Cours 11 : Interpolation

ASI 3
Méthodes numériques
pour l’ingénieur
Interpolation
f(x)
1
Approximation de fonctions
• Soit une fonction f (inconnue explicitement)
– connue seulement en certains points x0,x1…xn
– ou évaluable par un calcul coûteux.
• Principe :
– représenter f par une fonction simple, facile à évaluer
• Problème :
– il existe une infinité de solutions !
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Approximation de fonctions
• Il faut se restreindre à une famille de fonctions
– polynômes,
– exponentielles,
– fonctions trigonométriques…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
3
Quelques méthodes d'approximation
• Interpolation polynomiale
– polynômes de degré au plus n
• polynômes de Lagrange
• différences finies de Newton
• Interpolation par splines
– polynômes par morceaux
• Interpolation d'Hermite
– informations sur les dérivées de la fonction à approcher
• ...voir le groupe de TT…
4
Théorème d’approximation de Weierstrass
soit f une fonction définie et continue sur l' intervalle [a, b]
Alors, ∀ε > 0, il existe un polynôme P( x), définit sur [a, b] tel que :
f ( x) − P ( x) < ε
∀ x ∈ [a, b]
ε )+ε
ff(x)+(x
P(x)
P (x)
f(x)
f (x)
f (x) − ε
f(x)-ε
plus ε , est petit,
plus l' ordre du polynome est grand
ab
ab
Interpolation :
n + 1 points, n + 1 contraintes, n + 1 équations, n + 1 inconnues : ordre n5
Interpolation polynomiale
• Le problème : les données, la solution recherchée
( x0 , y0 = f ( x0 ) ),..., ( xi , yi = f ( xi ) ),..., ( xi , yi = f ( xi ) )
P( x) tel que P ( xi ) = f ( xi ), i = 0, n
• mauvaise nsolution : résoudre le système linéaire
P( x) = ∑ ai x i ⇒ Va = y
V : matrice de Vandermonde
i =0
• la combinaison linéaire de polynômes est un polynôme
P( x) = y0 P0 ( x) + ... + yi Pi ( x) + yn Pn ( x)
tel que Pi ( xi ) = 1 et Pi ( x j ) = 0
j≠i
ainsi P( xi ) = y0 P0 ( xi ) + ... + yi Pi ( xi ) + yn Pn ( xi )
↓
↓
↓
0
1
0
6
Interpolation polynomiale : Lagrange
• Théorème
– Soient n+1 points distincts xi réels et n+1 réels yi,
il existe un unique polynôme p ∈ Pn tel que
p(xi) = yi pour i = 0 à n
démonstration
– Construction de p :
n
p( x ) = ∑ y i Li ( x )
i =0
(x − x )
L (x)=∏
(x − x )
n
avec Li polynôme de Lagrange
– Propriétés de Li
j
i
j =0
j ≠i
i
j
L est un polynôme d’ordre n
• Li(xi)=1
• Li(xj)=0 (j ≠ i)
7
Lagrange : exemple n°1
• Exemple avec n=1
– on connaît 2 points (x0,y0) et (x1,y1)
– on cherche la droite y=ax+b (polynôme de degré 1)
qui passe par les 2 points :
• y0 = a x0 + b
• y1 = a x1 + b
–
a = (y0 - y1) / (x0 - x1)
b = (x0 y1 - x1 y0) / (x0 - x1)
y1
y0
y0 − y1
x 0 y 1 − x1 y 0
y=
x+
x0 − x 1
x0 − x1
x0
x1
x − x0
x − x0
x − x1
x − x1
− y1
= y0
+ y1
y = y0
x0 − x1
x 0 − x1
x0 − x1
x1 − x0
L0(x)
L1(x)
8
Lagrange : exemple n°2
• Exemple avec n=2
– on connaît 3 points (0,1), (2,5) et (4,17)
– polynômes de Lagrange associés :
(
x( x − 2 )
x( x − 4 )
x − 2 )(x − 4 )
L2 ( x ) =
L1 ( x ) =
L0 ( x ) =
8
8
−4
-
0
2
4
0
2
4
0
2
4
9
Lagrange : exemple n°2
– calcul du polynôme d'interpolation
30
25
• p(x)=L0(x) + 5 L1(x) + 17 L2(x)
20
15
10
5
0
-1
0
1
2
3
4
5
• en simplifiant, on trouve p(x)=x2+1
10
Lagrange : l’algorithme
Fonction y = lagrange(x,xi,yi)
pour i = 1 jusqu' à n
pour j = 1 jusqu' à n, j ≠ i;
x − xi ( j )
l ←l*
xi (i ) − xi ( j )
fait
y ← y + yi * l
fait
Complexité du calcul : n2
11
Lagrange : exemple n°3
• Exemple avec n=2
(fonction à approcher y=ex)
– on connaît 3 points (0,1), (2,7.3891) et (4,54.5982)
– Polynôme d'interpolation
• p(x) =L0(x) + 7.3891 L1(x) + 54.5982 L2(x)
60
50
40
30
20
10
0
-10
-1
0
1
2
3
4
5
12
Lagrange : exemple n°3
– Erreur d'interpolation e(x) = f(x) - p(x)
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-1
0
1
2
3
4
5
13
Lagrange : erreur d'interpolation
• Théorème :
– si f est n+1 dérivable sur [a,b], ∀ x ∈ [a,b], notons :
• I le plus petit intervalle fermé contenant x et les xi
• φ(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)
( n +1 )
– alors, il existe ξ ∈ I tel que
e( x ) =
(ξ ) φ (x )
(n + 1)!
f
– NB : ξ dépend de x
• Utilité = on contrôle l’erreur d’approximation donc
la qualité de l’approximation
.
14
Lagrange : choix de n
• Supposons que l'on possède un nb élevé de points pour
approcher f … faut-il tous les utiliser ?
– (calculs lourds)
• Méthode de Neville :
– on augmente progressivement n
– on calcule des Li de manière récursive
– on arrête dès que l'erreur est inférieure à un seuil
(d’ou l’utilité du calcul de l’erreur)
15
La méthode de Neuville
• Définition
Pm1 ,m2 ,...,mk ( x) polynôme de Lagrange calculé sur
(xm , ym ), (xm , ym ),..., (xm , ym )
Théorème
(x − x j )P0,1,..., j −1, j +1,...,n ( x) − ( x − xi )P0,1,...,i−1,i+1,...,n ( x)
