Démonstration 02 - XMaths

Démonstration 02
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et soit n ∈ ZZ*.
Pour n > 0, démontrons la propriété par récurrence en considérant la proposition P(n) :
n
n-1
La fonction fn définie sur I par fn(x) = [u(x)] est dérivable sur I et sa dérivée est f'n(x) = nu'(x)[u(x)]
1
Pour n = 1, la fonction f1 définie sur I par f1(x) = [u(x)] = u(x) est dérivable sur I et sa dérivée est :
n-1
0
f'1(x) = u'(x) .
Or si n = 1 , on a nu'(x)[u(x)]
= 1 x u'(x) x [u(x)] = u'(x).
Donc la proposition P(1) est vraie.
Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier naturel n non nul fixé.
n
n-1
c'est-à-dire : fn définie sur I par fn(x) = [u(x)] est dérivable sur I et sa dérivée est f'n(x) = nu'(x)[u(x)]
n+1
n
Considérons la fonction fn+1 définie par fn+1(x) = [u(x)]
= [u(x)] x u(x) = fn(x) x u(x)
fn+1 est donc le produit de deux fonctions dérivables.
On peut calculer sa dérivée en utilisant la formule de dérivation d'un produit.
n-1
n
On a donc f'n+1(x) = f'n(x) x u(x) + fn(x) x u'(x) = nu'(x)[u(x)]
x u(x) + [u(x)] x u'(x)
n
n
n
c'est-à-dire f'n+1(x) = nu'(x)[u(x)] + u'(x) x [u(x)] = u'(x) x [u(x)] (n + 1)
n
On obtient : f'n+1(x) = (n + 1) x u'(x) x [u(x)]
c'est-à-dire qu'alors la proposition P(n+1) est vraie.
On a donc démontré par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout entier n ³ 1.
On donc justifié la propriété pour tous les entiers strictement positifs.
n
Pour tout entier n ³ 1, la fonction fn définie sur I par fn(x) = [u(x)] est dérivable sur I et sa dérivée est
n-1
f'n(x) = nu'(x)[u(x)]
Si N est un entier strictement négatif, on peut écrire N = -n avec n > 0 .
On a alors fN(x) = (u(x))N = (u(x))-n = 1
(u(x))n
(Ceci ne pose pas de problème dans la mesure ou u(x) ne s'annule pas sur I)
On peut alors calculer f'N(x) en utilisant la dérivée de l'inverse.
n-1
On obtient alors : f'N(x) = - nu'(x)[u(x)]
([u(x)]n)2
= - nu'(x)[u(x)]
2n
[u(x)]
n-1
= - nu'(x)[u(x)]
n-1-2n
= - nu'(x)[u(x)]
-n-1
N-1
.
c'est-à-dire
f'N(x) = Nu'(x)[u(x)]
On a donc justifié la propriété pour les tous les entiers strictement négatifs.
n
Pour tout entier n £ -1, la fonction fn définie sur I par fn(x) = [u(x)] est dérivable sur I et sa dérivée est
f'n(x) = nu'(x)[u(x)]
n-1
NB : Dans le cas où est n est négatif, la formule est identique mais la fonction u ne doit pas s'annuler sur I.
http://xmaths.free.fr
TS − Dérivées − Démonstrations