − z0n
f (z0 + h) − f (z0 ) X
−
nan z0n−1 =
an
− nz0n−1
h
h
n=1
n=1
En utilisant la formule du binôme, on obtient
n
(z0 + h) =
z0n
+
nhz0n−1
+
n
X
Cnk hk z0n−k
k=2
d’où
n
X
(z0 + h)n − z0n
n−k
n−1 −
nz
6
|h|
Cnk |h|k−2 |z0 |
0
h
k=2
Soit R1 tel que |z0 | < R1 < R. Si h est suffisamment petit, |z0 | + |h| 6 R1 . Posons n0 = n − 2 et k 0 = k − 2.
On a
0
n(n − 1) k0
Cnk =
C 0 6 n(n − 1)Cnk0
k(k − 1) n
de sorte que
(z0 + h)n − z0n
n−1 − nz0 h
0
6 |h|n(n − 1)
n
X
k0 =0
6 |h|n(n − 1)R1n−2
3
0
0
n0 −k0
Cnk0 |h|k |z0 |
= |h|n(n − 1)(|z0 | + |h|)n
0
Finalement
+∞
+∞
f (z + h) − f (z ) X
X
0
0
n−1 −
nan z0 6 |h|
n(n − 1)|an |R1n−2
h
n=1
n=1
(la série dans le membre de droite est bien convergente puisque c’est la valeur en R1 de la série “dérivée
seconde”, qui a elle aussi pour rayon de convergence R.)
Le membre de droite est de la forme K|h| : il tend vers 0 quand h tend vers 0, ce qu’il fallait démontrer. Corollaire 1. 3. 6
Avec les notations ci-dessus, la fonction f est indéfiniment dérivable sur D(0, R), et ses dérivées
successives sont les sommes des séries dérivées successives.
1. 4 – Fonctions analytiques. Propriétés de stabilité
P
Pour l’instant, nous nous sommes limités à considérer des séries entières de la forme
an z n pour lesquelles
le disque de convergence est centré
P en 0. Parntranslation, tout ce qui a été dit plus haut s’applique mutatis
mutandis aux séries de la forme
an (z − z0 ) dont le disque de convergence est centré en z0 . C’est dans ce
cadre élargi que l’on définit la notion de fonction analytique.
Soit U un ouvert de C, f : U → C une fonction et z0 ∈ U .
On
X dit que f est analytique en z0 s’il existe un disque D(z0 , r) contenu dans U et une série entière
an (z − z0 )n de rayon de convergence R > r tels que la restriction de f à D(z0 , r) soit la somme
de la série entière. (On dit aussi que f est développable en série entière au voisinage de z0 ).
Si V est un ouvert contenu dans U (éventuellement U lui-même), on dit que f est analytique sur V
si elle est analytique en chaque point de V .
En particulier, toute fonction analytique sur U est indéfiniment dérivable sur U , et toutes ses dérivées sont
analytiques.
Exemple – La fonction z 7→ 1/z est analytique sur C∗ ; plus généralement, toute fonction rationnelle est
analytique sur son domaine de définition.
Les fonctions exp , sin, cos (en étendant à C les développements en série entière connus sur R) sont analytiques sur C. Montrons le par exemple pour la fonction sin. Soit z0 ∈ C. Utilisant la relation
sin(z0 + h) = sin z0 cos h + cos z0 sin h, on obtient la série entière cherchée en remplaçant sin h et cos h
par leurs développements en série entière au voisinage de 0.
Remarque – Les fonctions exp , sin et cos sont analytiques sur C, et on constate qu’elles sont égales sur
C entier à la somme de leur développement en série entière en 0. On verra plus tard que cette propriété est
générale : si f est une fonction analytique sur C (on dit alors que f est une fonction entière), sa série entière
en 0 a un rayon de convergence infini, et f est partout égale à la somme de cette série entière.
Nous nous intéressons maintenant aux propriétés de stabilité par addition, produit et composition des fonctions analytiques.
Soit U un ouvert de C, z0 un point de U et f et g deux fonctions de U dans C analytiques en z0 , λ
et µ deux éléments de C.
Les fonctions λf + µg et f × g sont analytiques en z0 .
Le développement en série entière de λf + µg au voisinage de z0 est la somme des développements en
série entière de f et g multipliés respectivement par λ et µ, son rayon de convergence est au moins
égal au plus petit des rayons de convergence.
4
Le développement en série entière de f × g au voisinage de z0 est la série-produit - ou produit de
convolution [voir ci-dessous] - des développements en série entière de f et g, son rayon de convergence
est au moins égal au plus petit des rayons de convergence.
P
P
P
La série-produit de deux séries
un et
vn est la série
wn où, pour tout n
n
X
wn = u0 vn + u1 vn−1 + · · · + un v0 =
uk vn−k
k=0
(Pour des séries entières, il suffit de faire l’opération ci-dessus sur les coefficients puisque z k z n−k = z n ). On
conclut grâce au théorème suivant sur les séries-produits.
La série-produit de deux séries absolument convergentes est absolument convergente, et a pour somme
la produit des sommes des deux séries.
Les résultats suivants sont techniquement un peu plus compliqués.
Soit U un ouvert de C, z0 un point de U et f : U → C une fonction analytique en z0 .
On suppose que f (z0 ) 6= 0. Alors la fonction 1/f (définie sur un ouvert U 0 ⊂ U et contenant z0 ) est
analytique en z0 .
Ce théorème est en fait un cas particulier (avec g : z 7→ 1/z) du théorème de composition que nous présentons
maintenant.
Soit U et V deux ouverts de C. On suppose que g : V → C est analytique en b ∈ U , et on désigne par R le
rayon de convergence de son développement en série entière en b. On suppose que f : U → C est analytique
en a ∈ U . On suppose enfin que f (a) ∈ D(b, R).
Par continuité, ceci reste vrai si z est suffisamment voisin de a et on peut alors écrire (avec des notations
évidentes)
+∞
X
n
(g ◦ f )(z) = g(b + (f (z) − b)) =
gn ((f (z) − b))
n=0
(la série de droite convergeant vers g(f(z)) car |f (z) − b| < R). Remplaçant f (z) par son développement en
série entière au voisinage de a, on obtient alors
!n
+∞
+∞
X
X
p
fp (z − a)
gn (f0 − b) +
(g ◦ f )(z) =
n=0
p=1
là encore avec des notations évidentes.
Si on réordonne suivant
P les npuissances croissantes de z la série du membre de droite, on va obtenir une
nouvelle série entière
An z , et il n’est pas évident a priori que cette nouvelle série converge, ni que sa
somme soit égale à celle de l’ancienne (rappelons que l’on peut, par modification de l’ordre des termes, rendre
divergente une série de réels qui n’est que semi-convergente, ou la faire converger vers n’importe quel nombre
réel [alors que ces curiosités disparaissent si l’on ne s’intéresse qu’à des
absolument convergentes]). Le
P séries
théorème ci-dessous indique que, pour z assez proche de a, la série
An z n est bien convergente de somme
g ◦ f (z).
Soit U et V deux ouverts de C. On suppose que g : V → C est analytique en b ∈ U , et on désigne par
R le rayon de convergence de son développement en série entière en b. On suppose que f : U → C
est analytique en a ∈ U . On suppose enfin que f (a) ∈ D(b, R).
Alors g ◦ f est analytique en a, et on a, pour z suffisamment voisin de a,
(g ◦ f )(z) =
+∞
X
n=0
5
An z n
avec les notations introduites ci-dessus.
1. 5 – Le principe des zéros isolés
Nous énonçons maintenant le principe des zéros isolés.
Soit U un ouvert connexe de C et f : U → C une fonction analytique non identiquement nulle. Alors,
pour tout z0 ∈ U tel que f (z0 ) = 0, il existe r > 0 tel que, si z appartient à D(z0 , r) et z 6= z0 ,
f (z) 6= 0.
En d’autres termes, quand f n’est pas identiquement nulle sur un ouvert connexe, autour de chaque racine
z0 de f il y a un disque où f ne s’annule pas (sauf en z0 ).
Nous utiliserons pour la démonstration le lemme suivant :
Lemme 1. 5. 2
P
Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. S’il existe n tel que an 6= 0, alors il
existe r (0 < r 6 R) tel que f (z) 6= 0 pour tout z vérifiant 0 < |z| < r.
Démonstration – On raisonne par l’absurde en supposant que f possède dans U un zéro non isolé z0 .
En appliquant le lemme au développement en série entière de f au voisinage de z0 , on en déduit que tous
les coefficients de ce développement sont nuls. Il en résulte que sur un certain disque D(z0 , R) inclus dans
U , f (qui coı̈ncide avec la somme de la série entière) est identiquement nulle.
Supposons cependant que f n’est pas identiquement nulle sur U . Il existe donc z1 ∈ U tel que f (z1 ) 6= 0.
Nous admettrons que tout ouvert connexe U de C est connexe par arcs polygonaux, c’est-à-dire que deux
points quelconques a et b de U peuvent être reliés par une suite continue de segments t 7→ γ(t) telle que :
γ(0) = a, γ(1) = b, ∀t ∈ [0, 1], γ(t) ∈ U
Appliquons ceci à z0 et z1 . Il existe donc une courbe t 7→ γ(t) reliant dans U z0 (pour t = 0) à z1 (pour
t = 1).
Par continuité, pour t suffisamment petit, γ(t) ∈ D(z0 , R), donc f (γ(t)) = 0. Considérons l’ensemble
I = {t ∈ [0, 1] | ∀x ∈ [0, t], f (γ(x)) = 0}
L’ensemble I est non vide (car il contient 0). Il est majoré par 1, donc il admet une borne supérieure s,
strictement positive d’après ce qui précède. Montrons que s ∈ I.
Il existe une suite (tn ) d’éléments de I tendant vers s (c’est une des caractéristiques de la borne supérieure),
donc par continuité f (γ(s)) = lim f (γ(tn )) = lim 0 = 0. Il reste à montrer que si x ∈ [0, s[, f (γ(x)) = 0.
Mais si x < s, il existe un tn tel que x < tn , donc f (γ(x)) = 0 car tn ∈ I.
Donc s ∈ I, et en particulier s < 1. Pour tout x < s (il y en a car s > 0), f (γ(x)) = 0 donc γ(s) n’est pas un
zéro isolé de f (la fonction γ désigne le parcours d’un chemin polygonal, donc on peut la choisir injective).
Donc il existe de nouveau un disque centré en s sur lequel f est identiquement nulle, et cela entraı̂ne que,
pour x suffisamment proche de s, x > s, f (γ(x)) = 0, en contradiction avec le fait que s est un majorant de
I.
On aboutit donc à une contradiction : l’existence simultanée de z0 et z1 est impossible : ou f n’a que des
zéros isolés ou elle est identiquement nulle.
Corollaire 1. 5. 3
Si f et g sont analytiques sur un ouvert connexe U , s’il existe un point a de U et une suite non
stationnaire (zn ) d’éléments de U convergeant vers a tels que, pour tout n, f (zn ) = g(zn ), alors f = g
sur U .
Démonstration – Il suffit d’appliquer le théorème à la fonction analytique f −g : les hypothèses indiquent
que le point a est un zéro non isolé de cette fonction.
6
1. 6 – Intégrale curviligne
Nous allons définir l’intégrale d’une fonction le long d’un chemin orienté Γ de classe C 1 par morceau de C.
Un tel chemin est l’image d’une application γ : [a, b] → C telle que :
• La fonction γ est continue sur [a, b]
• L’intervalle [a, b] admet une subdivision finie a0 = a < a1 < · · · < an−1 < an = b telle que la restriction
de γ à chaque segment [ai , ai+1 ] soit de classe C 1 (avec éventuellement des dérivées à droite et à gauche
différentes aux points de raccordement).
Par exemple, un chemin polygonal est de classe C 1 par morceaux.
On notera alors Γ = Im γ. Il faut noter qu’un même chemin orienté peut être paramétré de plusieurs manières
différentes (s’il est par exemple parcouru à des vitesses différentes). La définition suivante précise la notion
de paramétrages équivalents.
On dit que γ1 : [a, b] → C et γ2 : [a0 , b0 ] → C sont deux paramétrages équivalents d’un chemin orienté
Γ s’il existe une application Φ bijective et strictement croissante de [a, b] dans [a0 , b0 ], telle que Φ et
Φ−1 soient dérivables et telle que γ2 = γ1 ◦ Φ.
La croissance de Φ garantit la conservation de l’orientation du chemin.
Si γ1 : [a, b] → C et γ2 : [a0 , b0 ] → C sont deux paramétrages équivalents d’un chemin orienté Γ et si
f est définie et continue sur un ouvert U contenant Γ,
Z
b
f (γ1 (t))γ10 (t)dt =
a
Démonstration –
la première.
Z
b0
a0
f (γ2 (t))γ20 (t)dt
On fait le changement de variable t = Φ(u) dans la deuxième intégrale et on obtient
Soit f : U → C une fonction continue sur un ouvert U contenant un chemin Γ = Im γ de classe C 1
par morceau. On définit l’intégrale curviligne de f le long de Γ par
Z
b
Z
f (γ(t))γ 0 (t) dt
f (z) dz =
Γ
a
D’après le théorème précédent, cette définition est indépendante du choix du paramétrage de Γ (à condition
de ne considérer que des paramétrages équivalents : par exemple, si Γ est une courbe fermée parcourue deux
fois, l’intégrale curviligne sera le double de ce qu’elle serait si Γ n’était parcourue qu’une fois).
Exemple – Soit S 1 le cercle-unité de C (ensemble des nombres complexes de module 1) orienté dans le
sens direct. Le paramétrage canonique de S 1 est
γ : [0, 2π] → C, t 7→ eit
Vérifier que l’intégrale curviligne de la fonction z 7→ z n sur S 1 vaut 0 pour tout entier n 6= −1 et 2iπ si
n = −1.
Nous utiliserons dès le paragraphe suivant (et encore de nombreuses autres fois...) le résultat suivant de
majoration des intégrales curvilignes.
7
Si f est majorée par M sur Γ = Im γ et si la longueur de Γ (parcouru suivant le paramétrage γ) est
égale à L, alors
Z
f (z) dz 6 M L
Γ
Démonstration –
On a
Z
Z b
0
f (z) dz = f
(γ(t))γ
(t)
dt
Γ
a
Z b
6
|f (γ(t)||γ 0 (t)| dt
Zab
6
M |γ 0 (t)| dt = M L
a
vu la formule de calcul de la longueur d’un arc paramétré.
1. 7 – Les inégalités de Cauchy
Soit f une fonction analytique en 0. On suppose que f coı̈ncide avec son développement en série entière sur
un disque de rayon R :
+∞
X
∀z ∈ D(0, R), f (z) =
an z n
n=0
Soit r tel que 0 < r < R. La restriction de f au cercle Γr de centre 0 et de rayon r est continue (à cause de
l’analyticité), et on peut donc calculer les intégrales curvilignes
Z
f (z)
dz
n
Γr z
où Γr est supposé orienté dans le sens direct. Désignons par M (r) le sup de |f | sur Γr .
Théorème 1. 7. 1 – Inégalités de Cauchy
Pour tout entier n ∈ N, pour tout r ∈ ]0, R[, |an | 6
M (r)
.
rn
Démonstration – Soit n0 ∈ N et r ∈ ]0, R[. La série de fonctions t 7→
+∞
X
an rn ei(n−n0 )t est normalement
n=0
n
convergente. En effet, son terme général est majoré en module par |an |r ,Pterme général d’une série convergente puisque r est inférieur au rayon de convergence (> R) de la série
an z n . On peut donc intégrer
terme à terme cette série et obtenir
Z
Z 2π X
+∞
f (z)
dz
=
an rn−n0 −1 ei(n−n0 −1)t rieit dt
n0 +1
Γr z
0
n=0
Z 2π
+∞
X
n−n0
=
an ir
ei(n−n0 )t dt
0
n=0
La seule de ces intégrales qui ne soit pas nulle est celle pour laquelle n − n0 = 0, c’est-à-dire n = n0 . Il en
résulte que
Z
f (z)
dz = 2iπan0
n0 +1
z
Γr
D’après le théorème 1.6.4, l’intégrale de gauche est majorée en module par le sup de |f (z)|/|z|n0 +1 sur Γr
(sup égal à M (r)/rn0 +1 ) multiplié par la longueur de Γr , c’est-à-dire par 2πr. Le membre de gauche a pour
module 2π|an0 |. D’où le résultat annoncé.