P( x) =
les k points
•
1
1
2
2
k
k
xi − x j
• Démonstration
P( xi ) = f ( xi ); P( x j ) = f ( x j ) et P( xk ) = f ( xk )
• Application systématique
x0
x1
x2
x3
P0 = Q0,0
P1 = Q1,0
P2 = Q2,0
P3 = Q3,0
P0,1 = Q1,1
P1, 2 = Q2,1
P2,3 = Q3,1
Qi , j = Pi − j ,i − j +1,...,i −1,i
P0,1, 2 = Q2, 2
P1, 2,3 = Q3, 2
P0,1, 2, 4 = Q3,3
16
L’algorithme de Neuville
Fonction y = Neuville(x,xi,yi)
pour i = 1 jusqu' à n
Q (i,0) ← yi (i )
fait
pour i = 1 jusqu' à n
pour j = 1 jusqu' à i
( x − xi (i − j ) )Q(i,j − 1 ) − ( x − xi (i ) )Q(i − 1,j − 1 )
Q(i,j) ←
xi (i ) − xi (i − j )
fait
y ← Q (n, n)
fait
Complexité du calcul : n2
17
Interpolation polynomiale : Newton
• Polynômes de Newton :
– base = {1, (x-x0), (x-x0)(x-x1), …, (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)}
– on peut ré-écrire p(x) :
p(x)=a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1)+…+ an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
– calcul des ak : méthode des différences divisées
18
Newton : différences divisées
• Définition :
– Soit une fonction f dont on connaît les valeurs en des points
distincts a, b, c, …
– On appelle différence divisée d’ordre 0, 1, 2,...,n
les expressions définies par récurrence sur l’ordre k :
– k=0
f [a] = f (a)
– k=1
f [a,b] = ( f [b] - f [a] ) / ( b - a )
– k=2
f [a,b,c] = ( f [a,c] - f [a,b] ) / ( c - b )
– …
f [X,a,b] = ( f [X,b] - f [X,a] ) / ( b - a )
a∉X, b∉X, a≠b
19
Newton : différences divisées
• Théorèmes :
– détermination des coefficients de p(x) dans la base de
Newton :
f [x0, x1,…, xk] = ak
avec k = 0 … n
– erreur d'interpolation :
e(x) = f [x0, x1,…, xn, x] φ(x)
20
Newton : différences divisées
• Calcul pratique des coefficients :
a0
x0
f [x0]
x1 f [x1]
x2 f [x2]
… …
… …
xn
f [xn]
a1
f [x0, x1]
f [x1, x2]
…
…
f [x0, x1, x2]
...
f [xn-3, xn-2, xn-1]
f [xn-1, xn]
f [xn-2, xn-1, xn]
a2
an
…
f [x0, ..., xn]
21
Newton : exemple
• (ex. n°2) : n=2
(0,1), (2,5) et (4,17)
a0
0
f [x0]=1
2
f [x1]=5
4
f [x2]=17
a1
f [x0, x1]
=(1-5)/(0-2)=2
f [x1, x2]
=(5-17)/(2-4)=6
p(x)=1 + 2x + x(x-2)
f [x0, x1, x2]
a2
= (2-6)/(0-4)=1
(et on retombe sur p(x) = 1 + x2)
22
Newton : l’algorithme
Fonction a = Newton(xi,yi)
pour i = 1 jusqu' à n
F (i,0) ← yi (i )
fait
pour i = 1 jusqu' à n
pour j = 1 jusqu' à i
F(i,j − 1 ) − F(i − 1,j − 1 )
F(i,j) ←
xi (i ) − xi (i − j )
fait
fait
pour i = 1 jusqu' à n
a(i) ← F (n, i )
fait
Complexité du calcul : n2
23
A bas les polynômes
• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10
avec 9 points
– entre les points, le polynôme fait ce qu'il veut…
et plus son degré est élevé plus il est apte à osciller !
6
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
24
Interpolation par splines cubiques
• Principe :
– on approche la courbe par morceaux (localement)
– on prend des polynômes de degré faible (3) pour éviter les
oscillations
25
Splines cubiques : définition
• Définition :
– On appelle spline cubique d’interpolation une fonction notée
g, qui vérifie les propriétés suivantes :
• g ∈ C2[a;b] (g est deux fois continûment dérivable),
• g coïncide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynôme de degré
inférieur ou égal à 3,
• g(xi) = yi pour i = 0 … n
• Remarque :
– Il faut des conditions supplémentaires pour définir la spline
d’interpolation de façon unique
– Ex. de conditions supplémentaires :
• g"(a) = g"(b) = 0
spline naturelle.
26
Splines : illustration
P2(x)=a2 (x-x2) 3+b2 (x-x2) 2+c2 (x-x2) +d2
P1(x)=α1x3+β1x2+χ1x+δ1
=a1 (x-x1)3+b1 (x-x1) 2+c1 (x-x1) +d1
27
Splines cubiques : détermination
• Détermination de la spline d’interpolation
– g coïncide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynôme de
degré inférieur ou égal à 3
g" est de degré 1 et est déterminé par 2 valeurs:
• mi = g"(xi) et mi+1 = g"(xi+1)
(moment au noeud n°i)
– Notations :
• hi = xi+1 - xi
pour i = 0 … n-1
• δi= [xi; xi+1]
• gi(x) le polynôme de degré 3 qui coïncide avec g sur l’intervalle δi
28
Splines cubiques : détermination
– g"i(x) est linéaire :
• ∀ x ∈ δi
• on intègre
(ai constante)
• on continue
(bi constante)
– gi(xi) = yi
– gi(xi+1) = yi+1
x − xi
xi + 1 − x
+ mi
hi
hi
(
(
xi +1 − x )2
x − xi )2
g i′ (x ) = mi +1
− mi
+ ai
2hi
2hi
g i′′(x ) = mi +1
g i (x ) = mi +1
(x − xi )3 + m (xi +1 − x )3 + a (x − x ) + b
i
6 hi
mi hi 2
yi =
+ bi
6
1
yi +1
6 hi
i
mi +1 hi 2
=
+ ai hi + bi
6
i
i
2
29
Splines cubiques : détermination
– g'(x) est continue :
– 1 et 2
g i′ (xi ) = −mi
hi
hi −1
+ ai = mi
+ ai −1 = g i′−1 (xi ) 3
2
2
hi
1
ai = ( yi +1 − yi ) − (mi +1 − mi )
hi
6
– on remplace les ai dans : 3
4
hi −1mi −1 + 2(hi + hi −1 )mi + hi mi +1
1

