Exercices - Feuille 2

Université Paul Verlaine-Metz, année 2008/2009 - J-P. Croisille
Université Paul Verlaine-Metz - UFR MIM
Master de Mathématiques, année M1
Module Modélisation et introduction à la programmation
1
Année 2008/2009
Exercices - Feuille 2
1- Polynôme cubique de Hermite et spline cubique
1) Ecrire un programme cubic.m qui calcule l’unique polynôme cubique sur [a, b] prenant les
valeurs f (a), f (b), f ′ (a), f ′ (b) pour f , fonction donnée.
2) Soit a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b. Ecrire un routine qui calcule le polynôme cubique par
morceaux sur chaque ]xi−1 , xi [, prenant les valeurs f (xi ), f ′ (xi ).
3) Ecrire une routine spline.m qui calcule l’unique spline cubique s̃(x) prenant les valeurs f (xi )
aux points xi . On précisera bien les entrées /sorties du programme. Pourquoi n’y a-t-il pas besoin
de spécifier les valeurs des dérivées f ′ (xi ) aux points autres que x0 , xn ?
4) Appliquer le programme à la fonction de Runge. Tracer l’erreur n 7→ en correspondante, n étant
le nombre de points de discrétisation,
en = sup |s̃(x) − f (x)|
(1)
a≤x≤b
2- Splines cubiques
1) a) Rappeler le principe du calcul de la spline cubique d’une fonction f (x) sur l’intervalle [a, b]
avec n + 1 points régulièrement espacés
x0 = a < x1 < ... < xn = b
(2)
b) On considère la fonction f (x) = Log (x). En utilisant la fonction spline de matlab (faire help
spline), tracer la spline cubique s̃(x) qui approche f (x) sur l’intervalle [a, b] = [0.01, 1.01] avec
n + 1 points régulièrement espacés pour différentes valeurs de n: n = 4, 9, ... et les conditions limite
de Hermite.
c) Ecrire un programme qui calcule cette spline et la représenter. On mettra le nombre de points
en paramètres. Evaluer numériquement kf (x) − s̃(x)k∞ .
d) On considère la fonction f (x) = sin(2πx) sur l’intervalle [a, b] = [0, 1]. Calculer et représenter la
spline cubique avec conditions limite périodiques pour n = 3, n = 7, n = 15 points régulièrement
espacés.
Université Paul Verlaine-Metz, année 2008/2009 - J-P. Croisille
2
3- Comparaison interpolé spline cubique/mesures effectives
On rappelle le tableau de données mesurées (cf feuille 1)
ν
>0.00
0.29
>0.45
>0.80
1.11
>1.43
1.82
>2.27
2.50
>2.91
E(ν)
-3.10
-2.94
-2.72
-2.23
-1.60
-0.78
0.00
1.00
1.30
1.80
ν
3.65
>4.00
4.17
>4.35
>4.57
>4.76
5.00
>5.26
5.56
E(ν)
3.10
4.19
4.90
5.77
6.57
6.23
5.52
4.90
4.65
ν
>5.88
6.25
>6.71
7.18
>8.00
8.50
>9.00
9.50
>10.00
E(ν)
4.77
5.02
5.05
5.39
6.55
7.45
8.45
9.80
11.30
1) Tracer l’interpolé spline cubique s(x) basée sur les données marquées >.
2) Evaluer pour les autres données la prédiction faite par s(x) et la valeur effectivement mesurée.
Comparer avec l’interpolé de Lagrange.
4- Spline cardinale
On considère sur R les points xk = kh, h > 0 étant un pas de discrétisation. La spline cardinale
lj (x) est l’unique spline cubique sur R attachée aux xj telle que lj (xk ) = δjk .
1) Rappeler la définition d’une spline cubique s(x) ∈ S3 [x0 , x1 , .., xn ].
2) Montrer que les dérivées lj′ (xk ) sont solution de
lj′ (xk−1 ) + 4lj′ (xk ) + lj′ (xk+1 ) =
3
[δj,k+1 − δj,k−1 ] ,
h
3) En déduire qu’il existe deux constantes α, β ∈ R tel que
√
√
lj′ (xk ) = α(−2 + 3)k−j + β(−2 − 3)k−j
,
k∈Z
k ≥j+1
(3)
(4)
4) Montrer qu’il existe une unique fonction lj (x) bornée sur R vérifiant (3) et que les dérivées
lj′ (xk ) vérifient

