Par combien de zéros se termine N!

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Par combien de zéros
se termine N! ?
N! se lit “factorielle N”. N est un entier positif et N! est le produit de tous les entiers dans
l’ordre croissant de 1 à N.
Voici quelques exemples :
par … d es co llèg es An dré Do ucet de
Nanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand
1! = 1 ;
2! = 1 × 2 = 2 ;
en seignants : Danielle Buteau, Martine 3! = 1 × 2 × 3 = 6 ;
Brunstein, Marie-Christine Chanudeaud, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 ;
Pierre Lévy
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ;
... ;
chercheur : Jacqueline Zizi
10! = 1 × 2 × ... × 9 × 10 = 3 628 800
On comprend vite comment construire des
factorielles, mais par contre on s’aperçoit
aussi que l’on obtient rapidement de grands
nombres.
5! se termine par un zéro, 10! par deux mais
par contre 1!, 2!, 3!, 4! par aucun. La question est donc de savoir s’il est possible de
p révoir pou r n’impo rte quel entier N le
nombre de zéros à la fin de N!.
Nous avons commencé par calculer les factorielles les unes après les autres à l’aide de
n otre calcu latrice. Mais très v ite, nou s
n’avions plus le résultat exact, car la capacité
de la machine ne lui permettait plus d’afficher tous les chiffres. Il a fallu alors faire les
calculs à la main. C’était long et fastidieux !
Nous avons bien essayé de programmer un
ordinateur pour lui faire faire ce travail. Voici
notre algorithme :
Choisir un nombre N
f=1;n=1
Si N = n
sinon
alors
N! = f × n
FIN
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f×n→f
n+1→n
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Notre professeur a alors traduit cet algorithme en Turbo Pascal ; notre déception fut
immense lorsqu’on s’aperçut que l’ordinateur
se montrait tout aussi incapable de calculer
n’importe quelle factorielle qu’une vulgaire
calculatrice un tout petit peu évoluée.
Nous avons repris nos calculs à la main
jusqu’à 25! et c’est alors que nous avons
constaté que 5! se termine par un zéro ainsi
que 6!, 7!, 8! et 9! ; que 10! se termine par
deux zéros ainsi que 11!, 12!, 13! et 14! ; que
15! se termine par trois zéros ainsi que 16!,
17!, 18! et 19! ; que 20! se termin e par
quatre zéros ainsi que 21!, 22!, 23! et 24!.
Notre première conjecture était qu'il suffisait
de diviser le nombre dont on veut calculer la
factorielle par 5 puis de prendre la troncature
à l'unité du quotient :
par exemple :
16 : 5 = 3,2 alors le nombre de zéros à la fin
de 16! serait de 3
27 : 5 = 5,4 alors le nombre de zéros à la fin
de 24! serait de 5
calculs à la main …
1!= 1
2!= 2
3!= 6
4!= 24
5!= 120
6!= 720
7!= 5040
8!= 40320
9!= 362880
10!= 3628800
11!= 39916800
12!= 479001600
13!= 6227020800
14!= 87178291200
15!= 1307674368000
16!= 20922789888000
17!= 355687428096000
18!= 6402373705728000
19!= 121645100408832000
20!= 2432902008176640000
21!= 51090942171709440000
22!= 1124000727777607680000
23!= 25852016738884976640000
24!= 620448401733239439360000
25!=15511210043330985984000000
N
Mais nos calculs nous montrent que 25! se
termine par six zéro s et non cinq comme
prévu, de même que 26!, 27!, 28! et 29!.
Après avoir constaté qu'à 25! il y avait un
“saut” de 2 zéros, nous avons supposé qu'à
chaque factorielle d'un multiple de 5 il y avait
un saut de 1 zéro, et qu'à chaque factorielle
d'un multiple de 25 il y avait un saut de 2
zéros. Cela nous a permis de faire un premier
tableau avec nos prévisions (sans calculer de
nouvelles factorielles).
