Le raisonnement par récurrence

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Table des matières
I
Le principe
II Quelques exemples
1
1
Généralités sur les suites
I
Le principe
Le raisonnement par récurrence peut se comparer à la théorie des dominos :
On considère une suite de dominos rangés de telle sorte que Si un domino tombe alors le suivant tombera.
Si on fait tomber le premier domino alors le second tombera, puis le troisième, ...etc.. Conclusion : si le
premier domino tombe alors tous tomberont.
Tout repose en fait sur le principe de propagation "si l’un tombe alors le suivant aussi".
Le raisonnement par récurrence comporte trois étapes :
– On prouve que le premier domino tombe.
– On établit le principe : si le nième domino tombe alors le suivant (le numéro n+1) tombera..
– On conclut que tous les dominos sont tombés.
La première étape s’appelle l’initialisation.
La deuxième étape s’appelle l’hérédité.
A présent, nous allons le mettre en oeuvre sur quelques exemples.
II
Quelques exemples
On considère la suite (u n ) définie par :
u0 = 7
et
pour tout entier n,
u n+1 = 2 × u n − 3
Démontrons par récurrence que pour tout entier n, u n = 2n+2 + 3.
Nous avons deux choses à démontrer.
– La formule est vraie au rang le plus bas
Le premier domino tombe.
0+2
Nous savons que u 0 = 7 et que 2
+3 = 4+3 = 7
Nous avons donc : u 0 = 20+2 + 3.
La formule est donc vraie au rang le plus bas.
Un domino qui tombe entraîne le suivant.
– La formule se propage
Supposons que, pour un certain entier naturel n la formule soit vraie à un rang n, c’est-à-dire que :
u n = 2n+2 + 3.
Nous allons prouver qu’alors elle est vraie au rang n + 1.
A ce stade, la seule chose que nous sachions sur u n+1 est la relation qui le lie à u n . On peut écrire que :
u n+1 = 2 × u n − 3
Or nous avons supposé que u n = 2n+2 + 3, on peut donc écrire :
u n+1 = 2 × (2n+2 + 3) − 3
u n+1 = 2 × 2n+2 + 6 − 3
u n+1 = 2n+3 + 3
Donc la formule est alors aussi vraie au rang n + 1.
Donc elle se propage de rang en rang : un domino qui tombe, entraînera la chute du suivant...
La propriété étant vraie au rang 0, le principe de propagation que nous avons établi, nous permet alors de
dire que la propriété est alors vraie au rang 1, donc au rang 2, donc au rang 3,...
Tous les dominos tombent...
Conclusion : Pour tout entier naturel n,
u n = 2n+2 + 3.
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par
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Généralités sur les suites
u n+1 =
3u n + 2
.
un + 4
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
un > 1
Initialisation
:
On vérifie que la formule est vraie au rang le plus bas
u 0 = 5 donc u 0 > 1
La propriété est vraie au rang le plus bas.
Hérédité
:
On vérifie que la formule se transmet d’un rang à l’autre
Supposons que pour un certain entier naturel n, u n > 1 et sous cette hypothèse montrons que u n+1 > 1 :
Pour montrer que u n+1 > 1, on va montrer que u n+1 − 1 est positif :
3u n + 2
−1
un + 4
(3u n + 2) − (u n + 4)
=
un + 4
2(u n − 1)
=
un + 4
u n+1 − 1 =
Or nous avons supposé que u n > 1 donc u n − 1 est positif ainsi que u n + 4
par conséquent,
u n+1 − 1 est positif
donc
u n+1 > 1
La propriété se transmet au rang suivant
Conclusion :
La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire, elle est donc vraie à tous les rangs.
On a donc prouvé que, pour tout entier naturel n, u n > 1
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