Équations différentielles

Équations différentielles
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Table des matières
Introduction
1
Champ des directions
1
Méthode d'Euler
2
Méthode de Runge
4
Méthode de Heun
4
Système d’équations différentielles
5
Courses poursuites
7
Équations différentielles du deuxième ordre
8
Jean-Marc Ledermann
Février 2013
Introduction
Une équation différentielle met en relation une fonction
dérivées de cette fonction (y', y'',...), et la variable x.
, des
L'ordre d'une équation différentielle correspond au rang maximal des dérivées qui interviennent dans l'équation.
est une équation d'ordre 1 ;
est une équation d'ordre 2.
Une solution particulière d'une équation différentielle est une fonction
qui satisfait l'équation.
La famille des fonctions solutions est appelée solution générale de l'équay
tion.
5
Exemple
L’équation
fonctions
tion générale.
4
admet la famille de
comme solu-
3
2
1
Il est facile de vérifier que la fonction
est une solution particulière dont le graphe passe par le point
.
5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
5
1
2
3
4
5
Plutôt que de chercher des solutions générales d'équations différentielles,
on cherchera dans ce chapitre des approximations, point par point, de solutions particulières dont le graphe passe par un point donné (la condition
initiale).
Champ des directions
Considérons l'équation différentielle
À chaque point
du plan, l'équation
différentielle associe une direction de
pente y'.
Donc, pour chaque point du plan, on connaît la pente des fonctions solutions
. On obtient ainsi le champ des
directions de l'équation différentielle.
En partant d'un point
on peut
tracer la courbe par approximation en
suivant le champ des directions. On obtient une approximation de la solution
particulière
qui satisfait à la condition initiale
.
–1–
y
4
3
2
1
4
3
2
1
1
1
2
3
4
2
3
4
x
Exercice 1
Une équation différentielle
étant donnée,
écrire un programme qui représente graphiquement
son champ des directions.
Méthode d'Euler
La méthode d’Euler1 permet d’obtenir une approximation d’une solution
particulière d’une équation différentielle donnée par
.
La méthode d’Euler consiste, à partir d’un point
, de suivre un petit
segment de droite de pente p donnée par l’équation différentielle
.
𝑥 𝑦
Ainsi, à partir du point
on obtient
un deuxième point
avec
𝑓 𝑥 𝑦
et
,
𝑥 𝑦
où h est un pas fixé d’avance et
𝑓 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
la pente en
donnée par l’équation
différentielle.
En recommençant avec
on obtient
un point
avec
et
.
En continuant ainsi, on obtient une suite de points qui approchent le graphe
de la solution particulière passant par
.
Exemple
On cherche la valeur en
de la solution particulière
dont le graphe passe par le
point
de l'équation différentielle
.
A
F
En appliquant la méthode d’Euler avec un pas
, on obtient la suite de points
Ce dernier point donne la valeur 1 comme approximation de
.
E
B
C
D
On connait la solution particulière de cette équation différentielle,
qui prend la valeur 3,5 en
, l’approximation
est
ici très grossière, mais en prenant un pas h plus petit on obtient une meilleure approximation, par exemple avec
obtient le point
Exercice 2
À l’aide d’un tableur effectuer les calculs de l’exemple ci-dessus.
1
Leonhard Euler (1707 - 1783)
–2–
Exercice 3
Écrire un programme qui utilise la méthode d’Euler, avec
un nombre de pas donné, pour estimer la valeur
de
la solution en
d'une équation différentielle
dont le graphe passe par un point initial
.
Exercice 4
Compléter l’exercice 1
de sorte qu’il trace le
graphe d'une solution
particulière obtenue
par la méthode d'Euler
et passant par un point
désigné avec la souris.
Exercice 5
Pour estimer l'erreur obtenue avec la méthode d'Euler, on peut résoudre
algébriquement et numériquement une équation différentielle, par exemple
, et comparer les résultats.
La solution particulière de l'équation différentielle
, dont le
graphe passe par le point (0;0), est la fonction
– –
. Cette
fonction prend la valeur – en
.
L'erreur produite en
par la méthode d'Euler, pour cette équation avec
la condition initiale
et
sera donc
où
est la valeur obtenue par la méthode d'Euler en
.
a) Écrire un programme qui, à partir d'un nombre n de pas, affiche la différence, en
, entre la solution exacte et la valeur obtenue par la méthode d'Euler pour l'équation différentielle
avec la condition
initiale
.
b) Écrire un programme qui trace le
graphe de l'application qui exprime, en fonction du nombre n
de pas, l'erreur du résultat, pour
x = 2, obtenu par la méthode d'Euler, pour l'équation différentielle
y' = x + y avec la condition initiale
y(0) = 0.