8
Parmi les conséquences intéressantes des formules de Cauchy, nous en citerons deux, dont la preuve ne
sera vraiment complète qu’à la fin du chapitre suivant, quand nous aurons donné un moyen de déterminer
le rayon de convergence des séries définissant une fonction analytique, et établi l’analyticité des fonctions
holomorphes (voir le théorème 2.5.2).
Théorème 1. 7. 2 – Théorème de Liouville
Soit f une fonction analytique sur C. Si f est bornée, alors f est constante.
Pour prouver ce théorème, nous admettrons la propriété suivante : si f est analytique sur C, son
+∞
X
développement en série entière en zéro
an z n a un rayon de convergence infini et f coı̈ncide
n=0
avec ce développement sur C entier.
Démonstration – D’après la propriété admise, les inégalités de Cauchy et l’hypothèse : f bornée, on a,
pour tout n ∈ N∗ et pour tout r > 0
M
|an | 6 n
r
En faisant tendre r vers +∞, on en déduit que an = 0 pour tout n > 1. La fonction f coı̈ncide donc avec a0
sur C : elle est donc constante.
La conséquence la plus connue du théorème de Liouville est une nouvelle démonstration du théorème de
d’Alembert-Gauss, selon lequel tout polynôme à coefficients complexes non constant possède au moins une
racine dans C. Nous allons démontrer ce théorème, mais là encore nous admettrons une propriété qui sera
établie au chapitre suivant : si f est dérivable sur C, elle est analytique sur C.
Soit P ∈ C[X] un polynôme non constant. Raisonnons par l’absurde en supposant que P ne s’annule pas
sur C. La fonction Q : z 7→ 1/P (z) est alors dérivable sur C, donc analytique sur C d’après la propriété
que nous venons d’admettre. Admettons pour l’instant que cette fonction est bornée. Il en résulte qu’elle
est constante, mais alors il en est de même pour P , ce qui est absurde.
Il reste à prouver que Q est bornée. Elle l’est sur tout disque fermé (une fonction continue sur un fermé
borné est bornée - et en plus atteint ses bornes, mais ici on ne s’en sert pas...). Montrons qu’il existe R > 0
tel que Q soit bornée à l’extérieur de D(0, R). Comme elle l’est aussi à l’intérieur cela prouvera le résultat.
Notons P (z) = p0 + p1 z + · · · + pn z n . Supposons |z| > 1. On peut écrire
|P (z)| > |pn ||z n | − |p0 + p1 z + · · · + pn−1 z n−1 | > |pn ||z n | − (|p0 | + |p1 ||z| + · · · + |pn−1 ||z n−1 |)
Comme |z| > 1,
|p0 | + |p1 ||z| + · · · + |pn−1 ||z n−1 | 6 (|p0 | + |p1 | + · · · + |pn−1 |)|z n−1 |
Posons A = |p0 | + |p1 ||z| + · · · + |pn−1 |. On a donc
|P (z)| > |z|n−1 (|z| − A)
Cette expression tend vers l’infini quand |z| tend vers l’infini. Il existe donc R tel que, si |z| > R, |P (z)| > 1.
Il en résulte que |Q(z)| est majoré par 1 pour tout z tel que |z| > R, ce qu’il fallait démontrer.
1. 8 – Le panorama revisité : théorie des fonctions holomorphes
Nous avons établi dans ce chapitre un certain nombre de propriétés des fonctions analytiques.
Ces propriétés revêtiront une grande importance quand nous aurons établi, comme une conséquence de la
formule intégrale de Cauchy (voir le théorème 2.5.1), que toute fonction holomorphe sur un ouvert U est
en fait analytique sur U . Il en résultera en particulier qu’une fonction holomorphe est “automatiquement”
indéfiniment dérivable, qu’elle satisfait au principe des zéros isolés, qu’elle vérifie les inégalités de Cauchy,
et encore bien d’autres choses... Les théorèmes de stabilité des fonctions analytiques seront également une
9
conséquence de cette propriété : la somme de deux fonctions analytiques est la somme de deux fonctions
holomorphes, donc est holomorphe, donc analytique (et de même pour les autres opérations).
Nous avons par ailleurs remarqué qu’une fonction différentiable d’un ouvert de R2 dans R2 n’est pas
nécessairement holomorphe. Nous caractériserons, par des formules liant les dérivées partielles connues
sous le nom de formules de Cauchy-Riemann, les fonctions différentiables qui sont holomorphes, et verrons
quelques applications de ces formules.
1. 9 – Exercices sur les fonctions analytiques
Exercice 1. 1 – Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières suivantes :
+∞
X
n2 z n ,
n=0
+∞ 2
X
n n
z
n!
n=0
Exercice 1. 2 – On pose
 1

 n si n est pair
2
an =

 1 si n est impair
3n
P
Calculer le rayon de convergence de la série
an z n .
Exercice 1. 3 – Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
+∞
X
(1 + in) z n ,
n=0
+∞
+∞
X
(2n)! n X
z
,
ln n z 2n
2
(n!)
n=0
n=0
Exercice 1. 4 – Comparer les rayons de convergence des séries
+∞
X
n=0
n
an z ,
+∞
X
n
|an | z ,
n=0
+∞
X
a2n z n
n=0
Exercice 1. 5 – Soit (an ) une suite de nombres réels ou complexes.
1 – On suppose la suite (an ) bornée. Que peut-on dire du rayon de convergence de la série
P
an z n ?
2 – Préciser le résultat de la question précédente si on suppose que an est une fonction rationnelle de n.
3 – On suppose que (an ) tend vers l’infini mais avec une croissance polynomiale (c’est-à-dire qu’il existe un
entier k et un réel M strictement positifs tels que
∀n ∈ N, |an | 6 M (1 + n)k
P
Calculer le rayon de convergence de la série
an z n .
Exercice 1. 6 – Soit a un réel, I un intervalle ouvert contenant a et f : I −→ R une fonction de classe
C ∞ . On suppose qu’il existe des nombres strictement positifs r et M tels que, pour tout x ∈ I, et pour tout
entier n > 0
|f (n) (x)| 6 M n! rn
1 – Montrer que la série de Taylor de f en a a un rayon de convergence strictement positif.
2 – Montrer que, au voisinage de a, f coı̈ncide avec la somme de sa série de Taylor.
Exercice 1. 7 – On admettra pour cet exercice que la fonction f définie sur R par

2
 e−1/x si x > 0
f (x) =

0
si x 6 0
10
est de classe C ∞ sur R.
1 – Déterminer sans calculs la série de Taylor de f en 0.
2 – Montrer qu’il n’existe aucun intervalle ouvert contenant 0 sur lequel f coı̈ncide avec la somme de sa
série de Taylor. Comparer ce résultat à ceux de l’exercice précédent.
Exercice 1. 8 – Développer en série entière au voisinage de l’origine la fonction
z 7→
1
(2z − 1)2 (z − 1)
et déterminer son rayon de convergence.
Exercice 1. 9 – Développer en série entière au voisinage de l’origine la fonction
z 7→
z + z2
1 + z + z2
et déterminer son rayon de convergence.
Indication : on remarquera que (1 + z + z 2 )(1 − z) = 1 − z 3 .
Exercice 1. 10 –
P On note D = D(0, 1) et C = {z ∈ C | |z| > 1}. Soit (an ) une suite de nombres complexes
telle que la série
an converge. On pose
S(z) =
+∞
X
an
n=1
zn
1 − zn
1 – Prouver que la série S converge normalement sur tout compact de D.
2 – Prouver que la série S converge uniformément sur tout compact de D.
(−1)n
3 – On suppose que an =
. La série S converge-t-elle normalement sur tout compact de C ?
n
Exercice 1. 11 – Soit f la fonction z 7→ 1/z. Montrer que f est développable en série entière sur tout
disque où elle est définie.
Etendre ce résultat au cas où f est une fraction rationnelle quelconque.
11
Exercice 1. 12 – Soit f (z) =
+∞
X
an z n une série entière de rayon de convergence 1 vérifiant f (0) = 0.
n=0
Montrer que la série
g(z) =
+∞
X
f (z n )
n=1
converge normalement sur tout compact de D(0, 1).
Exercice 1. 13 – Soient a, b, x et y des réels tels que a < b et z = x + iy.
1 – Montrer que
−az
−bz
−e
e
Z
=z
b
e−zt dt.
a
2 – En déduire que, si x > 0, on a
−az
|z| −ax
e
− e−bz 6
e
− e−bx .
x
3 – Dans la suite, (an )n est une suite de nombres complexes et (λn )n une suite strictement croissante de
nombres réels positifs, de limite +∞.
Montrer que si la série
f (z) =
+∞
X
an exp (−λn z)
n=0
converge en z = z0 alors la série converge uniformément dans tout le domaine Dα de la forme
Dα = {z ∈ C | Re(z − z0 ) > 0 et |Arg(z − z0 )| 6 α}
où α est fixé et α <
π
.
2
+∞
X
an z n une série entière de rayon de convergence R. On pose, pour |z| < R,
n=0
P (z) = Re(f (z))
Montrer que si r < R,
an =
+∞
X
1
πrn
2π
Z
P (reit )e−int dt
0
an z n une série entière de rayon de convergence R = +∞.
n=0
On suppose que Re (f ) est bornée. Montrer que f est constante (Utiliser l’exercice précédent).
Exercice 1. 16 – On suppose que f est une fonction entière ( série entière de rayon de convergence infinie)
telle qu’il existe des constantes réelles positives a et b vérifiant
∀z ∈ C
|f (z)| 6 a + b|z|3/2 .
Que pouvez-vous dire de f ?
Généraliser ce résultat au cas où il existe des constantes réelles positives a, b et un entier n > 0 tels que
∀z ∈ C
|f (z)| 6 a + b|z|n .
12
+∞
X
an z n une série entière de rayon de convergence R = +∞. Soit
n=0
M (r) = sup |f (z)|
|z|=r
On suppose qu’il existe des constantes ρ > 0 et k > 0 telles que pour r > ρ, M (r) 6 exp (kr). Montrer que
n|an |1/n 6 ke pour n assez grand.
Exercice 1. 18 – Pour n ∈ N, on pose
fn (z) = 1 +
+∞
X
z 2p
p! (n + 1) · · · (n + p)
p=1
1 – Prouver que fn est une série entière de rayon de convergence infini, et que la suite (fn )n converge
uniformément vers 1 sur tout compact de C.
2 – Soit (cn )n une suite de nombres complexes telle que la série
+∞
X
cn
n=0
zn
n!
ait un rayon de convergence R > 0. Montrer que la série
+∞
X
n=0
cn
zn
fn (z)
n!
diverge pour tout z ∈ C tel que |z| > R.
Exercice 1. 19 – Soit U un ouvert de C et f : U → C une fonction holomorphe non constante. Soit D
un disque fermé inclus dans U . Montrer que f possède un nombre fini de zéros dans D.
13
Chapitre II
Fonctions holomorphes
2. 1 – Fonctions holomorphes. Relations de Cauchy-Riemann
Soit U un ouvert de C et f : U → C une fonction. On dit que f est holomorphe si elle est dérivable
en tout point de U , c’est-à-dire :
∀z ∈ U, lim
h→0
f (z + h) − f (z)
existe dans C
h
Cette limite, comme pour les fonctions de la variable réelle, est appelée la dérivée de f en z et notée f 0 (z).
Exemple – Nous avons vu au chapitre précédent que toute fonction analytique sur un ouvert U est
holomorphe sur U . L’objectif majeur de ce chapitre est d’établir la réciproque de ce résultat, avec en outre
des précisions sur le rayon de convergence de la série entière.
Nous avons indiqué au chapitre 1 que toute fonction holomorphe est différentiable et que la réciproque n’est
pas vraie. Le théorème que nous énonçons maintenant donne une condition nécessaire et suffisante (connue
sous le nom de condition de Cauchy-Riemann) sur les dérivées partielles d’une fonction différentiable pour
que cette fonction soit holomorphe.
Dans le théorème qui suit, nous emploierons les notations suivantes : f est une fonction définie sur un ouvert
U de C à valeurs complexes ; on désigne par P et Q ses parties réelle et imaginaire. Désignant par x et y les
parties réelle et imaginaire du nombre complexe z et identifiant U à une partie de R2 , la fonction f induit
∂ϕ
∂ϕ
une application (x, y) 7→ (P (x, y), Q(x, y)) de U dans R2 . Nous noterons les dérivées partielles
et
∂x
∂y
d’une fonction ϕ sous la forme abrégée ϕ0x et ϕ0y , et nous nous permettrons d’écrire P (z) ou Px0 (z) au lieu
de P (x, y) ou Px0 (x, y), ...
Théorème 2. 1. 2 – Conditions de Cauchy-Riemann
Soit z0 = x0 + iy0 ∈ U . Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est holomorphe en z0 .
(ii) f est différentiable en z0 et
Px0 (z0 )
Py0 (z0 )
=
=
Q0y (z0 )
−Q0x (z0 )
Lorsque l’une de ces conditions est vérifiée, on a f 0 (z0 ) = Px0 (z0 ) + iQ0x (z0 ).
Les deux égalités de la partie (ii) du théorème sont appelées conditions de Cauchy-Riemann.
– 15 –
– 16 -
Exemple – Soit f (z) = z 2 . On a P (x, y) = x2 − y 2 , Q(x, y) = 2xy. On a bien Px0 (z) = Q0y (z) = 2x,
et Py0 (z) = −Q0x (z) = −2y. Enfin f 0 (z) = 2z (même calcul que dans R), et on a bien 2z = 2x + 2iy =
Px0 (z) + iQ0x (z).
Démonstration – Dire que f est dérivable en z0 , c’est-dire qu’il existe a ∈ C (la dérivée f 0 (z0 )) tel que
f (z0 + h) − f (z0 )
ε(h : =
−a
h
tende vers 0 quand h tend vers 0. Ceci équivaut à dire que
f (z0 + h) = f (z0 ) + ah + hε(h) = f (z0 ) + ah + |h|ε2 (h)
h
qui tend aussi vers 0 quand h tend vers 0.
|h|
On reconnaı̂t dans la seconde égalité la définition de la différentiabilité de f en (x0 , y0 ) et le fait que la
différentielle de f en z0 (vue dans R2 ), est l’application linéaire induite par la multiplication par a, qui est
une similitude de rapport |a| et d’angle arg(a) (si a 6= 0). La relation entre les dérivées partielles de f résulte
alors de la forme des matrices des similitudes de R2 .
avec ε2 (h) = ε(h)
Réciproquement, les relations de Cauchy-Riemann impliquent que df (z0 ) est une similitude de R2 , qui
équivaut, dans l’identification entre C et R2 à la multiplication par un complexe a. Il suffit de refaire le petit
calcul ci-dessus dans l’autre sens pour conclure que f est dérivable en z0 de dérivée a.
Lorsque f est dérivable en z0 , on a
df (z0 ) =
Px0 (z0 ) −Q0x (z0 )
Q0x (z0 ) Px0 (z0 )
et cette matrice correspond à la multiplication par f 0 (z0 ). Dans cette identification
df (z0 )(1, 0) = (Px0 (z0 ), Q0x (z0 ))
s’identifie à f 0 (z0 ) × 1. D’où
f 0 (z0 ) = Px0 (z0 ) + iQ0x (z0 )
ce qui termine la démonstration.
La dérivabilité dans C possède les mêmes propriétés générales de stabilité que dans R : la somme, le produit de
fonctions holomorphes en z0 sont holomorphes en z0 (avec les formules habituelles pour calculer les dérivées),
l’inverse et le quotient de fonctions holomorphes sont holomorphes partout où le dénominateur ne s’annule
pas, la composée de fonctions holomorphes est holomorphe.
Nous énonçons un théorème sur l’holomorphie des fonctions définies par une intégrale souvent bien pratique.
Soit I = ]a, b[ un intervalle ouvert et U un ouvert de C. Soit ϕ : I × U → C une fonction continue.