√
 −3(−2 + 3)j−k /h, k < j
0,
k=j
lj′ (xk ) =
(5)
√

k>j
3(−2 + 3)k−j /h,
5) Tracer la spline cardinale lj (x) à l’aide d’un programme matlab.
5- Inégalité de Wirtinger
R 2π
Soit u ∈ C 1 [0, 2π] tel que u(0) = u(2π) et 0 u(t)dt = 0.
1) Montrer que
Z 2π
Z 2π
2
|u(t)| dt ≤
|u′ (t)|2 dt
0
(6)
0
On essaiera successivement:
a) L’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à des fonctions bien choisies.
b) L’utilisation du développement en séries de Fourier de u.
2) En déduire que si f ∈ C 1 [a, b] avec f (a) = f (b) = 0, alors
π
2
Z
a
b
2
2
|f (x)| dx ≤ (b − a)
Z
a
b
|f ′ (x)|2 dx
(7)
Université Paul Verlaine-Metz, année 2008/2009 - J-P. Croisille
3
6- Relation intégrale pour les splines
1) Rappeler la définition de l’espace des splines cubiques S3 (Ωn ) associées à
Ωn = {a = x0 , x1 , ..., xn−1 , xn = b}.
Préciser la dimension de cet espace et en donner une base.
2) Rappeler les trois types de condition limite : Hermite, “naturelle” et périodique, qu’on peut
ajouter à la condition de collocation s(xν ) = f (xν ) afin de définir la spline s(x).
On note d(x) l’erreur entre la fonction à interpoler et la spline, d(x) = f (x) − s(x). On veut
montrer que la relation intégrale suivante est vraie dans chacun des trois cas ci-dessus.
Z
b
f ′′ (x)2 dx =
a
Z
b
Z
b
a
(f ′′ (x) − s′′ (x))2 dx +
Z
b
s′′ (x)2 dx
(8)
a
3) Montrer que (8) est équivalent à
s′′ (x)d′′ (x)dx = 0
(9)
a
4) En intégrant par parties, montrer que (9) est vrai sous la condition au bord
s′′ (b)d′ (b) = s′′ (a)d′ (a)
(10)
Montrer que cette condition est vérifiée dans chacun des trois cas ci-dessus.
5) On souhaite à présent montrer que les conditions de collocation + conditions au bord définissent
bien la spline cubique de façon unique. Pourquoi suffit-il de montrer que f ≡ 0 ⇒ s ≡ 0 ? On
considère la décomposition de s(x) sur la base des splines
s(x) =
3
X
λ=0
n−1
a′λ
xλ X ′ (x − xν )3+
+
bν
λ!
3!
p=1
(11)
Montrer que si f ≡ 0, alors s(x) = a0 + a1 x, puis montrer que chacun des 3 types de conditions
limite entraı̂nent s(x) ≡ 0.
7- Estimations d’erreur pour l’interpolation spline
Soit s ∈ S2m−1 (Ωn ), une spline d’ordre impair attachée à l’ensemble
Ωn = {a = x0 < x1 , ..., xn−1 < xn = b}
(12)
Alors on a la relation intégrale suivante
b
Z
f (m) (x)2 dx =
a
Z
a
b
(f (m) (x) − s(m) (x))2 dx +
Z
b
s(m) (x)2 dx
(13)
a
pourvu que s(x) vérifie la relation aux limites, (on note d(x) = f (x) − s(x)),
m−2
X
(−1)µ s(m+µ) (a)d(m−µ−1) (a) =
µ=0
m−2
X
(−1)µ s(m+µ) (b)d(m−µ−1) (b)
(14)
µ=0
1) Vérifier que cette relation intégrale est toujours valable pour les splines linéaires.
2) Déduire des questions précédentes et de l’inégalité de Wirtinger que la spline linéaire s̃ vérifie
kf − s̃k2 ≤
h ′
kf k2
π
(15)
Université Paul Verlaine-Metz, année 2008/2009 - J-P. Croisille
4
3) a) Montrer que l’on a pour toute fonction f ∈ C 2 [a, b] et s̃ la spline linéaire, que
kf ′ − s̃′ k22 = (f − s̃, f ′′ )2
(16)
où (., .)2 designe le produit scalaire de L2 [a, b]. b) En déduire que
kf − s̃k2 ≤
h2 ′′
kf k2
π2
(17)
4) Soit a = x0 < x1 , ..., < xn = b, n + 1 points distincts de [a, b] et s̃ la spline cubique associée avec
conditions aux limites de Hermite.
a) En intégrant par parties et en utilisant l’inegalité de Wirtinger, montrer que
kf − s̃k2 ≤
h ′
kf − s̃′ k2
π
(18)
b) En appliquant le théorème de Rolle à f − s̃, montrer que
kf ′ − s̃′ k22 ≤
(2h)2
kf − s̃k2 kf (4) k2
π2
(19)
h4 (4)
kf k2
π4
(20)
c) En déduire que
kf − s̃k ≤ 4