aide memoire numeration 4eme

A i d e mé mo i r e N u mé r a t i on 4 è m e
Fraction:
Réduire au même dén ominateur:
a
c
et
On cherche un nombre multiple de b et d
b
d
P r o d u i t d e n o mb r e s r e l a t i f s :
3
5
et
4
6
3
3x3
9
5
5x2
10
=
=
et
=
=
4
4x3
12
6
6x2
12
12 = 4×3 et 6×2
Somme de nombres en éc riture fractionnai re:
même dénominateur:
Multiplication ou division
Règle des signes (astuce mnémotechnique)
a
b
a + b
+
=
c
c
c
3
5
3 + 5
8
+ =
=
4
4
4
4
dénominateurs di fférents : on réduit d'abord au mêm e dénominateur:
+
–
ami
+4
ennemi
–3
+
Le s a m i s d e m e s
ami s sont mes amis.
(+4)×(+4) = +16
–
Le s a m i s d e m e s
ennemi s sont mes
ennemi s.
( + 4 ) × ( –3 ) = –1 2
×
+
ami
+4
–
–
Les ennemi s de mes
am is sont mes
ennemis.
( –3 ) × ( + 4 ) = –1 2
ennemi
–3
+
Les ennemi s de mes
ennemi s sont mes
amis.
( –3 ) × ( –3 ) = + 9
3
5
+
=
4
6
9
10
9 + 10
19
+
=
=
12
12
12
12
In v e r s e d ' u n n o m b r e r e l a t i f 0 :
L'inverse de a, c'est
l'inverse de -7 est
1
1
-7x1
-7
car -7 ×
=
=
= 1
-7
-7
-7
7
a
b
a
b
, c'est car
× = 1
b
a
b
a
L'inverse de
l'inverse de
1
1
car a × = 1
a
a
2
3
2
3
2 x 3
6
, c'est
car
× =
=
= 1
3
2
3
2
3 x 2
6
Qu otient de deux nombres relati fs en éc rit ure fracti onnaire
a c
a
d
: =
×
b d
b
c
4 3
4
4
4 x 4
16
:
= ×
=
=
7 4
7
3
7 x 3
21
Calcu ler un quotient en simplifiant:
5
4
5 x 4
5 x 2 x 2
×
=
=
=
6
7
6 x 7
2 x 3 x 7
5 x 2 x 2
10
=
2 x 3 x 7
21
Produits de p lusi eurs nombres relatifs:
App liquer la règle des signes par deux nombres à la fois:
Écriture littérale:
(-4) × (+5) × (-2) × (-3) =
(-20)
×
(+6)
=
- 120
(Astuce:
-
compter le nombre de bâtons des signes: - + - - soit 5 bâtons.
redessiner les si gnes sans dépasser le nombre de bâtons: + + l e s i g n e d e l ' o p é r a t i o n e s t l e d e r n i e r s i g n e d e s s i n é , s o i t –) .
Quo tient de no mbres relatifs:
+24
= –3
-8
+24
= + 3
+8
mêmes règles que le produit
-24
= –3
+8
-24
= +3
-8
a×x = ax
a×(x+b) = a(x+b)
–1 × x = –x
–1 × ( x + b ) = –( x + b )
3×x = 3x
3×(x+2) = 3(x+2)
–1 × 4 = –4
–1 × ( x + 3 ) = –( x + 3 )
k(a+b) = ka + kb
k ( a –b ) = k a –k b
3(5+6) = 3×5 + 3×6
3 ( 7 –5 ) = 3 × 7 –3 × 5
a < b c ' e s t a –b < 0
a > b c ' e s t a –b > 0
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
× 5 =
45
(3 x-4)(-x+2)
c ' e s t 5 –6 , 7 < 0
c ' e s t 8 –3 > 0
- 1,7 < 0
5 > 0
(4+5)(2+3) = 4×2 + 4×3 + 5×2 + 5×3
9
autres exemples: (2 x+3)(x+4 )
5 < 6,7
8 > 3
8
+ 12 + 10 + 15
=
45
= 2x×x + 2x×4 + 3×x + 3×4
= 2x² + 8x + 3x + 12
= 2x² + 11x + 12
= 3 x × ( - x ) + 3 x × 2 - 4 ( - x ) –4 × 2
= - 3 x ² + 6 x + 4 x –8
= - 3 x ² + 1 0 x –8
É gali tés et opérations :
S i a = x a l o r s a –x = 0
S i a –x = 0 a l o r s a = x
S i 3 = x a l o r s 3 –x = 3 –3 = 0
S i 4 –x = 0 a l o r s x = 4
Si a = x, alors a + c = x + c
S i a = x , a l o r s a –c = x –c
Si 3 = x alors 3 + 5 = x + 5
S i 4 = x a l o r s 4 –7 = x –7
Si a = x, alors a×k = x×k
Si 3 = x alors 3×5 = x×5 ou 15 = 5x
4
x
Si 4 = x alors 4:9 = x:9 ou
=
9
9
Comparer deux fractions:
On réduit au m êm e dénominateur et on compare les numérateurs.