On suppose que, pour tout t ∈ I, la fonction z 7→ ϕ(t, z) est holomorphe sur U et que la fonction
∂ϕ
(t, z) 7→
(t, z) est continue sur I × U . On suppose enfin qu’il existe deux fonctions f et g continues
∂z
sur I, intégrables sur I (id est : leur intégrale impropre sur I est convergente) telles que
∂ϕ
∀(t, z) ∈ I × U, |ϕ(t, z)| 6 f (t), (t, z) 6 g(t)
∂z
Alors l’intégrale
Z b
Φ(z) =
ϕ(t, z) dt
a
est absolument convergente pour tout z ∈ U . La fonction Φ ainsi définie est holomorphe sur U et sa
dérivée est égale à l’intégrale absolument convergente
Z b
∂ϕ
0
Φ (z) =
(t, z) dt
a ∂z
Nous admettrons ce théorème. Nous verrons à l’exercice 2.29 une application de ce résultat.
Intégrale d’une fonction holomorphe le long d’un triangle
– 17 -
2. 2 – Primitives des fonctions holomorphes
Dans le cas de la variable réelle, on sait que si f est continue sur un intervalle I, elle admet des primitives
sur I. Ce résultat n’est pas vrai pour une fonction de la variable complexe. Nous allons montrer dans ce
chapitre que l’existence d’une primitive sur U d’une fonction f entraı̂ne l’holomorphie de f , et que pour
certains ouverts (en particulier les disques), la réciproque est vraie.
L’outil essentiel pour cette étude est l’intégrale curviligne que nous avons introduite au chapitre précédent.
Soit U un ouvert de C, f : U → C une fonction continue et γ une courbe orientée de classe C 1 par
morceaux contenue dans U , d’origine z0 et d’extrémité z1 . On suppose que f est la dérivée sur U
d’une fonction holomorphe F . Alors
Z
f (z) dz = F (z1 ) − F (z0 )
γ
En particulier, si γ est fermée, l’intégrale de f le long de γ est nulle.
Démonstration – Soit ϕ : [a, b] → C un paramétrage de γ, de classe C 1 par morceaux. Soit t un réel
de l’intervalle [a, b] où ϕ est dérivable. Comme F est dérivable en ϕ(t), F ◦ ϕ est dérivable en t et
(F ◦ ϕ)0 (t) = F 0 (ϕ(t)) × ϕ0 (t)
Il en résulte que
Z
Z
f (z) dz =
γ
b
0
Z
f (ϕ(t)) ϕ (t) dt =
a
b
(F ◦ ϕ)0 (t) dt = F ◦ ϕ(b) − F ◦ ϕ(a)
a
d’où le résultat annoncé.
Soit U un ouvert de C et f : U → C une fonction holomorphe. Alors f possède une primitive si et
seulement si son intégrale curviligne le long de tout chemin orienté de classe C 1 par morceaux fermé
contenu dans U est nulle.
Démonstration – L’une des implications résulte du théorème ci-dessus. Quant à l’autre, définissons sur
chaque composante connexe V de
R U une fonction F de la manière suivante : on fixe un point z0 de V , et on
pose, pour tout z ∈ V , F (z) = γ f (z) dz, où γ est un chemin de classe C 1 par morceaux contenu dans V
reliant z0 à z (il en existe même des polygonaux, car V est un ouvert connexe). La fonction F est définie
sans ambiguı̈té car l’intégrale le long d’un autre chemin aura la même valeur, du fait de l’hypothèse.
Il reste à prouver que F est dérivable de dérivée f . Si z est un point de V et z 0 un point assez proche pour
être contenu dans un disque de centre z et de rayon r entièrement contenu dans V , on a
Z
0
F (z ) − F (z) =
f (u) du
[z,z 0 ]
où [z, z 0 ] désigne le segment orienté allant de z à z 0 . Il en résulte que
Z 1
F (z 0 ) − F (z)
f (z + t(z 0 − z) − f (z)
−
f
(z)
=
dt
0
z −z
z0 − z
0
qui tend vers 0 quand z 0 tend vers z (la fonction tend vers 0, le segment est de longueur fixe).
2. 3 – Intégrale d’une fonction holomorphe le long d’un triangle
Cette partie est consacrée à la démonstration du théorème suivant :
– 18 -
Soit U un ouvert de C et f une fonction holomorphe sur U . Soit T un triangle entièrement contenu
dans U (le bord et l’intérieur). Alors
Z
f (z) dz = 0
T
Nous aurons besoin au cours de la démonstration de la définition et du théorème qui suivent.
Si E est une partie bornée de C, on appelle diamètre de E le nombre d(E) défini par
d(E) = sup |z − z 0 |
z,z 0 ∈E
Si E est un cercle ou un disque, d(E) est égal au diamètre habituel du cercle (ou du disque).
Théorème 2. 3. 3 – Lemme des fermés emboı̂tés
Soit (En )n∈N une famille de parties fermées bornées non vides de C. On suppose que le diamètre des
En tend vers 0 quand n tend vers +∞ et que les En sont emboı̂tés : si m > n, Em ⊂ En .
Alors il existe un unique point α ∈ C tel que α ∈ ∩n∈N En .
Démonstration –
Choisissons dans chaque En (non vide) un élément zn .
• Montrons que la suite (zn ) est de Cauchy.
Soit ε > 0. Il existe n0 tel que, pour tout n > n0 , d(En ) < ε. En particulier, d(En0 < ε. Soit n et m deux
entiers supérieurs ou égaux à n0 . Alors zn et zm appartiennent à En0 (car les En sont emboı̂tés). Donc
|zn − zm | 6 d(En0 < ε, ce qui prouve que (zn ) est de Cauchy.
Puisque C est complet, la suite (zn ) converge donc vers α ∈ C.
• Soit n0 ∈ N. Montrons que α ∈ En0 .
Pour tout n > n0 , tous les zn appartiennent au fermé En0 . Il en résulte que la limite de la suite (zn )
appartient aussi à En0 (caractérisation séquentielle des fermés).
• Comme ceci est vrai pour tout n0 , α appartient bien à l’intersection des En .
• Il reste à prouver l’unicité. Si β est un autre élément de l’intersection, α et β appartiennent à tous les En
donc vérifient pour tout n
|α − β| 6 d(En )
Comme d(En ) tend vers 0, il en résulte que |α − β| = 0, ce qui termine la démonstration.
Nous pouvons maintenant prouver le théorème.
Pour tout triangle T entièrement contenu dans U , nous définissons
Z
f (z) dz
ϕ(T ) = T
(d(T ))2
Nous allons montrer que ϕ(T ) = 0.
Traçons dans T les trois segments reliant 2 à 2 les milieux des côtés. Nous obtenons ainsi quatre triangles
t1 , t2 , t3 et t4 homothétiques de T dans un rapport 1/2 (théorème de Thalès).
t3
t4
t1
t2
– 19 -
Si l’on convient de parcourir ces quatre triangles dans le même sens que T , on constate que
Z
4 Z
X
f (z) dz =
f (z) dz
T
d’où
i=1
ti
Z
X
4 Z
f (z) dz 6
f (z) dz T
i=1
ti
Il existe donc au moins un des ti pour lequel
Z
Z
f (z) dz > 1 f (z) dz 4 ti
T
Appelons T1 ce triangle. On a
|ϕ(T1 )| =
Z
T1
f (z) dz (d(T1 ))2
=4
Z
T1
f (z) dz (d(T ))2
>
Z
f (z) dz T
(d(T ))2
= ϕ(T )
En répétant ce raisonnement, on construit donc une suite de triangles (bord et intérieur) Tn emboı̂tés (chaque
Tn est l’un des quatre quarts de Tn−1 ), dont le diamètre est une suite géométrique de raison 1/2 donc tend
vers 0, et telle que la suite (|ϕ(Tn )|)n∈N soit croissante. En particulier, pour tout n
|ϕ(T )| 6 |ϕ(Tn )|
Nous allons maintenant montrer que la suite (|ϕ(Tn )|)n∈N tend vers 0. Il en résultera que ϕ(T ) = 0 d’après
l’inégalité ci-dessus.
D’après le lemme des fermés emboı̂tés, il existe un unique nombre complexe α commun à tous les triangles.
En particulier α ∈ T , et donc α ∈ U . La fonction f est holomorphe en α : il existe une fonction h tendant
vers 0 quand z tend vers α telle que
f (z) = f (α) + f 0 (α)(z − α) + |z − α|h(z)
(définition de la dérivabilité par les développements limités).
Soit ε > 0. Il existe un disque D(α, r) tel que, pour tout z appartenant à ce disque, |h(z)| 6 ε/3. Pour n
suffisamment grand, le diamètre de Tn est inférieur à r, donc puisque α ∈ Tb , Tn est entièrement contenu
dans D(α, r). Estimons ϕ(Tn ).
Z
Z
Z
f (z) dz =
f (α) + f 0 (α)(z − α) dz +
|z − α|h(z) dz
Tn
Tn
Tn
La première intégrale du membre de droite vaut 0 : en effet la fonction z 7→ f (α)+f 0 (α)(z−α) est polynomiale
sur C, donc admet des primitives sur C, et par conséquent son intégrale est nulle sur tout chemin fermé de
classe C 1 par morceaux, d’après le théorème 2.2.1.
ε
Dans la seconde, la fonction à intégrer est majorée par d(Tn ). Donc l’intégrale est majorée en module par
3
ε
d(Tn )L(Tn ) (L(Tn ) désignant la longueur de Tn ). On a clairement L(Tn ) 6 3d(Tn ), d’où finalement
3
Z
f (z) dz 6 ε(d(Tn ))2
Tn
qui implique
|ϕ(Tn )| 6 ε
ce qui termine la démonstration.
Ce théorème a plusieurs conséquences sur l’existence de primitives de fonctions holomorphes : toute fonction
holomorphe sur un ouvert U possède localement une primitive, et elle en possède globalement si, de plus,
l’ouvert possède quelques propriétés supplémentaires.
– 20 -
On dit qu’un ouvert non vide U de C est étoilé par rapport à un de ses points z0 si, pour tout z ∈ U ,
le segment [z0 z] est entièrement contenu dans U .
Par exemple, tout disque de C est étoilé par rapport à son centre mais aussi par rapport à tous ses points ; de
façon plus générale, toute partie convexe est étoilée par rapport à chacun de ses points. Le complémentaire
d’une demi-droite fermée est étoilé par rapport à tous les points de l’autre demi-droite. En revanche, C∗
n’est pas étoilé (quel que soit z0 , le segment reliant z0 à −z0 rencontre 0).
Soit U un ouvert de C étoilé par rapport à z0 ∈ U et f : U → C une fonction holomorphe. Alors f
possède une primitive sur U .
Démonstration – On reprend le principe de la preuve du théorème sur les primitives. Mais au lieu
d’intégrer sur n’importe quel chemin allant de z0 à z, on le fait sur le segment [z0 z]. L’intégrale de f sur tout
triangle étant nulle, F (z) − F (z 0 ) apparaı̂t de nouveau comme une intégrale sur le segment [zz 0 ] (car tout
le triangle z0 zz 0 est contenu dans U (grâce à l’hypothèse : U étoilé). On conclut comme dans le théorème
ci-dessus.
Exemple – Nous indiquons dans la partie suivante comment construire les fonctions logarithmes,
comme primitives de z 7→ 1/z sur C privé d’une demi-droite fermée issue de l’origine, après avoir rappelé
l’impossibilité de construire une fonction logarithme sur C∗ .
Corollaire 2. 3. 6
Soit U un ouvert non vide de C et f : U → C une fonction holomorphe. Au voisinage de tout point
de U , f admet une primitive.
Démonstration – Il suffit d’appliquer le théorème sur un disque centré en ce point est contenu dans U :
il s’agit d’un ouvert étoilé et on peut donc appliquer le théorème.
2. 4 – Les fonctions logarithmes
Nous avons démontré au théorème 2.2.2 qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction holomorphe définie sur un ouvert connexe U de C admette des primitives sur U est que son intégrale le long de
tout chemin fermé de classe C 1 par morceaux soit nulle. Il en résulte que la fonction
z 7→
n’admet pas de primitive sur U = C∗ , puisque
Z
Γ(0,1)
1
z
dz
= 2iπ
z
comme nous l’avons vu à l’exemple 1.6.3 (où Γ(0, 1) désigne le cercle de centre 0 et de rayon 1 parcouru dans
le sens direct).
En revanche, si on retire de C non plus seulement 0 mais une demi-droite issue de 0, l’ouvert U obtenu
devient étoilé, et le théorème 2.3.5 montre que sur tout ouvert de ce type, la fonction z 7→ 1/z admet des
primitives. Nous allons étudier dans ce paragraphe ces primitives, que l’on appelle les fonctions logarithmes.
Soit α ∈ ]−π, π]. On appelle :
• Uα l’ouvert de C obtenu en retirant de C la demi-droite formée par tous les nombres de la forme
xeiα , où x ∈ R− ;
• Oα l’ouvert de C formé par tous les nombres complexes z = a + ib dont la partie imaginaire b
appartient à l’intervalle ]α − π, α + π[.
La formule intégrale de Cauchy
– 21 -
On désigne par Log α l’unique primitive de la fonction z 7→ 1/z sur Uα qui s’annule en eiα .
On appelle Log 0 la détermination principale du logarithme complexe.
Nous vérifierons par la suite que la restriction à R∗+ de Log 0 est la fonction logarithme népérien.
La fonction exponentielle réalise une bijection entre Oα et Uα .
Démonstration – En effet, dire que z ∈ Uα , c’est dire que z est non nul et que son argument est différent
de α + π modulo 2π. Utilisant la forme trigonométrique de l’écriture de z, on a donc
z = ρeiθ
avec ρ > 0 et θ 6= α + π modulo 2π. Il existe un unique réel a tel que ρ = ea et un unique représentant b de
l’argument de z compris strictement entre α − π et α + π (car ces deux nombres diffèrent de 2π). On a donc
z = exp (a + ib) et a + ib est l’unique élément de Oα possédant cette propriété.
Pour tout z ∈ Oα , (Log α ◦ exp )(z) = z − iα .
Démonstration – Notons tout d’abord que puisque Log est définie et holomorphe sur Uα et puisque
exp est holomorphe et vérifie exp (Oα ) = Uα , la fonction Log α ◦ exp est bien définie et holomorphe sur Oα .
Il s’agit de prouver que la fonction
Φ : z 7→ (Log α ◦ exp )(z) − z
est constante sur cet ouvert et de déterminer la valeur de la constante.
Puisque Oα est connexe, il suffit de vérifier que Φ0 est la fonction nulle. Or
Φ0 (z) = Log 0α (exp (z)) × exp 0 (z) − 1 =
exp (z)
−1=0
exp (z)
d’où le résultat.
Il reste à estimer la valeur de la constante. Pour cela, on remarque que iα appartient à Oα et qu’on peut
donc écrire :
Φ(iα) = Log α (eiα ) − iα = −iα
par définition de la fonction Log α . Ceci termine la preuve.
z
Il en résulte en particulier que Log 0 (e ) = z pour tout z ∈ O0 .
Soit z ∈ Uα . On a
Log α (z) = ln(|z|) + iArgα (z) − iα
où Argα (z) est l’unique représentant de l’argument de z strictement compris entre α − π et α + π.
Démonstration – Il suffit de remarquer que d’après le théorème 2.4.2, z s’écrit ea+ib avec a = ln(|z|) et
b = Argα (z), puis d’utiliser le théorème 2.4.3 pour en déduire que
Log α (z) = a + ib − iα
d’où le résultat.
2. 5 – La formule intégrale de Cauchy
Le théorème qui suit est essentiel. Il a comme conséquence l’analyticité des fonctions holomorphes, ainsi que
des informations sur les rayons de convergence des développements en série entière de f .
– 22 -
Théorème 2. 5. 1 – Formule intégrale de Cauchy
Soit U un ouvert de C, D un disque fermé inclus dans U , et f une fonction holomorphe sur U . Pour
tout point z0 ∈ D (disque ouvert)
1
f (z0 ) =
2iπ
Z
Γ
f (z)
dz
z − z0
où Γ désigne le bord orienté de D.
Démonstration – Désignons par a et r le centre et le rayon de D respectivement. Nous allons montrer
la propriété suivante :
Z
Z
f (z)
f (z)
dz =
dz
z
−
z
z
− z0
0
0
Γα
Γ
où Γ0α désigne le cercle orienté dans le sens direct de centre z0 et de rayon α (α est supposé suffisamment
petit pour que ce cercle soit contenu dans D : vérifier qu’il suffit de choisir α < r − |z0 − a|). Puis nous
montrerons que
Z
1
f (z)
dz
2iπ Γ0α z − z0
tend vers f (z0 ) quand α tend vers 0. Ceci prouvera la formule.