–3–
Méthode de Runge
La méthode d’Euler suit des petits segments de droite dont la pente est déterminée à l’origine de chaque segment par l’équation différentielle.
𝑥 𝑦
La méthode Runge2 consiste à suivre des petits
segments de droite dont la pente est déterminée au milieu du segment. Pour obtenir cette
𝑓 𝑥𝑚 𝑦𝑚
𝑥𝑚 𝑦𝑚
pente, il faut, à partir d’un point
, dé𝑓 𝑥 𝑦
terminer, par la méthode d’Euler les coordon- 𝑥 𝑦
nées du point milieu
, avec
ℎ
et
.
En repartant du point
, on suit alors un petit segment de pente
pour obtenir le point
.
Le tableau suivant illustre les calculs.
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
et ainsi de suite …
Exercice 6
Estimer, par la méthode de Runge, avec un pas
la valeur en
de
la solution particulière
dont le graphe passe par le point
de l'équation différentielle
, puis, à l’aide d’un tableur, estimer cette
valeur avec un pas plus petit.
Exercice 7
Compléter l’exercice 3 de sorte qu’il utilise la méthode de Runge.
Méthode de Heun
Semblable aux méthodes d’Euler et de Runge la méthode de Heun3 consiste
à suivre des petits segments de droite dont la pente est la moyenne de la
pentes à gauche et de la pente à droite du segment. Pour obtenir cette
moyenne, il faut, à partir d’un point
, déterminer, par la méthode
d’Euler le point de droite
, avec un pas h, puis calculer la moyenne
des pentes données par l’équation différentielle en
et
.
Exercice 8
Compléter le tableau ci-dessous qui illustre la méthode de Heun.
……
……
2
3
……
……
……
……
Carl Runge (1856 - 1927)
Karl Heun (1859 – 1929)
–4–
=……
=……
=……
=……
Exercice 9
Estimer, par la méthode de Heun, avec un pas
la valeur en
de la
solution particulière
dont le graphe passe par le point
de
l'équation différentielle
, puis, l’aide d’un tableur, estimer cette valeur avec un pas plus petit.
Exercice 10
Compléter l’exercice 7 de sorte qu’il utilise la méthode de Heun.
Exercice 11
Compléter l’exercice 5 de sorte qu’il permette de comparer la précision des
méthodes d’Euler, de Runge et de Heun.
Système d’équations différentielles
Une solution particulière d’un système d’équations différentielles
{
est une courbe paramétrée
{
Qui satisfait aux deux équations différentielles.
Les méthodes d’Euler, de Runge et de Heun permettent de trouver une approximation de la courbe solution.
Exemple
Cherchons, avec la méthode d’Euler et un pas
la solution particulière passant par l’origine en
d’équations différentielle
, une approximation de
du système
{
et ainsi de suite …
Exercice 12
À l’aide d’un tableur effectuer les calculs de l’exemple ci-dessus puis esquisser la courbe solution
–5–
Exercice 13
Modèle proies - prédateurs de Lotka4 - Volterra5.
Un environnement fermé contient des proies et des prédateurs (lapins et
renards mais pourraient être des sardines et des requins, des papillons et
des araignées, …). En un temps t (en année), on note
le nombre de lapins (en centaines) et
le nombre de renards (en centaines). Au temps
on suppose qu’il existe 100 renard et 500 lapins.
La reproduction des lapins est proportionnelle au nombre de lapins, mais
leur disparition est proportionnelle aux possibilités de rencontres entre un
renard et un lapin. On a ainsi l’équation différentielle
où représente le taux de reproduction des lapins et
tion en cas de rencontre. Posons
.
le taux de dispari-
La disparition des renards est proportionnelle au nombre de renards et leur
développement est proportionnel aux possibilités de rencontres entre un
renard et un lapin. On a ainsi l’équation différentielle
où représente le taux de développement des renard et
rition. Posons
.
le taux de dispa-
On obtient le système
{
a) Écrire un programme qui trace les graphes qui représentent l’évolution
de la population de lapins et de renard sur 12 ans.
b) Compléter le programme de sorte qu’il trace la courbe qui représente le
nombre de renards en fonction du nombre de lapins.
4
5
Alfred Lotka (1880 – 1949)
Vito Volterra (1860 – 1940)
–6–
Courses poursuites
Un homme H se promène dans un plan muni d'un repère orthonormé. Ses
coordonnées a et b sont des fonctions connues du temps t,
et
. Un chien C se lance à la poursuite de l'homme. À chaque instant le
chien court en direction de l'homme.
