Optimisation et Contrôle Stochastique Appliqués `a la Finance

Optimisation et Contrôle Stochastique
Appliqués à la Finance
Huyên PHAM
Université Paris 7
Laboratoire de Probabilités et
Modèles Aléatoires, CNRS UMR 7599
[email protected]
Table des matières
Préface
5
Notations
7
1 Quelques éléments d’analyse stochastique
1.1 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Filtration et processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Temps d’arrêts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Martingales, semimartingales . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Intégrale stochastique et applications . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Intégrale stochastique par rapport à une semimartingale
1.2.2 Processus d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Théorèmes de représentation de martingales . . . . . . .
1.2.5 Théorème de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Equations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Solutions fortes d’EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Estimations sur les moments de solutions d’EDS . . . .
1.3.3 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Problèmes d’optimisation stochastique. Exemples en finance
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Allocation de portefeuille par critère d’utilité . . . . . . .
2.2.2 Modèle de production et consommation . . . . . . . . . .
2.2.3 Modèles d’investissement irréversible d’une firme . . . . .
2.2.4 Couverture quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Coût de surréplication en volatilité incertaine . . . . . . .
2.3 Autres modèles de contrôles en finance . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
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4 Approche des équations de Bellman par les solutions de viscosité
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Définition des solutions de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Principe de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 De la programmation dynamique aux solutions de viscosité . . . . . .
4.5 Un modèle d’investissement irréversible . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Régularité et construction de la fonction valeur . . . . . . . . .
4.5.3 Stratégie optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Calcul du coût de surréplication en volatilité incertaine . . . . . . . . .
4.6.1 Volatilité bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Volatilité non bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Méthodes d’équations différentielles stochastiques rétrogrades
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Résultats d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 EDSR linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Principe de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4
2.3.1 Arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Contrôle ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Surréplication sous contraintes gamma . . . . . . .
2.3.4 Optimisation d’utilité robuste et mesures du risque
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Approche EDP classique de la programmation dynamique
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Contrôle de processus de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Principe de la programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Equation d’Hamilton-Jacobi-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Dérivation formelle de HJB . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Remarques-Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Théorème de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Problème de choix de portefeuille de Merton en horizon fini
3.6.2 Un modèle de production et consommation en horizon infini
3.7 Exemple de problème de contrôle stochastique singulier . . . . . .
3.8 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
TABLE DES MATIÈRES
5.3
5.4
5.5
5.6
EDSR, EDP et formules de type Feynman-Kac . . . . . . . . . .
Contrôle et EDSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Optimisation d’une famille d’EDSR . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Principe du maximum stochastique . . . . . . . . . . . . .
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Maximisation d’utilité exponentielle avec actif contingent
5.5.2 Critère moyenne-variance d’allocation de portefeuille . . .
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Méthodes martingales de dualité convexe
122
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 Représentation duale du problème de surréplication . . . . . . . . . . . . 124
6.2.1 Formulation du problème de surréplication . . . . . . . . . . . . 124
6.2.2 Probabilités martingales et arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.3 Le théorème de décomposition optionnelle et la représentation
duale du coût de surréplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.4 Le cadre de processus d’Itô et de filtration Brownienne . . . . . . 129
6.3 Dualité pour la maximisation d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3.1 Formulation du problème d’optimisation de portefeuille . . . . . 133
6.3.2 Résultat général d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3.3 Résolution via la formulation duale . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3.4 Le cas des marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.5 Exemples en marché incomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4 Problème de couverture quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.4.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.4.2 Le cas martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4.3 Probabilité martingale variance-optimale et numéraire quadratique157
6.4.4 Résolution du problème par changement de numéraire . . . . . . 163
6.4.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.5 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A Compléments d’intégration
171
A.1 Uniforme intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.2 Essentiel supremum d’une famille de variables aléatoires . . . . . . . . . 173
A.3 Quelques théorèmes de compacité en probabilité . . . . . . . . . . . . . 173
B Considérations d’analyse convexe
175
B.1 Fonctions semicontinues, convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.2 Transformée de Fenchel-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.3 Exemple dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
TABLE DES MATIÈRES
4
Bibliographie
180
Index
187