On admettra la propriété topologique suivante : si un disque fermé D(a, r) de C est contenu dans un ouvert
U , il existe r0 > r tel que D(a, r0 ) ⊂ U . Ceci se démontre par un argument de compacité.
On fixe donc un tel disque D(a, r0 ) que l’on note D0 . Considérons deux droites d1 et d2 parallèles respectivement à l’axe réel et à l’axe imaginaire et se coupant en z0 . Ces droites partagent D0 en quatre parties
0
0
0
0
(supérieures droite et gauche, inférieure droite et gauche), que l’on appellera D++
, D+−
, D−+
, D−−
, comme
0
le montre la figure (dans laquelle on n’a grisé que l’ouvert D++ ) :
0
D+−
d2
0
D++
r
z0
d1
a
r0
0
D−−
0
D−+
La différence
Z
Γ
f (z)
dz −
z − z0
Z
Γ0α
f (z)
dz
z − z0
est alors la somme des quatre intégrales I++ , I+− , I−+ , I−− , où par exemple, I++ est l’intégrale de f le
long du chemin Γ++ (orienté positivement) représenté en rouge sur la figure ci-dessous.
– 23 -
Γ++
d2
d1
z0
En effet, les morceaux d’intégrales sur les segments se compensent deux à deux, et ceux sur les arcs de cercle
s’additionnent pour donner l’intégrale sur le cercle extérieur orienté positivement plus l’intégrale sur le cercle
intérieur orienté négativement.
Le chemin Γ++ est contenu dans l’ouvert U++ représenté en grisé sur la figure suivante : au lieu de limiter
D++ par les deux droites d1 et d2 , on le limite par d01 et d02 , où d01 est légèrement en dessous de d1 , d02
légèrement à gauche de d1 , par d3 , où d3 est parallèle à la deuxième bissectrice, et suffisamment proche de
z0 pour que tout le petit arc de Γ0α soit au dessus de d3 , et par le “quart” de cercle supérieur droit du bord
de D0 .
Γ++
U++
z0
Contrairement à D++ qui était convexe mais pas ouvert, U++ est un ouvert convexe donc étoilé. La fonction
f (z)
z 7→
z − z0
est holomorphe sur cet ouvert donc elle admet une primitive d’après le théorème 2.3.5. Par conséquent, son
intégrale sur tout chemin fermé est nulle, donc I++ = 0. On montre de même que les trois autres intégrales
sont nulles. D’où le résultat annoncé.
Il reste à prouver que
1
lim
α→0 2iπ
Z
Γ0α
f (z)
dz = f (z0 )
z − z0
La fonction f est continue en z0 (puisque dérivable) : soit ε > 0, il existe α0 > 0 tel que, si z ∈ D(z0 , α0 ),
|f (z) − f (z0 )| < ε.
On vérifie facilement en paramétrant Γ0α par t 7→ z0 + αeit (t ∈ [0, 2π]) que
Z
1
dz
dz = 1
2iπ Γ0α z − z0
Il en résulte que
1
2iπ
Z
Γ0α
Γ0α
f (z)
1
dz − f (z0 ) =
z − z0
2iπ
Z
Γ0α
f (z) − f (z0 )
dz
z − z0
Choisissons α < α0 . Le cercle
est entièrement contenu dans D(z0 , α0 ), donc le module de la fonction à
intégrer est majoré sur le cercle par
ε
α
– 24 -
Comme la longueur du cercle est égale à 2πα, il résulte du théorème 1.6.4 que
1 Z f (z) − f (z ) 0
dz 6 ε
2iπ Γ0α
z − z0
ce qui achève la démonstration.
Remarque – On peut en fait améliorer légèrement les hypothèses de la formule de Cauchy : il suffit que
f soit continue sur le disque fermé D et holomorphe sur le disque ouvert. On le démontre en choisissant des
disques D0 légèrement plus petits que D, que l’on fait “tendre” vers D. La continuité de f sur D garantit
que les intégrales sur le bord de D0 tendent vers l’intégrale sur le bord de D.
De ce théorème découle l’analyticité des fonctions holomorphes.
Toute fonction holomorphe sur un ouvert U de C est analytique sur U . Si D(z0 , r) est un disque
ouvert contenu dans U , le développement en série entière de f en z0 a pour rayon de convergence
R > r et coı̈ncide avec f sur D
1
Nous admettrons ce résultat (que l’on obtient en développant en série entière la fonction z0 7→
dans
z − z0
l’intégrale et en intégrant terme à terme).
En particulier, si f est une fonction holomorphe sur C, elle est développable en série entière en tout point,
ces développements ont un rayon de convergence infini et coı̈ncident avec f sur C tout entier. Une fonction
holomorphe sur C est appelée une fonction entière.
Par ailleurs, il résulte de l’analyticité que toute fonction f holomorphe sur U est indéfiniment dérivable sur
U . Il existe aussi une formule intégrale de Cauchy pour le calcul des dérivées successives.
Soit U un ouvert de C, D un disque fermé inclus dans U , et f une fonction holomorphe sur U . Pour
tout point z0 ∈ D (disque ouvert)
Z
f (n) (z0 )
1
f (z)
=
dz
n!
2iπ Γ (z − z0 )n+1
où Γ désigne le bord orienté de D.
La dernière conséquence que nous tirerons des résultats de ce chapitre est un critère remarquablement simple
d’holomorphie.
Théorème 2. 5. 4 – Théorème de Goursat
Soit U un ouvert de C et f : U → C une fonction continue. Alors f est holomorphe sur U si et
seulement si son intégrale curviligne le long de tout triangle entièrement contenu dans U est nulle.
Démonstration – Nous avons déjà vu qu’une fonction holomorphe sur U a une intégrale nulle sur tout
triangle contenu dans U .
Réciproquement, soit f une fonction possédant une telle propriété. Soit z0 ∈ U . Nous allons montrer que f
est dérivable en z0 .
Soit V = D(z0 , r) un disque ouvert contenu dans U (avec r > 0). Cet ouvert est étoilé et l’intégrale de f
sur un triangle entièrement contenu dans V est nulle puisque V ⊂ U ). En reprenant la démonstration du
théorème 2.3.5 (pour lequel on utilisait seulement cette propriété et la continuité de f ), on prouve que f
possède une primitive F sur V . Comme F est holomorphe sur V elle est indéfiniment dérivable d’après ce
qui précède. Donc sa dérivée f est dérivable sur V , et en particulier en z0 .
2. 6 – Exercices
Conditions de Cauchy-Riemann
– 25 -
2. 6. 1 – Conditions de Cauchy-Riemann
Rappel : si f est différentiable sur un ouvert connexe U , alors f est constante si et seulement
si sa différentielle est identiquement nulle sur U .
Exercice 2. 20 – Pour z = x + iy, x, y ∈ R, on pose f (z) = x + iy 2 .
1 – Prouver que f est R-différentiable sur C (c’est-à-dire que la fonction (x, y) 7→ (x, y 2 ) est différentiable).
Quelle est sa différentielle ?
2 – Existe-t-il un ouvert U de C sur lequel f est holomorphe ?
Exercice 2. 21 – Soit U un ouvert connexe non vide de C et f une application holomorphe sur U . Prouver
que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est constante.
(ii) P = Re (f ) est constante.
(iii) Q = Im (f ) est constante.
(iv) f¯ est holomorphe sur U .
(v) |f | est constante.
Exercice 2. 22 – Soit f et g deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe U telles que f (z) + g(z)
soit réel pour tout z ∈ U . Montrer qu’il existe un réel c tel que f (z) = c + g(z) pour tout z ∈ U (appliquer
les résultats de l’exercice précédent à une fonction bien choisie).
Exercice 2. 23 – On suppose que f est holomorphe sur un ouvert U stable par conjugaison. Montrer que
g : z 7→ f (z̄)) est holomorphe sur U .
Exercice 2. 24 – Pour x, y ∈ R, on pose θ(x + iy) = y + ix. Soit U ⊂ C un ouvert stable par θ, f : U → C
une fonction holomorphe et g définie sur U par
g(z) = f (θ(z))
Montrer que g est holomorphe sur U .
Exercice 2. 25 – Soit U = {x + iy, −π < x < π, y ∈ R}. Si x + iy ∈ U , on pose
P (x, y) =
sin x
cos x + ch y
Prouver qu’il existe une unique application f holomorphe sur U vérifiant f (0) = 0 et Re (f ) = P .
Exercice 2. 26 – Soit a, b, c ∈ R. Pour z = x + iy ∈ C (x, y ∈ R), on pose
P (z) = ax2 + 2bxy + cy 2
1 – Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour qu’il existe f holomorphe sur C
telle que P = Re (f ).
2 – La condition obtenue à la question précédente étant supposée remplie, trouver toutes les fonctions f
holomorphes sur C telles que Re (f ) = P .
Exercice 2. 27 – Soit Φ : R2 → R une fonction de classe C 1 . On considère la courbe plane (C) définie par
l’équation
(C) = {(x, y) ∈ R2 | Φ(x, y) = 0}
−−→
On désigne par (C0 ) l’ensemble des points de (C) où grad Φ(x, y) est nul, et on suppose que (C0 ) est un
ensemble fini.
Soit U un ouvert connexe de C, f : U → C une fonction holomorphe. On identifie C à R2 et on fait
l’hypothèse suivante :
(H) ∀z ∈ U, f (z) ∈ (C)
– 26 -
On souhaite démontrer qu’alors f est constante. Pour cela, on fait un raisonnement par l’absurde en
supposant vérifiée l’hypothèse (H) et en supposant que f n’est pas constante.
1 – Soit F l’ensemble des points z de U tels que f (z) ∈ (C0 ). Montrer que tous les points de F sont isolés.
2 – On désigne par P (z) et Q(z) les parties réelle et imaginaire de f (z) respectivement. Montrer que, pour
tout z ∈ U ,
 ∂Φ
∂P
∂Φ
∂Q

(P (z), Q(z))
(z) +
(P (z), Q(z))
(z) = 0

∂x
∂x
∂y
∂x

 ∂Φ (P (z), Q(z)) ∂P (z) + ∂Φ (P (z), Q(z)) ∂Q (z) = 0
∂x
∂y
∂y
∂y
∂P
∂P
(z) =
(z) = 0.
∂x
∂y
4 – Montrer que, pour tout z ∈ U , f 0 (z) = 0 et en déduire une contradiction.
3 – En déduire que si z ∈ U et si z ∈
/ F,
5 – Retrouver le résultat proposé en utilisant ce théorème de la théorie des fonctions holomorphes : si f est
une fonction holomorphe et non constante sur un ouvert connexe U , f (U ) est un ouvert de C.
2. 6. 2 – Exemples de fonctions holomorphes
Exercice 2. 28 – Soit U le complémentaire dans C des nombres de la forme 2ikπ (k ∈ Z).
1 – Montrer que la fonction
f : z 7→
z
ez − 1
est holomorphe sur U .
2 – Montrer qu’il existe un réel r > 0 (dont on indiquera quelle est la plus grande valeur possible) et des
nombres rationnels Bn tels que, pour tout nombre complexe z de module |z| < r, on ait
f (z) =
+∞
X
Bn
n=0
zn
n!
[Le nombre Bn est appelé le nème nombre de Bernoulli].
3 – Calculer B0 , B1 , B2 . Montrer que si n est un nombre impair différent de 1, Bn = 0.
Exercice 2. 29 –
Soit U l’ensemble des nombres complexes z de partie réelle strictement positive.
1 – Montrer que l’intégrale
Z
+∞
Γ(z) =
e−t tz−1 dt
0
est absolument convergente pour tout z ∈ U .
2 – Montrer que la fonction Γ ainsi définie sur U est holomorphe.
3 – Montrer que, si z ∈ U , Γ(z + 1) = zΓ(z). En déduire Γ(n) pour n entier strictement positif.
2. 6. 3 – Formule intégrale de Cauchy
Exercice 2. 30 – Calculer les intégrales suivantes :
Z
dz
,
C z z̄
Z
Γ
dz
z z̄
où C désigne le bord d’un carré centré en l’origine dont les côtés sont parallèles aux axes et Γ le bord d’un
cercle de centre a ∈ C et de rayon r > 0 ne contenant pas l’origine (on suppose C et Γ orientés dans le sens
direct).
Indication : utiliser la définition de C et de Γ pour exprimer z̄ en fonction de z ; pour Γ, utiliser la formule
de Cauchy.
Formule intégrale de Cauchy
– 27 -
1
n’admet pas de primitive sur C∗ . Montrer qu’elle en
z
admet sur C \ Dα où Dα désigne toute demi-droite fermée issue de 0.
Exercice 2. 31 – Montrer que la fonction z 7→
Exercice 2. 32 – Montrer que la fonction z 7→ exp (1/z) − 1/z admet des primitives sur C∗ (utiliser un
développement en série entière). En déduire l’intégrale
Z
e1/z dz
Γ
où Γ désigne le cercle-unité orienté dans le sens direct.
Exercice 2. 33 – Soit Γ le cercle de rayon 2, centré en l’origine et orienté dans le sens direct. Calculer
Z
ez
dz
2
Γ z +1
Chapitre III
Principe du maximum - Applications
3. 1 – Principe du maximum
Théorème 3. 1. 1 – Première version du principe du maximum
Soit U un ouvert de C et f : U → C une fonction holomorphe. Soit z0 ∈ U et r > 0 tels que
D(z0 , r) ⊂ U . On désigne par Γ(z0 , r) le cercle de centre z0 et de rayon r. Alors :
1.On a max |f (z)| =
D(z0 ,r)
max |f (z)|.
z∈Γ(z0 ,r)
2. S’il existe z1 ∈ D(z0 , r) tel que |f (z1 )| =
max
|f (z)|, la fonction f est constante sur D(z0 , r).
z∈D(z0 ,r)
Si de plus U est connexe, f est constante sur U .
Démonstration – Supposons démontrée le point 2 du théorème. Alors le point 1 en résulte. En effet, le
résultat étant évident si f est constante on peut supposer qu’elle ne l’est pas. Alors, d’après 2., la fonction
|f | ne peut pas atteindre son maximum à l’intérieur de D(z0 , r). Comme ce maximum est atteint (car |f |,
module d’une fonction holomorphe donc continue, et lui aussi continu sur U , et en particulier sur le fermé
borné D(z0 , r)), il ne peut l’être que sur le cercle frontière du disque. Le maximum sur le disque fermé est
donc bien égal au maximum sur le cercle Γ(z0 , r).
Prouvons maintenant le point 2. Nous allons supposer l’existence d’un point z1 ∈ D(0, 1) où |f | est maximale
et prouver, en raisonnant par l’absurde, que f est constante sur D(z0 , r). D’après le théorème des zéros isolés
(appliqué à f sur l’ouvert connexe D(z0 , r)), il suffit de prouver qu’il existe un disque D(z1 , r1 ) sur lequel f
est constante. Si tel n’est pas le cas, le développement en série entière de f au voisinage de z1 contient au
moins un coefficient an non nul avec n > 1.
Remarquons tout d’abord que si f (z1 ) = 0, la fonction |f | a 0 pour maximum, donc est constante (identiquement nulle).
f (z)
Sinon, f (z1 ) 6= 0 et on peut supposer, en remplaçant f par F : z 7→
que f (z1 ) = 1 et que |f | 6 1 sur
f (z1 )
D(z0 , r). Pour h suffisamment voisin de 0, on peut écrire
f (z1 + h) = 1 + an hn + an+1 hn+1 + · · · = 1 + an hn ϕ(h)
où
ϕ(h) = 1 +
an+1
an+2 2
h+
h + ···
an
an
est la somme d’une série entière de même rayon de convergence que f (puisque les séries définissant f et ϕ
convergent exactement pour les mêmes valeurs de h).
En particulier, la fonction ϕ est continue en 0. Comme ϕ(0) = 1, il existe α > 0 tel que, si |h| < α, P (h) > 0
(en notant P (h) la partie réelle de ϕ(h)).