1 ... 4
5 ... 9
10 ... 14
15 ... 19
20 ... 24
25 ... 29
30 ... 34
35 ... 39
40 ... 44
45 ... 49
50 ... 54
55 ... 59
60 ... 64
65 ... 69
70 ... 74
75 ... 79
80 ... 84
85. .. 89
90 ... 94
95 ... 99
100 ... 104
105 ... 109
110 ... 114
115 ... 119
120 ... 124
125 ... 129
130 ... 134
135 ... 139
140 ... 144
145 ... 149
150 ... 154
155 ... 159
160 ... 164
165 ... 169
170 ... 174
175 ... 179
180 ... 184
185 ... 189
190 ... 194
195 ... 199
200 ... 204
205 ... 209
210 ... 214
215 ... 219
220 ... 224
225 ... 229
230 ... 234
235 ... 239
240 ... 244
245 ... 249
250 ... 254
Nombre de zéros
à la fin de N!
0
1
2
3
4
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
18
19
20
21
22
24
25
26
27
28
31
32
33
34
35
37
38
39
40
41
43
44
45
46
47
49
50
51
52
53
55
56
57
58
59
62
N
Nombre de zéros
à la fin de N!
N
Nombre de zéros
à la fin de N!
255 ... 259
260 ... 264
265 ... 269
270 ... 274
275 ... 279
280 ... 284
285 ... 289
290 ... 294
295 ... 299
300 ... 304
305 ... 309
310 ... 314
315 ... 319
320 ... 324
325 ... 329
330 ... 334
335 ... 339
340 ... 344
345 ... 349
350 ... 354
355 ... 359
360 ... 364
365 ... 369
370 ... 374
375 ... 379
380 ... 384
385 ... 389
390 ... 394
395 ... 399
400 ... 404
405 ... 409
410 ... 414
415 ... 419
420 ... 424
425 ... 429
430 ... 434
435 ... 439
440 ... 444
445 ... 449
450 ... 454
455 ... 459
460 ... 464
465 ... 469
470 ... 474
475 ... 479
480 ... 484
485 ... 489
490 ... 494
495 ... 499
500 ... 504
63
64
65
66
68
69
70
71
72
74
75
76
77
78
80
81
82
83
84
86
87
88
89
90
93
94
95
96
97
99
100
101
102
103
105
106
107
108
109
111
112
113
114
115
117
118
119
120
121
124
505 ... 509
510 ... 514
515 ... 519
520 ... 524
525 ... 529
530 ... 534
535 ... 539
540 ... 544
545 ... 549
550 ... 554
555 ... 559
560 ... 564
565 ... 569
570 ... 574
575 ... 579
580 ... 584
585 ... 589
590 ... 594
595 ... 599
600 ... 604
605 ... 609
610 ... 614
615 ... 619
620 ... 624
625 ... 629
630 ... 634
635 ... 639
640 ... 644
645 ... 649
650 ... 654
655 ... 659
660 ... 664
665 ... 669
670 ... 674
675 ... 679
680 ... 684
685 ... 689
690 ... 694
695 ... 699
700 ... 704
705 ... 709
710 ... 714
715 ... 719
720 ... 724
725 ... 729
730 ... 734
735 ... 739
740 ... 744
745 ... 749
750 ... 754
125
126
127
128
130
131
132
133
134
136
137
138
139
140
142
143
144
145
146
148
149
150
151
152
156
157
158
159
160
162
163
164
165
166
168
169
170
171
172
174
175
176
177
178
180
181
182
183
184
187
Au premier séminaire, nous n'étions pas d'accord entre les deux équipes à partir de 125!.
Notre chercheur, Mme Zizi nous a alors
don né des calculs d e factorielles aussi
grandes que l'on veut faits par un ordinateur
(hé oui, cela est possible : il suffit d'avoir les deux équipes, 125! se termine par 31 zéros
bons outils). Cela a permis de trancher le c'est-à-dire que 3 zéros supplémentaires
débat car, comme l'avait supposé une des apparaissent (au lieu de 2).