7
6
49
48
7
6
et
on compare
et
>
8
7
56
56
8
7
Encadrement:
soit x un nombre:
a ≤ x< bestunencadr
ement
5 ≤ 6,
5< 7
Ordre:
s i a < b a lo r s a + c < b + c
s i a < b a lo r s a –c < b –c
3 < 5 alors 3+4 < 5+4
3 < 5 alors 3-4 < 5-4
si a < b et k>0 alors ka < kb
3 < 5 alors 4×3 < 4×5
-10 < -6 alors 4×(-10) < 4×(-6)
si a < b et k<0 alors ka > kb
3 < 5 alors -4×3 > -4×5
-10 < -6 alors -4×(-10) > -4×(-6)
(7<9)
(-1<1)
(12<20)
(-40 > -24)
(-12 > -20)
(40 > 24)
Puissance d'un nombre relatif:
Si a = x, alors a:k = x:k
an = a × a × a × ....... × a se lit "a puissance n" ou "a exposant n"
Résoudre une équation:
a + x = b
8 + x = –6
a l o r s a –a + x = b –a
a l o r s 8 –8 + x = –6 –8
kx = a
alors
kx
a
=
k
k
3x
-12
alors
=
3
3
3 x = –1 2
a5 = a × a × a × a × a
n fois
a l o r s x = b –a
a l o r s x = –1 4
alors x =
a
k
L'inverse de a c'est a-1
a × a-1 = a ×
L'inverse de an c'est a-n =
1
an
an × a-n
1
= 1
a
= an ×
3² × 3-2 = 3² ×
a l o r s x = –4
a1 = a
31 = 3
a0 = 1
30 = 1
3 et 3-1 3 ×
1
= 1
an
1
1
= 9 ×
= 1
3²
9
Produits en croix
a
c
Si
=
alors ad = bc
b
d
Exemple:
a
c
=
b
d
2
4
=
alors 2×6 = 3×4 = 12
3
6
3²
3×3
3×3
9
an
= an-m
am
35
= 35-2 = 33 = 3×3×3 = 27
32
x
5
20
=
alors 9x = 4×5 = 20 alors x =
4
9
9
4
6
20
10
=
alors 6x = 4×5 = 20 alors x =
=
x
5
6
3
Inégalités:
an × am = an+m
×
33
× 3×3×3
× 3×3×3
×
27
243
=
=
=
=
=
1
= 1
3
32+3
35
3×3×3×3×3
243
243
35
3x3x3x3x3
=
= 3×3×3 = 33 = 35 -2 = 27
32
3x3
x = a × 10n ord re d e grandeur c'est b × 10n, avec b arrondi à l'unité de a
x = 56,34 × 104
x = 5,634 × 105 ordre de grandeur: 6 × 105
Puissances de 10:
10n = 10×10×10× ..... ×10
=
105 = 100 000
1000....0
P rop ortionnalité et tab leaux:
Proportionnalité et tableaux:
n fois
n chiffres 0
L' i n v e r s e d e 1 0 n c ' e s t 1 0 - n e t 1 0 - n =
Dans un tab leau, il y a situation de proportionnalité quand on passe de la
1 è r e l i g n e à la 2 è m e l i g n e e n m u l t i p l i a n t t o u j o u r s p a r l e m ê m e n o m b r e
(coefficient de proportionnalité).
1
= 0,0000...1
10n
1
= 0,00001
105
× 4
n décimales
101 = 10
3
7
8
12
28
32
100 = 1
10m × 10n = 10m+n
10m
= 10m-n
10n
Proportionnalité et graphiques:
103 × 104 = 103+4 = 107
10-6 × 104 = 10-6+4 = 10-2
105
103
Dans un repère de plan: il y a proportionnalité si les points sont alignés
avec l'origine du repère et inversement.
= 105-3 = 10²
6
10-5
= 10-5-8 = 10-13
108
5
4
(10m )n = 10m×n
(105)2 = 105×2 = 1010
3
(103)-4 = 103×(-4) = 10-12
2
1
0
Écriture sci enti fi que d'un nombre relati f:
Sous la forme a × 10n avec a nombre décimal ayant un seul chiffre non nul
avant la virgule et n un entier relatif
Si A = 4 655,76 × 10-7 alors A = 4,65576 × 103 × 10-7
= 4,65576 × 103+(- 7) = 4,65576 × 10-4
Encadrement par des puissances de 10:
10n
1
2
3
4
OUI
5
6
0
0
NON
NON
Pourc entage:
Proportion d'une quantité par rapport à une autre quantité, évalu é sur 100.