– 29 –
– 30 -
Ecrivons an sous forme trigonométrique : an = ρeiθ et posons ht = te−iθ/n , où 0 < t < α. On a alors
f (z1 + ht ) = 1 + eiθ tn e−iθ (P (h1 ) + iQ(h1 )) = 1 + tn P (h1 ) + itn Q(h1 )
où Q(h1 ) désigne la partie imaginaire de ϕ(h1 )). Ce nombre a une partie réelle 1 + tn P (h1 ) strictement
supérieure à 1, donc aussi un module strictement supérieur à 1. On a trouvé des nombres zt0 = z1 + ht
arbitrairement proches de z1 tel que |f (zt0 )| > 1 = |f (z1 )| : ceci contredit la maximalité de |f | en z1 et achève
la démonstration.
Remarque – On aurait pu modifier la fin de la preuve du point 2 (à partir de l’introduction du
développement en série entière de f en z1 ) par l’argument suivant : il s’agit de prouver que f est constante sur un disque D(z1 , r1 ) avec r1 > 0. Soit r1 > 0 tel que D(z1 , r1 ) ⊂ D(z0 , r). Ecrivons la formule de
Cauchy pour exprimer f (z1 ) :
Z
1
f (z)
dz
f (z1 ) =
2iπ Γ(z1 ,r1 ) z − z1
où Γ(z1 , r1 ) désigne le cercle de centre z1 et de rayon r1 orienté dans le sens direct. La fonction à intégrer est
|f (z1 )|
(puisque |f | est maximal en z1 ) et la courbe a pour longueur 2πr1 . Compte
majorée en module par
r1
tenu de la division par 2π, il y a donc égalité dans l’inégalité triangulaire. Comme pour les fonctions réelles,
on montre alors que |f (z)| = |f (z1 )| pour tout z ∈ Γ(z1 , r1 ). On pourra refaire le même raisonnement
pour tout r0 < r1 (en réécrivant la formule de Cauchy sur Γ(z1 , r0 ) et on en conclut que |f | est constant
sur D(z1 , r1 ). Il suffit alors d’appliquer le résultat de l’équivalence entre (i) et (v) dans l’exercice 2.21 pour
conclure que f est constante.
Nous énonçons maintenant une deuxième version du principe du maximum, aux hypothèses légèrement plus
faibles, et dont la démonstration s’appuie sur celle de la première version.
Théorème 3. 1. 2 – Deuxième version du principe du maximum
Soit z0 ∈ C, r > 0 et f une fonction holomorphe sur D(z0 , r) et continue sur D(z0 , r). Alors :
1.On a max |f (z)| =
D(z0 ,r)
max |f (z)|.
z∈Γ(z0 ,r)
2. S’il existe z1 ∈ D(z0 , r) tel que |f (z1 )| =
max
|f (z)|, la fonction f est constante sur D(z0 , r).
z∈D(z0 ,r)
Démonstration – Vu les hypothèses de continuité, f est bornée sur D(z0 , r) et atteint son maximum
en au moins un point z1 . Supposons comme ci-dessus le point 2 démontré. Il en résulte que, sauf si f est
constante (auquel cas son maximum sur le disque fermé est égal à son maximum sur le cercle), f atteint son
maximum au bord ce qui prouve le point 1.
Montrons maintenant 2.
Supposons que f atteint son maximum en z1 ∈ D(z0 , r). Fixons r0 tel que |z1 − z0 | < r0 < r. La fonction
f est alors holomorphe sur un ouvert U = D(z0 , r) contenant le disque fermé D(z0 , r0 ), et sa restriction
à ce disque fermé atteint son maximum en un point intérieur z1 . D’après la première version, f est donc
constante sur U puisque U est connexe. Par continuité, elle est aussi constante sur D(z0 , r).
3. 2 – Applications
Nous donnerons deux applications du principe du maximum. La première concerne la nature des fonctions
holomorphes du disque unité ouvert D(0, 1) dans lui-même qui laissent invariant 0. La seconde est une
propriété topologique des applications holomorphes : celles qui ne sont pas constantes transforment les ouverts
en ouverts.
Théorème 3. 2. 1 – Lemme de Schwarz
Soit f : D(0, 1) → D(0, 1) une fonction holomorphe. On suppose que f (0) = 0. Alors :
1. Pour tout z ∈ D(0, 1), |f (z)| 6 |z|.
Applications
– 31 -
2. On a |f 0 (0)| 6 1.
3. S’il existe z ∈ D(0, 1) ⊂ {0} tel que |f (z)| = |z| ou si |f 0 (0)| = 1, il existe un nombre λ de module
1 tel que, pour tout z ∈ D(0, 1), f (z) = λz.
Démonstration –
Définissons sur D(0, 1) la fonction g par
 f (z)

si z 6= 0
z
g(z) =
 0
f (0)
sinon
Puisque f est holomorphe sur D(0, 1), elle est développable en série entière sur ce disque ouvert :
∀z ∈ D(0, 1), f (z) =
+∞
X
an z n
n=0
Il en résulte que
∀z ∈ D(0, 1), g(z) =
+∞
X
an+1 z n
n=0
(même pour z = 0), et g est donc la somme d’une série entière de même rayon de convergence, et donc est
aussi holomorphe sur D(0, 1) (à vrai dire, le seul endroit qui posait problème est 0...).
Soit r < 1. Appliquons la première version du principe du maximum à g sur D(0, r) :
∀z ∈ D(0, r), |g(z)| 6 max
|z|=r
|f (z)|
1
6
|z|
r
Supposons maintenant qu’il existe z0 ∈ D(0, 1) tel que |g(z0 )| > 1. Fixons r0 suffisamment proche de 1 pour
1
vérifier les deux conditions suivantes : |z0 | < r0 et
< |g(z0 )|. On a alors
r0
|g(z0 )| 6 max
|z|=r0
1
|f (z)|
6
< |g(z0 )|
|z|
r0
d’où une contradiction.
Il en résulte que la fonction g est majorée en module par 1 sur le disque unité ouvert. Les points 1 et 2 en
résultent.
Si l’hypothèse du point 3 est satisfaite, il existe un point z0 intérieur au disque D(0, 1) où |g| atteint son
maximum. On ne peut pas appliquer directement le 2. de l’une ou l’autre version du principe du maximum.
Pour ce faire, nous allons légèrement diminuer le disque sur lequel nous étudions g.
Fixons r0 tel que |z0 | < r0 < 1. Sur D(0, r0 ), |g| est majoré par 1, et |g(z0 )| = 1 avec z0 ∈ D(0, r0 ). Par
ailleurs, D(0, r0 ) ⊂ D(0, 1) sur lequel g est holomorphe : les hypothèses du point 2 de la première version du
principe du maximum sont réunies (y compris la connexité de U = D(0, 1)) : la fonction g est donc constante,
égale à λ sur U . Puisque |g(z0 )| = 1, |λ| = 1, ce qui termine la démonstration.
La deuxième application que nous proposons du principe du maximum est connue sous le nom de théorème
de l’application ouverte.
Théorème 3. 2. 2 – Théorème de l’application ouverte
Soit U un ouvert connexe de C et f : U → C une fonction holomorphe. Si f n’est pas constante,
f (U ) est un ouvert.
Démonstration – Soit c ∈ U et r > 0 tel que D(c, r) ⊂ U . A cause du théorème des zéros isolés (et
de l’hypothèse selon laquelle f n’est pas constante), on peut choisir r > 0 suffisamment petit pour que la
fonction fc : z 7→ f (z) − f (c) ne s’annule pas sur Γ(c, r) (cercle de centre c et de rayon r). Par continuité
de |fc | sur le fermé borné Γ(c, r), le nombre δ défini par
δ = min |fc (z)|
z∈Γ(c,r)
– 32 -
existe et est strictement positif.
Soit x ∈ D(f (c), δ/2). Nous allons montrer que x possède au moins un antécédent par f dans le disque
D(c, r). On peut poser x = f (c) + u avec |u| < δ/2. Posons g(z) = fc (z) − u. L’égalité g(z) = 0 équivaut
à f (z) = x. Donc pour prouver le résultat, il suffit de prouver que la fonction g s’annule au moins une fois
dans D(c, r).
On a |g(c)| = |fc (c) − u| = |u| < δ/2. Pour z ∈ Γ(c, r), on a |g(z)| > |fc (z)| − |u| > δ − δ/2 = δ/2.
Il en résulte que
|g(c)| < min |g(z)|
z∈Γ(c,r)
Si la fonction g ne s’annulait pas sur D(c, r), comme elle ne s’annule pas non plus sur Γ(c, r) la fonction 1/g
serait holomorphe sur D(c, r) et continue sur D(c, r). On pourrait donc lui appliquer la version 2 du principe
du maximum. Il en résulterait en particulier que
1
1
6 max
|g(c)| z∈Γ(c,r) |g(z)|
d’où
|g(c)| > min |g(z)|
z∈Γ(c,r)
en contradiction avec ce qui précède.
Ceci prouve que pour tout point f (c) de f (U ), il existe un nombre α > 0 tel que D(f (c), α) ⊂ f (U ) (α = δ/2),
donc f (U ) est un ouvert.
3. 3 – Exercices
Exercice 3. 34 – Soient D = D(0, 1), U ⊂ C un ouvert contenant D et f une fonction analytique dans U .
On suppose que f (0) = 1 et que |f (z)| > 1 si |z| = 1.
Montrer que f possède au-moins un zéro dans D.
Exercice 3. 35 – Soient D = D(0, 1), r ∈ ]0, 1[, M ∈ R+ et f une fonction analytique dans D. On suppose
que f (0) = a0 6= 0, qu’il existe z0 ∈ D(0, r) tel que f (z0 ) = 0 et que |f (z)| 6 M si |z| = r.
Montrer que |a0 |r 6 |z0 |(M + |a0 |).
Exercice 3. 36 – Soient U ⊂ C un ouvert, a ∈ U et (gn )n une suite de fonctions analytiques dans U . Pour
n ∈ N, z ∈ U on pose
fn (z) = (z − a)gn (z).
On suppose que la suite de fonctions (fn )n converge uniformément vers 0 sur U .
Montrer qu’il en est de même de la suite (gn )n .
Exercice 3. 37 – Soient D = D(0, 1) et f une fonction analytique sur D sans zéro dans D.
Prouver qu’il existe au moins une suite (zn )n de points de D vérifiant les conditions suivantes :
(i) lim |zn | = 1.
n→+∞
(ii) La suite (f (zn ))n est bornée.
Exercice 3. 38 – Soient f une fonction analytique dans D(0, R) et pour 0 < r < R,
M (r) = sup |f (z)|
|z|=r
Montrer que si f n’est pas constante alors la fonction r 7→ M (r) est strictement croissante.
Exercice 3. 39 – Soient D le disque unité ouvert de C et z0 un point de D. Soit f une fonction analytique
de D dans D. Pour tout z 6= z0 de D, on pose :
φ(z) =
f (z) − f (z0 )
1 − f (z0 )f (z)
×
1 − z0 z
.
z − z0
Exercices
– 33 -
1 – Montrer que φ se prolonge en une fonction analytique définie sur D (toujours notée φ).
2 – Montrer l’inégalité suivante, pour tout z 6= z0 ∈ D :
−1
z − z0 .
|φ(z)| 6 |z| z − z0 3 – Montrer que φ est à valeurs dans le disque unité fermé.
4 – Montrer l’inégalité :
|f 0 (z0 )| 6
1 − |f (z0 )|2
.
1 − |z0 |2
Dans quel cas a-t-on égalité ?
Exercice 3. 40 – Soit D = {z ∈ C | |z| < 1} le disque-unité ouvert de C, D = {z ∈ C | |z| 6 1} le
disque-unité fermé. On dit qu’une fonction f : D → C possède la propriété (R) si f est holomorphe sur D,
continue sur D et si |f (z)| = 1 pour tout z ∈ ∂D.
n
z−a
1 – Soit a ∈ D et n ∈ N. Montrer que la fonction fa,n : z 7→
est définie sur D et possède la
1 − az
propriété (R).
2 – Montrer que le produit de deux fonctions possédant la propriété (R) possède encore la propriété (R).
3 – Soit f une fonction possédant la propriété (R). Montrer qu’il existe r < 1 tel que, si r < |z| 6 1,
f (z) 6= 0. En déduire que f possède un nombre fini de racines dans D.
4 – Soit f une fonction possédant la propriété (R) et a ∈ D une racine de f .
a – Justifier l’existence d’un unique entier strictement positif n tel que f (z) = (z − a)n g(z) où g est une
fonction holomorphe sur D, continue sur D et g(a) 6= 0.
f (z)
se
b – Le nombre n étant celui défini au 4.a., prouver que la fonction définie sur D \ {a} par z 7→
fa,n (z)
prolonge en une fonction holomorphe sur D et continue sur D possédant la propriété (R).
c – Montrer qu’il existe a1 , . . . , ap ∈ D et des entiers strictement positifs n1 , . . . , np tels que la fonction
z 7→
f (z)
fa1 ,n1 (z) · · · fap ,np (z)
se prolonge en une fonction possédant la propriété (R) et ne s’annulant pas sur D.
5 – Soit f une fonction holomorphe sur D et continue sur D. On suppose que f ne s’annule pas sur D.
Montrer que
∀z ∈ D, min |f (u)| 6 |f (z)| 6 max |f (u)|
u∈∂D
u∈∂D
6 – Montrer que si f possède la propriété (R), c’est une fraction rationnelle.
Chapitre IV
Partiels et examens
4. 1 – Partiel du 26 novembre 2004 (durée : 3 heures)
Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés.
On rappelle le résultat ci-dessous (conditions de Cauchy-Riemann)
Px0 (z0 )
Py0 (z0 )
=
=
Q0y (z0 )
.
−Q0x (z0 )
Exercice 4. 41 – Question de cours - Principe des zéros isolés, et une application
1 – Soit U un ouvert connexe de C et f : U → C une fonction analytique. On suppose que f n’est pas
identiquement nulle. Montrer que si z0 est un zéro de f (id est : f (z0 ) = 0), il existe r > 0 tel que, si
z ∈ D(z0 , r) \ {z0 }, f (z) 6= 0.
2 – Existe-t-il une fonction f analytique sur D(0, 1) telle que :
1
1
1
1
∗
∀n ∈ N , f
= et f
=
?
2n
n
2n + 1
2n
Solution – 1 – Voir le théorème 1.5.1 du cours.
2 – Supposons qu’existe une telle fonction f . La fonction g : z 7→ f (z) − 2z est holomorphe sur l’ouvert
connexe U = D(0, 1) et s’annule en tous les points de la suite non stationnaire (1/2n)n∈N∗ . Cette suite
converge vers 0 ∈ U , donc d’après le corollaire 1.5.3, g est identiquement nulle sur U .
Il en résulte que f (1/3) = 2/3 en contradiction avec la deuxième hypothèse faite sur f (selon laquelle on
aurait f (1/3) = 1/2).
Donc il n’existe aucune fonction f analytique sur D(0, 1) et solution du problème proposé.
Exercice 4. 42 – Soit f : C → C une fonction entière ne s’annulant en aucun point de C. On suppose
qu’il existe ε > 0 et R > 0 tel que, pour tout nombre complexe z vérifiant |z| > R, on ait |f (z)| > ε.
Montrer que f est constante sur C (indication : considérer g = 1/f ).
1
est définie et holomorphe sur C.
f (z)
D’après l’hypothèse, pour tout z tel que |z| > R, |g(z)| 6 1/ε, et donc g est bornée en dehors du disque de
centre 0 et de rayon R.
Solution – Puisque f ne s’annule pas sur C, la fonction g : z 7→
Ceci ne permet pas de conclure que g est constante en dehors de ce disque (car pour pouvoir
appliquer le théorème de Liouville 1.7.2, il faut que g soit bornée sur C entier).
– 35 –
– 36 -
Partiels et examens
La restriction de |g| au fermé borné D(0, R) est continue, donc bornée par un certain M . Il en résulte que
|g(z)| est majoré par M pour |z| 6 R, par 1/ε pour |z| > R, donc par max(M, 1/ε) pour tout z ∈ C. Cette
fois, les hypothèses du théorème de Liouville 1.7.2 sont bien réunies (g est entière et bornée sur C) : on en
conclut que g est constante, et donc f aussi.
Exercice 4. 43 – Soit U le complémentaire dans C de la réunion des deux demi-droites [1, +∞[ et ]−∞, −1].
