Nombres relatifs en écriture décimale

CHAPITRE 5 : PUISSANCES
I.- PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER
a) Exposant positif
Définition :
Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a :
an = a × a × … × a
n facteurs
an est la puissance d'exposant n du nombre a et se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Exemples :
• 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
• (– 4,5)3 = (– 4,5) × (– 4,5) × (– 4,5) = – 91,125
1 4 1 1 1 1 1
•
= × × × =
2
2 2 2 2 16
Convention :
a étant un nombre relatif, on a : a1 = a et a0 = 1, pour a ≠ 0.
Exemples :
1 0
(– 2,1)1 = – 2,1
=1
5
()
()
b) Exposant négatif
Définition :
Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a non nul :
n
1
1
1
a–n = n =
=
a×a×…×a
a
a
()
n facteurs
a–n est la puissance d'exposant – n du nombre a et l'inverse du nombre an.
Exemples :
2
4
1
1
1
1
1
1
−4
-2
• 3 = 2 =
=
• (−1,8) =
=
=
4
9
3
−1,8
10,4976
(−1,8)
3
−3
3
−5
2
1
3
27
1
1
•
=
=
=
•
=
=45=1024
3
5
3
2
8
4
2
1
3
4
()
()
()
()
( )
()
()
c) Signe d'une puissance
Propriété :
Pour tout nombre entier relatif n,
Si a est positif alors an est positif.
Si a est négatif alors an est positif lorsque l'exposant n est pair,
et négatif lorsque l'exposant n est impair.
Exemples :
• 7 est un nombre positif donc 7-5 est positif.
• – 3 est négatif et 8 est pair donc (– 3)8 est positif.
• – 7,1 est négatif et 4 est pair donc (– 7,1)–4 est positif.
• – 4 est négatif et 11 est impair donc (– 4)11 est négatif.
1
1 −5
• − est négatif et 5 est impair donc −
est négatif.
2
2
•
•
( )
II.- PUISSANCES DE 10
a) Écriture décimale
Définition :
Pour tout nombre entier n positif non nul,
- l'écriture décimale de 10n comporte n zéros après le 1 :
10n = 10 × 10 × … × 10 = 100...0
n facteurs
n zéros
- l'écriture décimale de 10-n comporte n zéros avant le 1 :
1
10-n =
= 0,00...01
10 n
n zéros
Exemples :
• 103 = 1 000
• 105 = 100 000
•
•
10-2 = 0,01
10-6 = 0,000 001
c) Calculs avec des puissances de 10
Propriétés :
Si n et p sont deux nombres entiers relatifs :
•
10n×10 p =10n+ p
Exemples :
• 103×10 11=10 3+ 11=10 14
9
10
•
=10 9−6=103
6
10
• (105 )3=105×3=1015
•
10 n
=10 n− p
p
10
•
•
•
•
−7
5
n p
n× p
(10 ) =10
−7+ 5
−2
10 ×10 =10
=10
−2
10
=10−2−(−13)=1011
−13
10
(10−2 )−3=10−2×(−3)=106
III.- ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
Définition :
La notation scientifique d'un nombre décimal non nul est la seule écriture de ce nombre sous la forme a×10n
où :
• a est un nombre décimal dont la distance à zéro est comprise entre 1 (inclus) et 10 (exclus) ;
• n est un entier relatif.
Exemples :
• 3,7 × 105 est la notation scientifique du nombre 370 000.
• – 2,1 × 10–3 est la notation scientifique du nombre – 0,002 1.
Règle :
Soit n un nombre entier positif non nul.
Multiplier un nombre par 10n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite.
Multiplier un nombre par 10-n revient à décaler la virguler de n rangs vers la gauche.
Exemples :
• 208,641 × 10² = 20 864,1
• 37,1 × 10-3 = 0,037 1