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Nous avons alors corrigé notre tableau de teurs délaissés est trop important. Comme
prévisions et nous nous sommes posé la ques- nous avons remarqué que l'on peut obtenir
tion : Où y aura-t-il un saut de 4 zéros ?
autant de puissances de 5 que de puissances
de 10, nous nous sommes alors intéressés aux
La première méthode mise au point à partir puissances de 5.
des remarques précédentes est la suivante :
5 × 2 = 10
Les zéros existant à la fin de N! proviennent
54 × 24 = 104
de l'existence de multiples de dix dans l'écri- d'une manière plus générale :
ture de N! (exemples 10, 20, 30, …). Mais
5n × 2n = 10n.
d'autres multiples de dix peuvent être obtenus
par les produits de multiples de 2 avec des Pourquoi y avait-il un saut de 1 zéro à chaque
multiples de 5 impairs (exemples 5 × 2, 15 × multiple de 5 ?
4, …). Les facteurs non utilisés sont regrou5 × 2 = 10
pés alors dans une variable A.
Pourquoi y avait-il un saut de 2 zéros à
chaque multiple de 25 ?
On décompose tous ces multiples de dix. Les
25 × 4 = 100
nombres inutiles issus de la décomposition Pourquoi y avait-il un saut de 3 zéros à
précédente sont regroupés dans A' avec A. chaque multiple de 125 ?
On recommence éventuellement ces décom125 × 8 = 1000
positions s'il existe encore des multiples de 5 Quel nombre multiplié par 16 donne 10000 ?
dans les facteurs délaissés. On obtient :
C'est 625 car
625 × 16 = 10000
n
N! = 10 × A'.
Nous avons ainsi prévu qu'à chaque multiple
Le nombre de zéros à la fin de N! est l'expo- de 625, il y avait un saut de 4 zéros. Cela
sant n de 10.
confirmait notre idée que les nombres qui
déterminaient la quantité de zéros en plus
Exemple :
dans l'écriture des factorielles étaient :
33! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10
× 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 × 17 × 18 × 19
× 20 × × 21 × 22 × 23 × 24 × 25 × 26 × 27
× 28 × 29 × 30 × 31 × 32 × 33
5=
25 = 5 × 5
125 = 5 × 5 × 5
625 = 5 × 5 × 5 × 5
= 51
= 52
= 53
= 54
33! = (2 × 5) × (10 × 4) × (15 × 6) × (20 × 8) Nous avons conjecturé que toutes les puis× (25 × 12) × (30 × 14) × A
sances de 5 donneraient un nombre de zéros
supplémentaires. En fait 5n donnera un saut
33! = 10 × (10 × 4) × (10 × 9) × (10 × 16) × de n zéros.
(100 × 3) × (10 × 42) × A
Nous pouvions donc connaître le nombre de
7
33! = 10 × (4 × 9 × 16 × 3 × 42 × A)
zéros à la fin de N! en poursuivant notre
tableau de prévisions aussi loin que nécessai7
33! = 10 × A'
re. Cela n'était guère satisfaisant ! Il aurait été
beaucoup plus simple de pouvoir trouver le
On a 7 zéros à la fin de 33!.
résultat directement.
Cette méthode est efficace mais trop fasti- Pour cela, il faut trouver combien il y a avant
dieuse car le nombre d'étapes que nécessite le N de multiples de 5, de multiples de 25, de
tri des facteurs multiples de 5 dans les fac- multiples de 125, …
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Exemples de calculs : pour 3 124!
exemple :
3 124 : 5 = 624,8. Il y a 624 multiples de 5 On veut connaître le nombre de multiples de
avant 3124.
5 dans 16. 16 = 3 × 5 + 1. Dans 16 on a 3
paquets de 5 unités. Le premier paquet donne
624 : 5 = 124,8. Il y a 124 multiples de 25 le premier multiple de 5, c'est-à-dire 5. Les
avant 3 124.
deux premiers paquets donnent le second
multiple 2 × 5, c'est-à-dire 10, et les trois
124 : 5 = 24,8. Il y a 24 multiples de 125 paquets donnent le troisième multiple 3 × 5,
avant 3 124.
c'est-à-dire 15.