1
1 – Montrer que la fonction f : z 7→ 2
possède des primitives sur U .
z −1
2 – Soit F0 la primitive de f sur U qui s’annule en 0. Justifier l’existence et l’unicité de F0 .
Soit Log la fonction logarithme principal définie sur V = C \ R− .
3 – Pour z ∈ V , rappeler la valeur de Log (z).
4 – Soit z ∈ C. Montrer l’équivalence
1−z
∈ V ⇐⇒ z ∈ U
1+z
En déduire une expression de F0 faisant appel à la fonction Log .
Solution – 1 – La fonction f est holomorphe sur U , qui est étoilé par rapport à 0 (et non pas convexe
comme certains l’ont affirmé). Il résulte donc du théorème 2.3.5 que f possède des primitives sur U .
2 – Soit F une primitive de f . Soit c = F (0). La fonction F0 : z 7→ F (z) − c est encore une primitive de f
et s’annule en 0. Ceci prouve l’existence.
L’unicité résulte de la connexité de U : si F1 est une autre primitive de f s’annulant en 0, la fonction
F0 − F1 a une dérivée nulle sur U , donc elle est constante car U est connexe, et donc elle est nulle puisque
F0 (0) − F1 (0) = 0.
3 – On a Log z = ln |z| + i argπ (z), où argπ (z) est la détermination de l’argument de z comprise strictement
entre −π et π (ce qui est possible puisque z ∈
/ R− ).
4 – En raisonnant sur les complémentaires, il suffit de montrer que
1−z
∈ R− ⇐⇒ z ∈ [1, +∞[ ∪]−∞, −1]
1+z
1−z
• Si z ∈ [1, +∞[ ∪]−∞, −1], il est clair que
est un réel, et que l’un des termes de la fraction est positif
1+z
et l’autre négatif, donc le quotient appartient à R− .
• Si z ∈
/ [1, +∞[ ∪]−∞, −1], soit z ∈ ]−1, 1[, soit z n’est pas réel.
1−z
- Si z ∈ ]−1, 1[,
est le quotient de deux réels strictement positifs, donc est un réel strictement positif.
1+z
1−z
- Si z n’est pas réel,
n’est pas réel non plus. En effet, si z = x + iy, x, y ∈ R, y 6= 0
1+z
1−z
1 − x − iy
(1 − x − iy)(1 + x − iy)
1 − x2 − y 2 − 2iy
=
=
=
1+z
1 + x + iy
(1 + x)2 + y 2
(1 + x)2 + y 2
et la partie imaginaire de ce nombre est non nulle.
1−z
Dans les deux cas, on constate que si z ∈
/ [1, +∞[ ∪]−∞, −1],
∈
/ R− .
1+z
On a donc prouvé que :
1−z
1−z
z ∈ [1, +∞[ ∪]−∞, −1] =⇒
∈ R− et z ∈
/ [1, +∞[ ∪]−∞, −1] =⇒
∈
/ R−
1+z
1+z
Ceci établit l’équivalence demandée.
1−z
5 – D’après la question précédente, la fonction G : z 7→ Log (
) est définie et holomorphe sur U .
1+z
Calculons la dérivée de G : on a
−(1 + z) − (1 − z)
−2
(1 + z)2
G0 (z) =
=
= 2f (z)
1−z
1 − z2
1+z
Partiel du 26 novembre 2004 (durée : 3 heures)
– 37 -
1
1
G est une primitive de f sur U . Comme G(0) = Log 1 = 0, F0 = G.
2
2
Exercice 4. 44 – Soit (Cr ) le cercle de centre 2 et de rayon r, orienté dans le sens direct. On définit
Z
1
z2
I(r) =
dz
3
2iπ Cr z − 1
√
1 – Vérifier que I(r) est définie pour tout r différent de 1 et de 7.
√
2 – Calculer I(r), en distinguant trois cas, suivant la position de r par rapport à 1 et 7.
Par conséquent
z2
soit continue sur le
z3 − 1
cercle Cr . Comme cette fonction est un fraction rationnelle, il suffit que le dénominateur ne s’annule pas sur
ce cercle.
Solution – 1 – Pour que I(r) soit définie, il suffit que la fonction f : z 7→
Or les racines du dénominateur sont les complexes z tels que z 3 = 1. Il s’agit de 1, j et j 2 .
Donc I(r) est définie dès lors que 1, j et j 2 n’appartiennent pas au cercle de centre 2 et de rayon r, ce qui
revient à dire que r est différent de |2 − 1|, |2 − j| et |2 − j 2 |.
Le premier
√ module vaut 1, les deux autres (égaux car ce sont les modules de nombres complexes conjugués)
valent 7, d’où le résultat.
2 – Si r < 1, la fonction f est holomorphe sur l’ouvert convexe U = D(2, 1), donc elle admet des primitives
sur cet ouvert (théorème 2.3.5). Comme le chemin Cr est contenu dans U et fermé, l’intégrale de f le long
de Cr vaut 0 (théorème 2.2.1 ou théorème 2.2.2).
√
z2
Si 1 < r < 7, posons g(z) = 2
. On a
z +z+1
Z
g(z)
1
I(r) =
dz
2iπ Cr z − 1
√
La fonction g est holomorphe sur l’ouvert U = D(2, 7), et le disque D(2, r) est inclus dans U . Donc on
1
peut appliquer la formule intégrale de Cauchy (théorème 2.5.1) : puisque 1 ∈ D(2, r), I(r) = g(1) = .
3
√
Si r > 7, le cercle Cr contient dans son intérieur les trois pôles de la fraction. La méthode de calcul la plus
simple est de décomposer la fraction rationnelle en éléments simples. On a
z2
a
b
c
=
+
+
3
z −1
z−1 z−j
z − j2
Il est clair que a = 1/3. La manière la plus simple de calculer b et c est d’utiliser la formule suivante : quand
P (z)
1
α est pôle simple de la fraction F (z) =
, le coefficient de
dans la décomposition en éléments
Q(z)
z−α
P (α)
simples de F (z) est égal à 0
.
Q (α)
1
Ici, la dérivée de z 3 − 1 étant égale à 3z 2 , les trois coefficients a, b et c valent .
3
On a donc
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
1
1
dz
I(r) =
dz +
dz +
3 2iπ Cr z − 1
2iπ Cr z − j
2iπ Cr z − j 2
La fonction F : z 7→ 1 est holomorphe sur C. Les points 1, j et j 2 sont contenus dans D(2, r), donc d’après
la formule intégrale de Cauchy, les trois intégrales entre parenthèses valent respectivement F (1), F (j) et
3
F (j 2 ) (c’est-à-dire 1, 1 et 1), donc I(r) = = 1.
3
Exercice 4. 45 – Soit D le disque unité ouvert de C (disque ouvert de centre 0 et de rayon 1) et fn : D → C
une suite de fonctions holomorphes sur D. On suppose que la suite (fn ) converge simplement sur D vers une
– 38 -
Partiels et examens
fonction g, et que cette convergence est uniforme sur tout cercle (pas disque ! ) Γr de centre 0 et de rayon
r < 1.
Toutes les questions de cet exercice peuvent être traitées en admettant les résultats des questions précédentes.
Z
g(z)
1
1 – Soit z0 ∈ D. Soit r < 1 tel que |z0 | < r. Montrer que g(z0 ) =
dz.
2iπ Γr z − z0
2 – Soit r < 1. On va montrer dans cette question que la suite (fn ) converge uniformément vers g sur D(0, r)
(disque fermé de centre 0 et de rayon r).
Pour cela, on considère r0 tel que r < r0 < 1.
a – Montrer que, pour tout Z ∈ D(0, r), fn (Z) − g(Z) =
1
2iπ
Z
Γr 0
fn (z) − g(z)
dz.
z−Z
b – Vérifier que si z ∈ Γr0 et Z ∈ D(0, r), |Z − z| > r0 − r.
c – En déduire que
∀Z ∈ D(0, r), |fn (Z) − g(Z)| 6
r0
sup |fn (z) − g(z)|
r0 − r z∈Γr0
d – Prouver le résultat annoncé.
Z
3 – Soit T un triangle entièrement contenu dans D. Calculer
g(z) dz. (On admettra qu’il existe un disque
T
D(0, r) avec r < 1 tel que T ⊂ D(0, r)).
4 – Montrer que g est holomorphe sur D.
Solution – 1 – Pour tout n, on a
fn (z0 ) =
1
2iπ
Z
Γr
fn (z)
dz
z − z0
(1)
d’après la formule de Cauchy (théorème 2.5.1) (car z0 ∈ D(0, r) et D(0, r) ⊂ D). Le membre de gauche de
(1) tend vers g(z0 ) par hypothèse.
En ce qui concerne le membre de droite, comme fn (z) tend uniformément vers g(z) sur Γr , on peut écrire
sup |f (z) − g(z)|
fn (z) − g(z) z∈Γr n
z∈Γr
6
6
= Mn
z − z0
|z − z0 |
r − |z0 |
Le majorant Mn trouvé est indépendant de z, il tend vers 0 quand n tend vers l’infini, donc
fn (z)
tend
z − z0
g(z)
sur Γr . Comme la longueur de Γr est égale à 2πr, on peut donc écrire
z − z0
Z
Z
Z
1
1
fn (z)
1
g(z)
fn (z) − g(z) 1
dz −
dz = dz 6
Mn × 2πr
2iπ
2iπ Γr z − z0
2iπ Γr
z − z0
2π
Γ r z − z0
uniformément vers
d’après le théorème 1.6.4.
1
Ceci montre que le membre de droite de (1) tend vers
2iπ
Z
Γr
g(z)
d’où la conclusion.
z − z0
2 – Montrons la convergence uniforme de fn vers g sur le disque fermé D(0, r).
a – L’égalité demandée résulte de la question 1 en ce qui concerne g et de la formule de Cauchy en ce qui
concerne les fn .
b – On a |Z − z| > |z| − |Z| = r0 − |Z| > r0 − r car |z| = r0 puis |Z| 6 r.
c – On a
Z
1 Z
fn (z) − g(z) 1 fn (z) − g(z) |fn (Z) − g(Z)| = dz =
dz 2iπ Γr0
2π Γr0
z−Z
z−Z
Examen du 10 janvier 2005 (première session) (durée : 3 heures)
– 39 -
Attention à ne pas laisser le i dans cette majoration ! . Vu la minoration de |Z − z| obtenue ci-dessus
et le théorème 1.6.4, et puisque la longueur de Γr0 vaut 2πr0 , on obtient
1
2π
Z
fn (z) − g(z) 1
z∈Γr0
0
dz 6
× 2πr ×
Γr 0
2π
z−Z
r0 − r
d’où le résultat demandé.
d – Le majorant de |fn (Z)−g(Z)| trouvé à la question 2.c. est indépendant de Z ∈ D(0, r). C’est donc aussi
un majorant de sup |fn (Z) − g(Z)|. Ce majorant tend vers 0 quand n tend vers l’infini : ceci prouve la
Z∈D(0,r)
convergence uniforme de fn vers g sur D(0, r).
3 – Soit T un triangle entièrement contenu dans D. Il existe r < 1 tel que T ⊂ D(0, 1), donc la suite (fn )
converge uniformément vers g sur T et notamment sur le bord de T . Il en résulte que
Z
Z
g(z) dz = lim
fn (z) = 0
n→+∞
T
T
(l’intégrale des fn sur T est nulle d’après le théorème 2.3.1).
4 – La fonction g est continue sur D. En effet, soit z0 ∈ D. Il existe r < 1 tel que |z0 | < r. Les fonctions
fn sont continues sur D(0, r) (car holomorphes sur D), et convergent uniformément vers g sur D(0, r), donc
g est elle aussi continue sur D(0, r). En particulier, g est continue en z0 . Comme ce résultat est vrai pour
tout z0 ∈ D, on a bien prouvé que g est continue sur D.
En outre, l’intégrale de g le long de tout triangle entièrement contenu dans D est nulle. Donc d’après le
théorème de Goursat (théorème 2.5.4), g est holomorphe sur D.
4. 2 – Examen du 10 janvier 2005 (première session) (durée : 3 heures)
On rappelle le résultat topologique suivant, qui sera utilisé dans les exercices 2 et 3 : toute famille infinie
bornée de nombres complexes contient une suite non stationnaire convergente.
Exercice 4. 1 – Question de cours : intégrale d’une fonction holomorphe sur un triangle
Soit U un ouvert de C et f : U → C une fonction holomorphe. On désigne par T le bord d’un triangle
entièrement contenu dans U . Montrer que
Z
f (z) dz = 0
T
Solution – Voir le théorème 2.3.1 du cours.
Exercice 4. 2 – Soit U un ouvert connexe de C et (fn )n>0 une suite de fonctions holomorphes sur U . On
suppose que les fonctions fn n’ont aucune racine dans U :
∀n ∈ N, ∀z ∈ U, fn (z) 6= 0
et que la suite (fn ) converge uniformément sur U vers une fonction f . Il est alors possible de démontrer que
f est holomorphe sur U , et on pourra utiliser ce résultat dans la suite.
L’objectif de l’exercice est de prouver que soit f est identiquement nulle sur U , soit elle n’a aucune racine
dans U . On prouvera le résultat en supposant que f n’est pas identiquement nulle sur U et en montrant
qu’elle ne s’annule en aucun point de U .
1 – Soit z0 ∈ U . Montrer qu’il existe r > 0 tel que le disque fermé D(z0 , r) soit contenu dans U .
2 – Montrer qu’il existe r0 vérifiant 0 < r0 6 r tel que f ne s’annule pas sur le cercle Γ(z0 , r0 ) de centre z0
et de rayon r0 . (Raisonner par l’absurde en utilisant le rappel).
– 40 -
3 – Soit a =
Partiels et examens
min
z∈Γ(z0 ,r 0 )
|f (z)|. Justifier l’existence de a et montrer que a > 0.
4 – Montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que, pour tout n > n0 ,
sup
z∈Γ(z0 ,r 0 )
|fn (z) − f (z)| 6 a/2.
5 – En déduire que, pour tout z ∈ Γ(z0 , r0 ), pour tout n > n0 , |fn (z)| > a/2.
6 – En utilisant le fait que fn ne s’annule pas sur D(z0 , r0 ), montrer que, pour tout z ∈ D(z0 , r0 ), |fn (z)| >
a/2.
7 – Montrer que |f (z0 )| > a/2.
8 – Montrer que f ne s’annule en aucun point de U .
Solution – 1 – Par définition des ouverts, pour tout z0 ∈ U , il existe r0 > 0 tel que le disque ouvert
(et non pas fermé comme certains le disent) D(z0 , r0 ) soit contenu dans U . Pour 0 < r < r0 , D(z0 , r) ⊂
D(z0 , r0 ) ⊂ U .
2 – Supposons que pour tout r0 tel que 0 < r0 < r, il existe au moins un point de Γ(z0 , r0 ) où f s’annule
(attention ici aux erreurs de logique ou de rédaction : le contraire de “f ne s’annule pas sur Γ(z0 , r0 )” n’est
pas “f s’annule sur Γ(z0 , r0 )”, qui signifie que f est identiquement nulle sur ce cercle) . Désignons par zr0 ce
point.
La famille formé par les nombres zr0 est infinie (ils sont deux à deux distincts puisqu’ils sont sur des cercles
de même centre et de rayons différents) et bornée (ils sont tous dans le disque D(z0 , r)). On peut donc
utiliser le rappel pour conclure que cette famille contient une suite non stationnaire et convergente, suite que
nous noterons (Zn )n∈N . Désignons par Z la limite de cette suite.
Ceux qui ont écrit quelque chose de proche de ce qui précède ont tous oublié de remarquer que, pour pouvoir
appliquer le corollaire 1.5.3 du théorème des zéros isolés, il faut s’être assuré que la limite Z appartient à
U [du moins personne ne l’a-t-il mentionné dans sa rédaction] . Le point Z appartient à U car tous les Zn
vérifient |z0 − Zn | 6 r, donc on a aussi |z0 − Z| 6 r (stabilité des inégalités larges par passage à la limite).
Donc Z ∈ D(z0 , r) ⊂ U .
Il résulte alors du corollaire 1.5.3 appliqué à f et g = 0 (fonction identiquement nulle sur U ) que f est
identiquement nulle sur U (on utilise aussi la connexité de U ). Ceci contredit l’hypothèse faite au début de
l’exercice.