1

( yi − yi −1 )
= 6  ( y i +1 − yi ) −
hi −1
 hi

– Rappel : on cherche les mi (n+1 inconnues)
on a seulement n-1 équations grâce à
il faut rajouter 2 conditions, par exemple
m0 = mn =0
4
(spline naturelle)
30
Splines cubiques : détermination
4
hi −1mi −1 + 2(hi + hi −1 )mi + hi mi +1
1

1

( yi − yi −1 )
= 6  ( y i +1 − yi ) −
hi −1
 hi

– Ex de résolution avec hi = xi+1 - xi constant :
• mi −1 + 4 mi + mi +1 =
• forme matricielle :
Tm=f
1
h
2
( y i −1 − 2 y i + y i + 1 ) =
4

1





fi
1
0  m1   f 1 

 

4 1

 

 l  =  l 
p p p

 


 
1 4 1 

 

1 4  mn −1   f n −1 
• T inversible (diagonale strictement dominante)
31
Splines cubiques : l’algorithme
pour i = 2; n − 1
T (i, i ) ← 2(hi + hi −1 )
T (i, i − 1) ← hi −1
T (i, i + 1) ← 2hi
 yi +1 − yi yi − yi −1 

f (i − 1) ← 6
−
hi
hi −1 

fait
T ← T (2:n-1,2:n-1)
m ←T \ f
m ← [0, m,0]
pour i = 1; n − 1
h
1
a(i ) ← ( yi +1 − yi ) − i (mi +1 − mi )
6
hi
mi hi
b(i ) ← y (i ) −
6
fait
Complexité du calcul : complexité du solveur
32
Splines cubiques : exemple
• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10
avec 9 points
6
4
spline
2
0
-2
-4
-6
-6
polynôme de degré 8
-4
-2
0
2
4
6
33
Conclusion
• Interpolation polynomiale
– évaluer la fonction en un point : Polynôme de Lagrange ->
méthode de Neville
– compiler la fonction : Polynôme de Newton
• Interpolation polynomiale par morceau : splines
–
–
–
–
spline cubique d’interpolation
spline cubique d’approximation (on régularise)
b spline
spline généralisée : splines gausiènnes (multidimensionelle)
• approximation - apprentissage
34