24 : 5 = 4,8. Il y a 4 multiples de 625 avant Mais E[N/5] donne ausi le nombre de mul3 124.
tiples de 5 dans N! :
624 + 124 + 24 + 4 = 776. Il y aura donc On veut connaître le nombre de fois qu'il y a
776 zéros à la fin de 3 124!
x dans N! : x et N sont des entiers positifs.
Pour cela, on range les facteurs de N! dans
Nous avons alors établi la formule suivante l'ordre croissant, puis on compte le nombre
donnant le nombre de zéros qui terminent de groupes de x facteurs dans N.
N! :
L orsqu' on calcule E[N/5] , on trou ve le
2
3
p
E[N/5]+E[N/5 ]+E[N/5 ]+…+E[N/5 ] tant nombre de multiples de 5 dans N! y compris
que E[N/5p] n'est pas nul.
les multiples de 25, 125, etc … Si l'on calcule
p
p
E[N/5 ] signifie : partie entière de N/5 E[N/5 2], on trouve le nombre de multiples de
25 dans N!. Or les multiples de 25 sont déjà
exemple :
comptés une fois dans E[N/5]. Il faut pourtant
les compter une deuxième fois car on peut
Pour connaître le nombre de zéros qui termi- associer à 25 (c'est-à-dire 52 ) le facteur 22 : on
nent 33!, il suffit de calculer
obtient ainsi 52 × 22 c'est-à-dire 102 qui va
produire deux zéros à la fin. On comptera
E[33/5]+E[33/52]+E[33/53],
ainsi trois fois les multiples de 5 supérieurs à
124 et ainsi de suite.
c'est-à-dire 6 + 1 + 0 = 7,
donc 33! se termine par 7 zéros.
exemple :
démonstration de la formule :
On veut connaître le nombre de multiples de
5 dans 16!.
E[N/5] donne le nombre de multiples de 5
avant N. Voici pourquoi :
16! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10
× 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16
On veut connaître le nombre de fois qu'il y a
x dans N : x et N sont des entiers positifs. On regroupe les 16 facteurs par paquets de 5
Pour cela, il suffit de compter le nombre de car on sait que dans chaque paquet il y aura
groupes de x unités dans N. Cela nous est un multiple de 5 puisque les facteurs sont
donné par E[N/5] :
classés dans l'ordre croissant.
N=n×x+R
n : nombre de fois qu'il y a x dans N
R : reste qui ne peut pas former un
groupe de x unités
Donc E[16/5] nous donne bien le nombre de
multiples de 5 dans 16! puisque cela nous
indique le nombre de paquets de 5 facteurs
que l'on peut constituer.
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Puisque pour les multiples de 5 supérieurs à
25, on a besoin de plusieurs facteurs 2 pour
les associer aux facteurs , une question se
pose : est-on sûr de disposer de suffisamment
de facteurs 2 c'est-à-dire de facteurs pairs ?
La réponse est oui car dans un groupe de 5
nombres consécutifs pris dans l'ordre croissant, il y aura deux fois plus de nombres pairs
que de multiples de 5.
En effet, par exemple :
21 / 22 / 23 / 24 / 25 / 26 / 27 / 28 / 29 / 30
D' autre p art, o n p eut ob tenir p lu sieu rs
facteurs 2 en ne décomposant qu'un seul
nombre pair.
exemples :
28 = 2 × 2 × 7
24 = 2 × 2 × 2 × 3
A présent, te voilà aussi, cher lecteur, capable
de calculer rapidement et simplement le
nombre de zéros à la fin de N!. Tu vas pouvoir ainsi épater tes amis et même de nombreux mathématiciens car cette question est
loin d'être une évidence pour le monde.
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