3 – Les fonctions (fn ) sont holomorphes, donc continues, et convergent uniformément sur U vers f . Il en
résulte que f est continue (stabilité de la continuité par passage à la limite uniforme).
Remarque – On pourrait aussi dire que f est holomorphe sur U (rappel admis au début de l’énoncé)
donc continue sur U .
La fonction |f | est donc elle aussi continue, et donc sa restriction au fermé borné Γ(z0 , r0 ) est bornée et
atteint ses bornes. En particulier, cette restriction admet un minimum d’où l’existence de a. Et puisque les
bornes sont atteintes, il existe z ∈ Γ(z0 , r0 ) tel que a = |f (z)|. Comme f ne s’annule pas sur Γ(z0 , r0 ), on a
donc a > 0.
4 – Par définition de la convergence uniforme, lim sup |fn (z) − f (z)| = 0. Puisque Γ(z0 , r0 ) ⊂ U ,
n→+∞ z∈U
sup
z∈Γ(z0 ,r 0 )
donc
lim
sup
n→+∞ z∈Γ(z ,r 0 )
0
|fn (z) − f (z)| 6 sup |fn (z) − f (z)|
z∈U
|fn (z) − f (z)| = 0. Utilisant la définition de la convergence vers 0 d’une suite avec
ε = a/2, on obtient la conclusion demandée.
5 – D’après la question précédente, si n > n0 , si z ∈ Γ(z0 , r0 ), |fn (z) − f (z)| 6 a/2. En utilisant l’inégalité
|b| − |a| 6 ||a| − |b|| 6 |a − b|
avec a = fn (z) et b = f (z), on en déduit que |f (z)| − |fn (z)| 6 |fn (z) − f (z)| 6 a/2, d’où
|fn (z)| > |f (z)| − |fn (z) − f (z)| > a −
a
a
=
2
2
– 41 -
Remarque – Dans un certain nombre de copies, on voit des inégalités du type |α| 6 β traduites par des
encadrements −β 6 α 6 β : de tels encadrements sont valables dans R mais ils n’ont aucun sens dans C.
6 – Pour résoudre cette question, on fait appel au principe du minimum, valable lorsqu’une fonction holomorphe ne s’annule pas sur un disque. La fonction fn ne s’annule pas sur U . Son inverse 1/f est donc définie
et holomorphe sur U . Puisque D(z0 , r0 ) ⊂ U , on peut donc appliquer le principe du maximum à 1/f sur ce
disque :
1 1 max max 0 6 z∈Γ(z
0 ,r ) fn (z)
z∈D(z ,r 0 ) fn (z)
0
Comme, pour n > n0 , |fn | est minorée par a/2 sur Γ(z0 , r), on a
1 2
6
max 0 a
z∈Γ(z0 ,r ) fn (z) 1 2
6 d’où |fn (z)| > a/2.
Il en résulte que, pour tout z ∈ D(z0 , r0 ), fn (z) a
7 – D’après la question précédente, pour tout n > n0 , pour tout z ∈ D(z0 , r), |fn (z)| > a/2. Cette inégalité
large est en particulier valable si z = z0 . Quand n tend vers l’infini, fn (z0 ) tend vers fn (z) (car la convergence
uniforme implique la convergence simple). En utilisant la conservation des inégalités larges par passage à la
limite, on obtient le résultat demandé : |f (z0 )| > a/2.
8 – Nous avons vu dans l’ensemble des questions précédentes que, pour tout z0 ∈ U , il existe un nombre
strictement positif a (dépendant du choix de z0 ) tel que |f (z0 )| > a/2. En particulier, f (z0 ) 6= 0, d’où le
résultat.
Exercice 4. 3 – Soit f une fonction holomorphe non identiquement nulle sur un ouvert connexe U et
D(z0 , r) un disque fermé contenu dans U tel que f ne s’annule pas sur le cercle Γ(z0 , r). Le but de l’exercice
est de prouver, dans un cas particulier, le résultat suivant :
Z
f 0 (z)
dz = N (z0 , r)
Γ(z0 ,r) f (z)
où le cercle Γ(z0 , r) est supposé orienté dans le sens direct, et où N (z0 , r) est le nombre de racines de f
contenues dans D(z0 , r) comptées avec leur multiplicité.
On dit que α est racine de multiplicité m de f si le premier terme non nul du développement en série entière
de f en α est am (z − α)m . Par exemple, 0 est racine de multiplicité 2 de cos z − 1 puisque le premier terme
1
non nul du développement de cos z − 1 en 0 est − z 2 .
2
1 – Montrer que f n’a qu’un nombre fini de racines dans D(z0 , r) (utiliser le rappel), et indiquer pourquoi
toutes ces racines sont de multiplicités finies.
On se limitera dans la suite au cas particulier suivant : f possède dans D(z0 , r) exactement deux racines α
et β, de multiplicités m et p respectivement.
2 – En utilisant le développement en série entière de f en α, écrire un développement limité à l’ordre m de
(z − α)f 0 (z)
f en α, à l’ordre m − 1 de f 0 en α, et en déduire que lim
= m.
z→α
f (z)
3 – En écrivant les développements limités en α de f et f 0 à l’ordre m + 1 et m respectivement, calculer
(z − α)f 0 (z)
−m
f (z)
lim
en fonction de am et am+1 (où am+1 désigne le coefficient de (z − α)m+1 dans le
z→α
z−α
développement en série entière de f en α).
f 0 (z)
En déduire que la fonction définie au voisinage de α par z 7→ (z−α)
admet un prolongement holomorphe
f (z)
en α.
– 42 -
Partiels et examens
4 – On définit sur D(z0 , r) la fonction g par

f 0 (z)

 (z − α)(z − β)
f (z)
g(z) =
m(α
−
β)


p(β − α)
si z 6= α et z 6= β
si z = α
si z = β
Déduire de ce qui précède (avec un minimum de calculs) que g est holomorphe sur D(z0 , r) et continue sur
D(z0 , r).
!
Z
Z
Z
1
g(z)
g(z)
f 0 (z)
5 – Montrer que
dz =
dz −
dz et conclure en utilisant la
α−β
Γ(z0 ,r) z − α
Γ(z0 ,r) z − β
Γ(z0 ,r) f (z)
formule de Cauchy.
Solution – 1 – Si f possédait une infinité de racines dans D(z0 , r), ces racines formeraient une famille
infinie bornée. On pourrait donc en extraire d’après le rappel une suite non stationnaire convergente vers
une limite z. Cette limite appartiendrait à U (même commentaire à ce propos qu’à la question 1 de l’exercice
précédent sur le fait qu’il faut justifier que z ∈ U pour pouvoir utiliser le corollaire 1.5.3.
Puisque U est connexe, on pourrait appliquer ce corollaire avec g = 0, pour en conclure que f serait
identiquement nulle sur l’ouvert U . Ceci contredit l’hypothèse sur f .
Si maintenant il existait une racine z de multiplicité infinie, le développement en série entière de f en z
serait la série nulle. Comme f est holomorphe, elle est analytique et il existe donc un disque ouvert non vide
centré en z où f coı̈ncide avec son développement en série entière en z : elle est donc identiquement nulle sur
ce disque. Il en résulte que z n’est pas un zéro isolé de f , et de nouveau on conclut que f est identiquement
nulle sur U .
2 – On sait qu’une fonction développable en série entière au voisinage d’un point α est de classe C ∞ au
voisinage de α : elle admet donc des développements limités à tout ordre au voisinage de α. Par ailleurs,
on sait que son développement en série entière coı̈ncide avec sa série de Taylor, qui permet de calculer les
développements limités. Il en résulte que, pour z suffisamment proche de α,
f (z) = am (z − α)m + (z − α)m ε1 (z), lim ε1 (z) = 0
z→α
D’autre part, on sait aussi que le développement en série entière de f 0 s’obtient en dérivant terme à terme
celui de f : en reprenant le même argument que ci-dessus, on en déduit
f 0 (z) = mam (z − α)m−1 + (z − α)m−1 ε2 (z), lim ε2 (z) = 0
z→α
On a donc
(z − α)f 0 (z)
mam (z − α)m + (z − α)m ε2 (z)
mam + ε2 (z)
=
=
m
m
f (z)
am (z − α) + (z − α) ε1 (z)
am + ε1 (z)
qui tend clairement vers m quand z tend vers α.
3 – Les calculs de développements limités demandés s’appuient sur la même argumentation qu’à la question
précédente. On obtient
f (z) = am (z − α)m + am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε1 (z), lim ε1 (z) = 0
z→α
et
f 0 (z) = mam (z − α)m−1 + (m + 1)am+1 (z − α)m + (z − α)m ε2 (z), lim ε2 (z) = 0
z→α
On a donc
mam (z − α)m + (m + 1)am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε2 (z)
(z − α)f 0 (z)
−m
−m
am (z − α)m + am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε1 (z)
f (z)
=
z−α
z−α
N (z)
=
(z − α)(am (z − α)m + am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε1 (z))
où
N (z)
– 43 -
= mam (z − α)m + (m + 1)am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε2 (z)
−m(am (z − α)m + am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε1 (z))
= am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε(z)
avec ε(z) = ε2 (z) − mε1 (z) qui tend bien vers 0 quand z tend vers α.
Finalement
(z − α)f 0 (z)
−m
am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε(z)
f (z)
=
z−α
(z − α)(am (z − α)m + am+1 (z − α)m+1 + (z − α)m+1 ε1 (z))
am+1 + ε(z)
=
am + am+1 (z − α) + (z − α)ε1 (z)
am+1
quand z tend vers α.
am
Il existe un disque ouvert Dα de α sur lequel la seule racine de f est α. Donc la fonction
qui tend vers
Φα : z 7→
(z − α)f 0 (z)
f (z)
est bien définie sur Dα \ {α} et elle est holomorphe comme produit et quotient de fonctions qui le sont (car
on sait qu’une fonction holomorphe f est indéfiniment dérivable, donc en particulier que f 0 est également
holomorphe). Par ailleurs Φα a une limite en α, donc un prolongement par continuité en α. Enfin, le calcul
ci-dessus montre que ce prolongement est dérivable en α. Donc le prolongement (que l’on notera encore Φα )
est bien une fonction holomorphe sur Dα .
4 – De manière analogue au travail fait ci-dessus pour α, on montrerait qu’il existe un disque ouvert Dβ sur
(z − β)f 0 (z)
lequel la fonction Φβ : z 7→
admet un prolongement holomorphe (encore noté Φβ ).
f (z)
Vu sa définition, la fonction g coı̈ncide sur Dα avec la fonction z 7→ (z − β)Φα (z) qui est continue et
holomorphe comme produit de fonctions qui le sont. Donc g est continue et dérivable en α.
De même, g coı̈ncide sur Dβ avec la fonction z 7→ (z − α)Φβ (z) qui est elle aussi continue et holomorphe,
donc g est continue et dérivable en β.
Par ailleurs, il est clair que g est holomorphe sur D(z0 , r) \ {α, β} (comme produit et quotient de fonctions
qui le sont) et qu’elle est continue sur D(z0 , r) \ {α, β} (même raison, en n’oubliant pas que f ne s’annule
en aucun point du cercle Γ(z0 , r)).
Finalement, g est bien holomorphe sur D(z0 , r) et continue sur D(z0 , r).
1
donne immédiatement
(z − α)(z − β)
1
1
1
1
=
−
(z − α)(z − β)
α−β z−α z−β
5 – La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle
d’où la formule demandée.
Appliquant la formule de Cauchy (théorème 2.5.1) à g (ce qui est possible d’après le résultat de la question
précédente), on obtient
Z
Z
g(z)
g(z)
dz = 2iπg(α) et
dz = 2iπg(β)
z
−
α
z
−β
Γ(z0 ,r)
Γ(z0 ,r)
d’où
Z
Γ(z0 ,r)
f 0 (z)
g(α) − g(β)
dz = 2iπ
= 2iπ(m + p)
f (z)
α−β
– 44 -
Partiels et examens
Remarque – Il y avait une erreur dans l’énoncé, l’oubli du 1/2iπ devant l’intégrale. Les personnes qui
ont trouvé le résultat ci-dessus comme celles qui ont fait le même lapsus que l’énoncé ont obtenu l’ensemble
des points de la question.
Z
1
f 0 (z)
En conséquence, c’est l’intégrale
dz qui est égale à m + p dans ce cas particulier, et au
2iπ Γ(z0 ,r) f (z)
nombre de total de racines de f à l’intérieur du disque D(z0 , r) comptées avec leur multiplicité dans le cas
général. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Rouché.
4. 3 – Examen du 24 janvier 2005 (deuxième session) (durée : 3 heures)
Exercice 4. 1 – Question de cours - Théorème de l’application ouverte
1 – Soit U un ouvert de C et f : U → C une fonction holomorphe. On suppose que f n’est pas constante.
Montrer que f (U ) est un ouvert.
Indications : fixer c ∈ U ; montrer qu’il existe r > 0 et δ > 0 tels que
min |f (z) − f (c)| = δ
z∈Γ(c,r)
(où Γ(c, r) désigne le cercle de centre c et de rayon r).
Montrer que D(f (c), δ/2) ⊂ f (D(c, r)).
Exercice 4. 2 – Soit U et U les carrés respectivement ouvert et fermé de C définis par
U
U
= {z = x + iy ∈ C | − 1 < x < 1, −1 < y < 1}
= {z = x + iy ∈ C | − 1 6 x 6 1, −1 6 y 6 1}
et soit f une fonction non constante, holomorphe sur U et continue sur U .
1 – Montrer qu’il existe z0 ∈ U tel que |f (z0 )| = maxz∈U |f (z)|.
2 – On suppose que z0 ∈ U . Soit r0 = |f (z0 )|. Montrer que f (U ) ⊂ D(0, r0 ) et qu’il n’existe aucun r > 0
tel que D(f (z0 , r)) ⊂ f (U ). En déduire que f est constante.
3 – Enoncer un principe du maximum pour les fonctions holomorphes sur U et continues sur U . A quels
autres ouverts U un tel principe peut-il être généralisé ?
Exercice 4. 3 – Prolongement de fonctions holomorphes
Le but de l’exercice est de prouver le résultat suivant : soit U = D(a, r0 ) un disque ouvert de C (r0 > 0) et
f : U \ {a} → C une fonction holomorphe. Si f admet une limite ` en a, la fonction g définie par
f (z) si z 6= a
g(z) =
`
si z = a
est holomorphe (en d’autres termes : f se prolonge en une fonction holomorphe sur U ).
On utilisera dans tout l’exercice la notation Γ(z, r) pour désigner le cercle de centre z et de rayon r parcouru
dans le sens direct.
Dans toute la suite, on fixe un nombre r tel que 0 < r < r0 .
1 – On définit deux ouverts U+ et U− de la manière suivante : U+ (resp. U− ) est le complémentaire dans U
du segment formé par les points qui ont la même partie imaginaire que a et une partie réelle inférieure ou
égale (resp. supérieure ou égale) à celle de a.
Représenter graphiquement U+ et U− .
2 – Soit ε tel que 0 < ε < r.
Soit γ1 et γ2 les deux chemins indiqués sur la figure ci-dessous (orientés dans le sens direct). (Les segments verticaux ont été tracés comme s’ils étaient distincts pour faciliter la visualisation, mais sont en fait
confondus).
Premier contrôle continu de novembre 2005 (durée : 1 heure 30)
– 45 -
A
(γ2 )
(γ1 )
ε
r
Z
Montrer, en utilisant une propriété des ouverts U+ et U− , que les intégrales
γ1
f (z)
dz et
z−a
Z
γ2
f (z)
dz sont
z−a
nulles.
a – En déduire que
1
2iπ
Z
1
ε→0 2iπ
Γ(a,r)
f (z)
1
dz =
z−a
2iπ
Z
b – Montrer que lim
Γ(a,ε)
Z
Γ(a,ε)
f (z)
dz.
z−a
f (z)
dz = ` et en déduire la valeur de
z−a
Z
Γ(a,r)
f (z)
dz.
z−a
3 – On admettra que, si ε est suffisamment petit et si w ∈ D(a, r),
Z
Z
Z
f (z)
f (z)
f (z)
dz =
dz +
dz
z
−
w
z
−
w
z
−w
Γ(a,ε)
Γ(w,ε)
Γ(a,r)
Z
Z
f (z)
1
f (z)
dz = 0 et en déduire que
dz = f (w).