Exemple
L'homme suit une route rectiligne en vélo. Le chien initialement en dehors
de la route se lance à sa poursuite en avançant deux fois plus vite que
l'homme. La figure illustre le parcours du chien jusqu'au point de rencontre.
Chien
Homme
Rencontre
A tout moment, le vecteur joignant C et H est tangent à la trajectoire du
chien. En admettant que la vitesse du chien est une constante v, le vecteur
vitesse du chien sera donné par l'égalité
⃗
O
bt
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖
tu
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
y tèm d’équat
( )
√
(
)
s différentielles.
Selon la méthode d'Euler, le chien vise l'homme, avance dans sa direction
durant un instant, puis reprend son processus en visant et avançant jusqu'à
la rencontre.
Selon Runge, le chien (supposé savant) imagine la situation qui devrait se
présenter un demi-instant plus tard, il détermine alors la vitesse qu'il devrait avoir à ce moment, puis il avance effectivement selon cette vitesse durant un instant.
Exercice 14
Écrire un programme qui trace la trajectoire du chien si l’homme se déplace
à vitesse constante sur l’axe Ox.
–7–
Exercice 15
Un homme se déplace sur un circuit circulaire de rayon 1. Ses coordonnées
et ℎ
ℎ et ℎ sont des fonctions du temps, ℎ
ℎ
ℎ
a) Quelle est la vitesse de l'homme ?
Au temps zéro un chien part du centre à la poursuite de l'homme en allant à
la même vitesse. Il court en droite ligne durant une demi-unité de temps.
b) Quelle sera sa position s'il choisit sa stratégie de course comme le propose Euler, Runge ou Heun ?
[ E(0.500 ; 0.000) , R(0.473 ; 0.163) , H(0.405 ; 0.196) ]
c) En suivant la méthode d'Euler avec un pas de 1/256, calculer la trajectoire que suit le chien durant 6 unités de temps. Quelle sera la position
du chien en fin de parcourt ?
[ x ≈ 0.902 ; y ≈ –0.407 ]
d) Écrire un programme qui simule les déplacements de l’homme et du
chien.
e) Modifier le programme de sorte que la position initiale du chien puisse
être donnée à l’aide de la souris et que les trajectoires soient tracées.
Équations différentielles du deuxième ordre
La méthode d’Euler s’applique également aux équations différentielles du 2e
ordre
de la façon suivante.
On part d’une condition initiale
et suit le schéma suivant
’
’
’
–8–
Exercice 16
Au temps t  0 un parachutiste de masse m  90 kg se déplace avec une vitesse initiale nulle. La force exercée par la résistance de l'air sur le parachute est proportionnelle au carré de la vitesse instantanée F  k  ( y ')2 .
En considérant le parachutiste comme un point matériel et en appliquant la
loi de Newton, on obtient l'équation différentielle m  y ''  m  g  k  ( y ')2 ,
donc
y ''  g 
k
 ( y ')2
m
(avec g  10 m/s2 , m  90 kg et k constant)
La vitesse se stabilise ( y ''  0 ) vers une vitesse de chute limite qui vaut
m g
.
k
Sachant que, pour un parachutiste de 90 kg, sa vitesse limite est de 50 m/s
parachute fermé et de 6 m/s parachute ouvert, calculer les constantes k1 et
k2 correspondantes.
y' 
Écrire un programme qui simule le saut en parachute d’une hauteur de
3000 mètres.
Le parachute s’ouvre lorsque le parachutiste est à 1000 mètres du sol et
met 4 secondes pour se déployer.
–9–
Exercice 17
Un pendule de longueur est soumis à la force de pesanteur
et ses oscillations sont amorties par le frottement dans l'air.
On note
l’angle orienté mesuré en radians que forme le
pendule avec l’axe vertical au temps .
𝑙
𝑥 𝑡
La fonction satisfait à l’équation différentielle.
avec
et
Dans cet exercice, on pose
s’écrit
est le coefficient d'amortissement.
m, si bien que l’équation différentielle
.
Au temps t  0 la vitesse angulaire est nulle (
(
) et l’angle vaut
).
On pose
● Écrire un programme qui simule le mouvement du pendule jusqu’à son
arrêt et affiche le temps et la vitesse de chaque passage à la verticale.
On suppose que le mouvement est terminé lorsque la distance parcourue sur une période par l’extrémité du pendule est inférieure à ½ pixel.
● Compléter le programme de sorte qu'il représente graphiquement
l'angle en fonction du temps.
● On appelle diagramme de phase de ce pendule la représentation paramétrée en fonction du temps du couple
.
Compléter le programme de sorte qu'il représente le diagramme de
phase du pendule.
Trouver la valeur de
sachant que le pendule oscille pendant 2 minutes.
– 10 –