Résumé

Contrôlabilité exacte d’une corde soumise à une contrainte
unilatérale
Farid Ammar-Khodja
∗
Soit T > 0. On considère le système
 00
y − yxx = 0,
(t, x) ∈ (0, T ) × (0, 1),



y(t, 0) = u(t),
t ∈ (0, T ),

y(t, 1) ≥ ψ(t), yx (t, 1) ≥ 0, (y(t, 1) − ψ(t))yx (t, 1) = 0, t ∈ (0, T ),


y(0, x) = y 0 (x), y 0 (0, x) = y 1 (x),
x ∈ (0, 1)
(0.1)
où le symbole 0 représente la dérivée par rapport à la variable t. On démontre la contrôlabilité
exacte du système non linéaire (0.1): pour tout T > 2, et (y 0 , y 1 ) dans l’espace d’énergie, il existe
un contrôle u ∈ H 1 (0, T ) tel que la solution de (0.1) vérifie:
y(T, ·) = y 0 (T, ·) = 0,
in (0, 1)?
L’existence et l’unicité de la solution de ce problème a été étudiée dans divers papiers, parmi
lesquels [2] (dont nous utilisons la démarche), [3], [1].
References
[1] J.U. Kim, A boundary thin obstacle problem for a wave equation, Commun. in Partial Differential equation, 14 (1989), 1011-1026.
[2] G. Lebeau and M. Schatzman, A wave problem in a half space with a unilateral constraint at
the boundary, J. Differential Equations, 53 (1984), 309-361.
[3] M. Schatzman, Un problème hyperbolique du 2ème ordre avec contrainte unilatérale: la corde
vibrante avec obstacle ponctuel, J. Differential Equations, 36 (1980), 295-334.
∗ Laboratoire
de Mathématiques de Besançon, UMR CNRS 6623, Université de Franche-Comté, 16 route de Gray,
25030 Besançon cedex, France ([email protected]).
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