TP 5 : Interpolation spline et courbes splines

MILHAUD Xavier
VOISIN Basile
TP 5 : Interpolation spline et courbes splines
Question 1 .
Graphe des splines normales et not a knot de la fonction de Runge pour n = 6 et n = 11 :
splines cubiques normales et not a knot pour n = 6
1.1
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
-0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
3
4
5
splines cubiques normales et not a knot pour n = 11
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
1
2
Question 2 .
Comparons avec l’interpolation polynômiale de Vandermonde :
comparaison splines/interpolation de Vandermonde pour n=6
1.1
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
-0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4
5
comparaison splines/interpolation de Vandermonde pour n=11
2.1
1.7
1.3
0.9
0.5
0.1
-0.3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
On constate que pour n = 6, les splines et l’interpolation de Vandermonde offrent des approximatins équivalentes, alors que pour n = 6, les splines donnent de bien meilleurs résultats et
permettent de se débarasser des oscillations du polynôme d’interpolation de Vandermonde.
2
Question 3 .
Graphe du polynôme interpolant les points (0, 3), (0.2, 3.1), (2, 3), (3, 2), (1, 1), (2, 0), (3.8, −0.1), (4, 0) :
graphe du polynome de degre 7 interpolant les 8 points donnes
3.3
+
+
+
2.9
2.5
+
2.1
1.7
1.3
+
0.9
0.5
+
0.1
+
+
-0.3
0
1
2
3
3
4
Question 4 .
Traçons maintenant, sur le même graphique, la spline cubique normale interpolant ces 8
points :
comparaison polynome de Newton/spline cubique normale
3.3
+
+
+
2.9
2.5
+
2.1
1.7
1.3
+
0.9
0.5
+
0.1
+
+
-0.3
-1
0
1
2
3
4
5
On constate des gros écarts aux niveau des extrémités, probablement dûs aux effets de bords
puisque l’on se trouve aux extrémités.
Question 5 .
La fonction subdivision comporte 2 boucles : une nécessaire au calcul de S, et une autre servant au calcul du vecteur t :
function t = subdivision(x)
n = size(x,"r") ; S = 0 ; t = zeros(n,1) ;
for i = 1 :(n-1) , S = S + (x(i+1,1)-x(i,1))ˆ2 + (x(i+1,2)-x(i,2))ˆ2 ; end
for i = 2 :n , t(i) = t(i-1)+(((x(i,1)-x(i-1,1))ˆ2+(x(i,2)-x(i-1,2))ˆ2)/S) ; end
4
Question 6 .
Graphe du polynôme de Newton et de la spline correspondant à cette nouvelle subdivision :
Polynome de Newton et spline cubique avec la nouvelle subdivision
5
4
3
2
1
0
-1
-2
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
Nous remarquons que, avec cette nouvelle subdivision qui n’est plus régulière, la spline est
beaucoup plus "lisse". En effet la nouvelle grille a beaucoup de plus de points aux extrémités
ce qui permet de supprimer les "crochets" obtenus avec la grille régulière.
5
Question 7 .
Graphe du polynôme de Newton et de la spline cubique interpolant ces 20 points situés sur le
cercle pour une grille régulière sur [0, 1] :
Polynome de Newton et spline cubique interpolant les points du cercle avec une subdivision uniforme de n points
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.0
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1.0
1.4
Nous constatons ici que les deux courbes sont bien des cercles et se superposent parfaitement.
Question 8 .
¡
Deux graphes où les points duy cercle sont perturés e =
1
50
¢
:
Perturbation sur les points d interpolation
Autre perturbation sur les points d interpolation
1.3
14
0.9
10
0.5
6
0.1
2
-0.3
-2
-0.7
-6
-1.1
-4
-2
0
2
4
6
-10
-1.8
8
-1.4
-1.0
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1.0
1.4
Nous pouvons ici voir que la spline est peu perturbée par le bruitage et garde une forme circulaire, alors que le polynôme de Newton est complêtement déformé : il est bien plus sensible
aux bruitages que la spline.
6
Question 9 .
Graghe de l’interpolation spline cubique normale et périodique avec e =
1
10
:
Comparaison interpolation spline cubique/spline periodique avec e=1/10
1.3
0.9
0.5
0.1
-0.3
-0.7
-1.1
-1.1
-0.7
-0.3
0.1
0.5
0.9
1.3
On observe que les splines sont légr̀ement déformées ; mais la spline périodique est beaucoup
plus lisse au point de jonction (à la fin de la période). En effet, cette dernière possède des
propriétés de régularité sur ses dérivées premières et secondes : s0 (x1 ) = s0 (xn ) et s00 (x1 ) =
s00 (xn ).
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