Montrer que lim
ε→0 Γ(a,ε) z − w
2iπ Γ(a,r) z − w
Z
1
f (z)
Pour w ∈ D(a, r), on définit g(w) par g(w) =
dz.
2iπ Γ(a,r) z − w
4 – Déduire de ce qui précède que la fonction g coı̈ncide avec f sur D(a, r) \ {a} et qu’elle est continue sur
D(a, r).
Z
1
f (z)
g(w + h) − g(w)
tend vers
dz. (On écrira avec
5 – Montrer que, lorsque h tend vers 0,
h
2iπ Γ(a,r) (z − w)2
soin les arguments de convergence uniforme pour les intégrales).
6 – En déduire que g est holomorphe sur D(a, r) et conclure.
4. 4 – Premier contrôle continu de novembre 2005 (durée : 1 heure 30)
Exercice 4. 1 – Question de cours - Formule intégrale de Cauchy
On a prouvé en cours la formule intégrale de Cauchy, selon laquelle, si f est holomorphe sur le disque ouvert
D(a, r) et continue sur le disque fermé D(a, r), et si z0 ∈ D(a, r),
Z
1
f (z)
f (z0 ) =
dz
2iπ Γa,r z − z0
où Γa,r désigne le cercle de centre a et de rayon r parcouru une fois dans le sens direct.
Pour cela on a procédé en trois étapes :
– 46 -
Partiels et examens
1
2iπ
Z
f (z)
1
dz = 0 lim0
r →r,r <r 2iπ
Γa,r z − z0
Z
(b) On a montré que, pour ε > 0 suffisamment petit,
Z
f (z)
dz.
Γa,r0 z − z0
Z
f (z)
f (z)
dz =
dz, où Γz0 ,ε désigne le
z
−
z
z
− z0
0
Γa,r0
Γz0 ,ε
cercle de centre z0 et de rayon ε parcouru une fois dans le sens direct.
Z
f (z)
(c) On a montré que lim
dz = f (z0 ).
ε→0 Γ
z − z0
z0 ,ε
(a) On a montré que
1 – A quoi sert l’étape (a) ?
Z
2 – Prouver l’étape (b), c’est-à-dire l’égalité des intégrales curvilignes
Γa,r0
3 – Prouver l’étape (c), c’est-à-dire le fait que lim
ε→0
1
2iπ
Z
Γz0 ,ε
f (z)
dz et
z − z0
Z
Γz0 ,ε
f (z)
dz.
z − z0
f (z)
dz = f (z0 ).
z − z0
Exercice 4. 2 – Il n’existe pas de fonction racine carrée sur C∗
Soit f : C∗ → C une fonction holomorphe. On suppose que, pour tout z ∈ C∗ , (f (z))2 = z et que
f (1) = 1. On rappelle que Log désigne la détermination principale du logarithme complexe, c’est-à-dire
l’unique fonction définie sur C \ R− telle que exp ◦ Log (z) = z pour tout z ∈ C \ R− et telle que Log (1) = 0.
1 – Rappeler l’expression de Log z si le nombre complexe z a pour écriture trigonométrique z = ρeiθ , ρ > 0,
−π < θ < π.
2
Log 1
Log z
2 – Vérifier que, pour tout z ∈ R∗+ , exp
= z et que exp
= 1.
2
2
Log z
En déduire que f coı̈ncide avec la fonction z 7→ exp
sur un intervalle ouvert ]1 − α, 1 + α[ (α > 0 :
2
utiliser un argument de continuité) puis que ces deux fonctions sont partout égales sur C \ R− .
Log (eiθ )
3 – Calculer la limite de exp
quand θ tend vers π par valeurs inférieures, puis quand θ tend
2
vers −π par valeurs supérieures.
Montrer que ces deux limites sont égales à f (−1) et en déduire une contradiction.
4 – Justifier le titre de l’exercice.
4. 5 – Deuxième contrôle continu de novembre 2005 (durée : 1 heure 30)
On rappelle le résultat ci-dessous (conditions de Cauchy-Riemann)
Px0 (z0 ) = Q0y (z0 )
.
Py0 (z0 ) = −Q0x (z0 )
Exercice 4. 1 – Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
1 – Soit U un ouvert connexe de C. Soit f et g deux fonctions holomorphes sur U . Pour z ∈ U , on note
Pf (z) la partie réelle de f (z) et Pg (z) celle de g(z).
On suppose que, pour tout z ∈ U , Pf (z) = Pg (z). Montrer que f − g est constante sur U .
2 – Soit f : C → C une fonction holomorphe telle que f (0) = 0 et, pour tout z ∈ C,
P (z) = x3 − 3x2 + 3x − 3xy 2 + 3y 2
où P (z) désigne la partie réelle de f (z), et où x et y désignent respectivement les parties réelle et imaginaire
de z.
Examen du 14 décembre 2005 (première session) (durée : 3 heures)
– 47 -
Déterminer l’expression de f (z) et calculer f (1) et f (1 + i).
Exercice 4. 2 – Soit (Cr ) le cercle de centre 2 et de rayon r, orienté dans le sens direct et f la fonction
définie sur C par
∀z ∈ C, f (z) = (z − 1)2 (z − i)(z + i)
1 – Exprimer simplement
1
1
1
f 0 (z)
en fonction de
,
et
pour z 6= 1, i, −i.
f (z)
z−1 z−i
z+i
On définit
f 0 (z)
dz
Cr f (z)
√
2 – Vérifier que I(r) est définie pour tout r différent de 1 et de 5.
I(r) =
1
2iπ
Z
3 – Montrer que, si a est un nombre complexe n’appartenant pas au cercle (Cr ), l’intégrale
Z
1
1
dz
2iπ Cr z − a
vaut 0 si |a − 2| > r et 1 si |a − 2| < r.
4 – Calculer I(r), en distinguant trois cas, suivant la position de r par rapport à 1 et
√
5.
5 – Généralisation
Soit a1 , · · · , am m nombres complexes deux à deux distincts, n1 , · · · , nm m nombres entiers strictement
positifs et f la fonction définie sur C par
∀z ∈ C, f (z) = (z − a1 )n1 · · · (z − am )nm
f 0 (z)
1
en fonction des ni et des
.
f (z)
z − ai
b – On suppose que a ∈ C et r > 0 sont choisis de telle sorte que le disque ouvert D(a, r) contient a1 , · · · , ak ,
tandis que ak+1 , · · · , am sont tous à une distance de a strictement supérieure à r. Montrer que, si Γr désigne
le cercle de centre a et de rayon r parcouru une fois dans le sens direct, l’intégrale
Z
1
f 0 (z)
I(r) =
dz
2iπ Γr f (z)
a – Exprimer, pour z distinct de tous les ai ,
est définie et égale à n1 + · · · + nk .
4. 6 – Examen du 14 décembre 2005 (première session) (durée : 3 heures)
Dans les exercices 1 et 2, on pose D = {z ∈ C | |z| < 1} et D = {z ∈ C | |z| 6 1}.
Exercice 4. 1 – Question de cours - Lemme de Schwarz
Soit f : D → D une fonction holomorphe vérifiant f (0) = 0.
1 – Montrer que, pour tout z ∈ D, |f (z)| 6 |z|.
2 – Montrer que |f 0 (0)| 6 1.
Exercice 4. 2 – On considère le polynôme P (X) = X n + X n−1 + · · · + X − 1.
1 – Montrer qu’il existe un unique x0 ∈]0, 1[ tel que P (x0 ) = 0.
2 – On définit le polynôme R(X) par l’égalité (X − 1)P (X) = 2(R(X) − X).
a – Calculer R(X).
b – Montrer que
• Pour tout z ∈ D, |R(z)| < 1.
– 48 -
Partiels et examens
• Il existe au moins un nombre complexe z0 de module 1 tel que |R(z0 )| < 1.
3 – Pour a ∈ D, on définit sur D l’application Ta par
Ta : z 7→
z−a
1 − āz
Montrer que si |z| < 1, |Ta (z)| < 1 et que si |z| = 1, |Ta (z)| = 1.
Indication - Etudier 1 − Ta (z)Ta (z).
4 – Montrer que Ta (D) = D.
Indication - Vérifier que Ta est une bijection, de bijection réciproque T−a et appliquer ce qui précède à Ta
et T−a .
On pose dans la suite T = Tx0 .
5 – Calculer T (x0 ).
6 – On pose, pour z ∈ D, R1 (z) = T (R(T −1 (z))).
a – Montrer que :
• Pour tout z ∈ D, |R1 (z)| < 1.
• Il existe au moins un nombre complexe z0 de module 1 tel que |R1 (z0 )| < 1.
Indication - Utiliser les résultats des questions 2.b. et 4.
b – Calculer R1 (0).
7 – Déduire des résultats des questions 6.a. et 6.b. que, si z ∈ D \ {0}, |R1 (z)| < |z|.
8 – Montrer que si |z| 6 1, z 6= 1 et z 6= x0 , R(z) 6= z. En déduire que x0 est la seule racine de P dans D.
Exercice 4. 3 – Soit f une fonction holomorphe non constante sur U = {z ∈ C | − 1 < Re (z) < 1} et
continue sur U = {z ∈ C | − 1 6 Re (z) 6 1}. On suppose que |f | est majorée par M > 0 sur U . On suppose
en outre que |f (z)| 6 1 pour tout nombre complexe z de partie réelle égale à 1 ou à −1. On souhaite prouver
que cette inégalité est alors vraie pour tout z ∈ U .
1 – Soit A un réel strictement positif, RA le rectangle fermé de sommets −1 − iA, 1 − iA, 1 + iA et 1 − iA
(l’intérieur du rectangle et les segments qui le bordent) et UA l’intérieur de ce rectangle.
a – Rappeler pourquoi f (UA ) est un ouvert.
b – On suppose qu’il existe z0 ∈ UA tel que |f (z0 )| = max |f (z)|. Montrer que f (UA ) est contenu dans le
z∈UA
disque de centre 0 et de rayon |f (z0 )|. En déduire que f (z0 ) n’est pas un point intérieur de f (UA ), et aboutir
à une contradiction.
c – On désigne par ∂RA le bord du rectangle RA , c’est-à-dire la réunion des quatre segments I1 = [−1 −
iA, 1 − iA], I2 = [1 − iA, 1 + iA], I3 = [1 + iA, −1 + iA] et I4 = [−1 + iA, −1 − iA]. Déduire de ce qui précède
que
max |f (z)| = max |f (z)|
z∈RA
z∈∂RA
εz 2
2 – Pour ε > 0, on pose fε (z) = e f (z). La fonction fε est, comme f , holomorphe sur U et continue sur
U , et on peut donc lui appliquer le résultat de la question 1.c..
On fixe A > 0.
a – Montrer que si z appartient à l’un des segments “verticaux” I2 et I4 ,
|fε (z)| 6 eε
(majorer Re (εz 2 )).
b – Montrer que si z appartient à un des segments horizontaux I1 et I3 ,
|fε (z)| 6 M eε(1−A
2
)
Examen du 26 janvier 2006 (deuxième session) (durée : 3 heures)
– 49 -
2
c – Montrer qu’il existe A0 tel que, pour tout A > A0 , M eε(1−A ) 6 1. En déduire que pour tout A > A0 ,
la fonction fε est majorée sur RA par eε , puis prouver que cette majoration est vérifiée sur tout U .
3 – Déduire de 2.c. que |f | est majorée par 1 sur U (faire tendre ε vers 0).
4. 7 – Examen du 26 janvier 2006 (deuxième session) (durée : 3 heures)
Exercice 4. 1 – Question de cours - Théorème des zéros isolés
1 – Enoncer et démontrer le théorème des zéros isolés
2 – Une application
Etudier l’existence d’une fonction holomorphe sur C telle que, pour tout entier n > 1,
1
1
1
1
f
= 2 et f
= 2
2n
n
2n + 1
n +1
Exercice 4. 2 – Soit H l’ensemble des nombres complexes z = x + iy dont la partie imaginaire y est
strictement positive, et D(0, 1) l’ensemble des nombres complexes de module strictement inférieur à 1.
1 + iz
est définie et holomorphe sur H.
1 – Vérifier que l’application ϕ : z 7→
1 − iz
2 – Calculer |ϕ(z)| en fonction des parties réelle et imaginaire de z et en déduire que ϕ(H) ⊂ D(0, 1).
3 – Prouver, plus précisément, que ϕ est une bijection de H dans D(0, 1), de bijection réciproque
ψ : u 7→
i − iu
1+u
4 – Soit f : H → H une fonction holomorphe telle que f (i) = i et |f 0 (i)| = 1. On lui associe la fonction
g = ϕ ◦ f ◦ ψ. Montrer que g est une fonction holomorphe de D(0, 1) dans D(0, 1).
5 – Calculer g(0) et |g 0 (0)|. En déduire l’expression de g.
6 – Montrer qu’il existe θ ∈ R tel que, pour tout z ∈ H, ϕ(f (z)) = eiθ ϕ(z) et en déduire l’expression de
f (z), en fonction de z et θ.
Z iz
e
dz = 0, où Γ est le chemin orienté fermé
Exercice 4. 3 – 1 – Montrer que l’intégrale curviligne
Γ z
représenté par la figure ci-dessous.
(Γ)
R
C
r
D
A
B
O
eiz
Indication - Remarquer que f : z 7→
est holomorphe sur l’ouvert U obtenu en enlevant à C la
z
demi-droite formée par les nombres complexes de partie réelle nulle et de partie imaginaire négative ou nulle.
– 50 -
Partiels et examens
−r
Z R it
Z π
Z π
it
it
eit
e
dt +
dt =
ieire dt −
ieiRe dt
t
t
−R
r
0
0
Z π
Z π
it
it
sin t
1
dt =
eire dt −
eiRe dt .
t
2
0
0
Z
2 – En déduire que
Z
puis que
r
R
3 – Soit ε > 0. Rappeler pourquoi il existe r0 tel que, si |z| 6 r0 , |ez − 1| 6 ε.
Z π
it
Vérifier que, si r 6 r0 , |ireit | 6 r0 et en déduire que eire dt − π 6 πε.
0
4
b
c
5
2t
– a – Vérifier que, pour tout t ∈ [0, π/2], sin t > .
π
Z π
Z π
Z π/2
it
– Montrer que eiRe dt 6
e−R sin t dt = 2
e−R sin t dt.
0
0
0
Z π
it
π
– En déduire que eiRe dt 6 (1 − e−R ).
R
0
Z +∞
sin t
π
– En utilisant les résultats précédents, prouver que
dt = .
t
2
0
Table des matières
1.
2.
3.
Séries entières - Propriétés des fonctions analytiques
. . . . . . . .
1
1.1.
Panorama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.
Séries entières : convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.1
Rayon de convergence d’une série entière
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.2
Méthodes de détermination de R.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3.
Séries entières : régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4.
Fonctions analytiques. Propriétés de stabilité
. . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5.
Le principe des zéros isolés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6.
Intégrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7.
Les inégalités de Cauchy
8
1.8.
Le panorama revisité : théorie des fonctions holomorphes
1.9.
Exercices sur les fonctions analytiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.
Fonctions holomorphes. Relations de Cauchy-Riemann
. . . . . . . . . . . . .
15
2.2.
Primitives des fonctions holomorphes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.
2.4.
Les fonctions logarithmes
2.5.
2.6.
Exercices
. . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.6.1
Conditions de Cauchy-Riemann
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2
Exemples de fonctions holomorphes
2.6.3
Formule intégrale de Cauchy
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1.
Principe du maximum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2.
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.
Exercices
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– 51 –
– 52 -
4.
Table des matières
Partiels et examens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.1.
Partiel du 26 novembre 2004 (durée : 3 heures)
. . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.2.
Examen du 10 janvier 2005 (première session) (durée : 3 heures) . . . . . . . . .
39
4.3.
. . . . . . . .
44
4.4.
Premier contrôle continu de novembre 2005 (durée : 1 heure 30)
. . . . . . . . .
45
4.5.
Deuxième contrôle continu de novembre 2005 (durée : 1 heure 30)
. . . . . . . .
46
4.6.
Examen du 14 décembre 2005 (première session) (durée : 3 heures) . . . . . . . .
47
4.7.
49
. . . . . . . .

Chapitre I Séries enti`eres - Propriétés des fonctions analytiques

Transcription

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