10n
10n+1
x = a ×
avec a en éc rit ure scientifique
< x <
x = 56,34 × 104 x = 5,634 × 105
105 < 5,634 × 105 < 106
Ord re de grandeu r:
0
L' é l è v e a 6 5 % d e r é u s s i t e s e n f r a n ç a i s . S u r 1 0 0 e x e r c i c e s , i l e n a r é u s s i 6 5 .
In d i c e :
Nombre exprimant un rapport entre deux grandeurs (ex indice des prix).
Di re que l'indice en 2008, de base 100 en 1998, du prix d'un scooter est de
1 2 3 v e u t d i r e q u e s i u n s c o o t e r c o û t a i t 1 0 0 €en1998,al
or
si
lcoû t e 1 2 3 €
en 2008.
P r i x e n 1 9 9 8 ( e n e u r o s €) 1 0 0
P r i x e n 2 0 0 8 ( e n e u r o s €) 1 2 3
123
p
=
100
1260
donc p =
4 cm
2 cm =
2 cm
1260
1549,80
1
× 4 cm
2
= 0,5 × 4
1
2
coeff =
123 x 1260
= 1549,80
100
coeff < 1
réduction
V i t e s s e mo y e n n e :
Statistiques:
v =
d
t
v =
90 km
1 h
se note
v = 90 km/h
ou
90 km.h-1
v =
8 m
1 s
se note
v = 8 m/s
ou
8 m. s- 1
vites s e moyenne =
dist ance parcourue d
durée t nécessai re pour parcouri r la distance
Propriété: d = v × t la distance parcouru e est égale au produit de la
vitess e moyenne par la durée nécessai re pou r parcourir cett e di stance.
D ans une c lasse de 5è me de 25 élèves, les notes su r 20 sont réparties:
15-11-7-14-9-10-9-13-15-6-7-7-11-13-14-10-9-16-15-11-10-14-11-13-9
Agrandi sse ment:
Un objet est un agrandiss ement d'un autre objet quand leurs longueurs s ont
proportionnelles. Le coefficient d e p roportionna lité est un c oeffi cient
d'agrandiss em ent. Il est strictem ent supérieu r à 1. Coef > 1
4 cm
ex: un carré
2 cm
Définitions:
- L ' e f f e c t i f d ' u n e v a le u r e s t l e n o m b r e d e f o i s o ù l a v a l e u r a p p a r a î t .
- La fréquence se calcu le en divisant l'effectif de cette valeur par
l'effectif total.
- D a n s u n t a b l e a u d o n t l e s v a l e u r s s o n t r a n g é e s d a n s l' o r d r e
croissant:
→ l
'
ef
f
ect
i
fcumul
écr
oi
ssantd'
uneval
eurestl
asommede
l'effectif de cette valeur et des effectifs des valeurs
précédentes.
→ l
af
r
équencecumul
éecr
oi
ssant
ed'
uneval
eurestl
asommede
la fréquence de cette valeur et d es fréquences d e toutes les
valeurs précédentes.
4 cm = 2 × 2 cm
Note
Effectif
E ffectif cumulé croi ssant
Fréqu ence
Fréqu ence cumulée
croissante
Fréqu ence cumulée
croissante en %
6
1
1
0,04
7
3
4
0,12
9
4
8
0,16
10
3
11
0,12
11
4
15
0,16
13
3
18
0,12
14
3
21
0,12
15
3
24
0,12
16
1
25
0,04
0,04
0,16
0,32
0,44
0,60
0,72
0,84
0,96
1
4%
16%
32%
44%
60%
72%
84%
96%
100%
coeff = 2 et 2 > 1
agrandissement
3 élèves ont eu la note 10
la f réquence des élèves ayant eu 10 est 0,12 ou
12%
Réduction:
Un objet est une réduction d'un autre obj et quand leurs longueurs sont
proportionnelles. Le coefficient de prop ortionnalité est un coeffi cient
de
r é d u c t i o n . Il e s t s t r i c t e m e n t i n f é r i e u r à 1 . C o e f < 1
effectif total: 25
Moyenne:
On aj oute toutes les va leurs et on divis e par l'effecti f total.
J'ai obtenu 6 notes: 12 - 14,5 - 8 - 12,5 - 20 et 6,5 en interro coef 1.
ma moyenne est de:
12+14,5+8+12,5+20+6,5
= 12,25
6
Moyenne pondérée:
On aj oute tous les produits des va leu rs par leurs effectifs et on divi se par
l'effectif total.
Résultats d'une interro dans une classe de 24 élèves:
Note
Effectif
La m o y e n n e M =
5
3
7
5
10
6
12
6
15
2
16
2
5x3+7x5+10x6+12x6+15x2+16x2
242
=
= 10,08
3+5+6+6+2+2
24