“Contrat de confiance” :

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Licence STS Mention EEA parcours REL
2015-03
Techniques Scientifiques
“Contrat de confiance” :
Le sujet d'examen comportera deux ou trois exercices tirés de la liste ci-dessous et/ou des questions de cours.
En général les calculs peuvent être menés à la main, dans l'infirmative, cela est indiqué.
Tous les calculs doivent être justifiés, et ne mettre en jeu que des méthodes vues en cours ou en TD.
Tout calcul non détaillé n'est pas pris en considération (même s'il est mené avec une calculatrice)
Il est précisé que les méthodes utilisées pour l'interpolation polynomiale peuvent être échangées (Newton pour
Lagrange ou l'inverse) le jour de l'examen.
Méthodes vues : Horner, Lagrange, Newton (interpolation), Newton Racines, Bairstow, Runge-Kutta, Trapèzes,
Simpson.
Exercice I
Soit le support numérique :
x
0
1
2
3
F(x)
-3
-1,5
2
7,5
1.
2.
Quel est le degré du polynôme d’interpolation passant par ces points ?
Calculez l’expression littérale (P(x)=…) du polynôme d’interpolation déterminé par la méthode de Lagrange.
3.
4.
Calculez la somme des coefficients de Lagrange. Le résultat était-il prévisible ?
Déterminez α , la racine de fonction F(x) dans l’intervalle { 0 ; 3 }, en utilisant la méthode de Newton et
l'expression de P(x) trouvée au point 2. Calculez α avec une précision meilleure que 10-3 en prenant comme
point de départ x0 = 3/2. La valeur du polynôme et celle de sa dérivée seront calculées par la méthode
d'Horner à l'exclusion de toute autre méthode. Les calculs seront menés avec 4 décimales.
Exercice II
Soit P3(x) un polynôme de degré 3 s’exprimant : P3(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
1.
Déterminez le polynôme quotient Q(x) résultat de la division de P3(x) par (x-2).
2.
3.
Quelle est la valeur du reste ?
Calculez Q(3).
4.
À l'aide des questions précédentes et sans calculer directement P3(3), donnez la valeur de P3(3).
Exercice III
Soit le polynôme : P(x) = x3-13x+12.
1.
2.
Calculez la valeur de P’(1).
Donnez alors l’expression du polynôme Q1(x)=P(x)/(x-1).
3.
4.
Donnez la valeur du reste de la division.
Calculez l’expression de Q3(x) = P(x)/(x-3) puis de Q-4(x) = P(x)/(x+4). Donnez dans chaque cas la valeur du
reste de la division.
À partir des résultats des questions précédentes donnez l'écriture factorisée de P(x). Justifiez votre réponse.
5.
Exercice IV
Exercice avec calculatrice
Déterminez la racine de l’équation Log(x)-1 = 0 par la méthode de Newton. Il s’agit du logarithme Népérien.
1.
2.
Etablissez l’expression de la relation de récurrence permettant de résoudre numériquement cette équation.
Donnez une valeur approchée de la racine avec 4 décimales. Vous prendrez comme point de départ : x0 : 2.
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P. Castelan
2015-03
Exercice V
1.
Déterminez une racine du polynôme par la méthode de Newton en prenant comme point de départ x=2. La
précision des calculs sera d’au moins 4 décimales. Tous les calculs polynomiaux seront menés à l’aide de la
méthode de Horner. La solution sera donnée avec une précision meilleure que 10-2.
2.
Donnez l'expression du polynôme Q(x) quotient résultat de la division de P 3(x) par (x+2) sans faire de calcul
supplémentaire, justifiez votre réponse.
3.
Déterminez toutes les racines de P3(x) à l'aide de la méthode de Newton en déterminant les racines de Q(x).
Vous mènerez les calculs avec 4 décimales et arrondirez la solution trouvée à l'entier le plus proche. Vous
prendrez comme point de départ X0 = 1.
Exercice VI
Xi
-1
0
2
3
Yi
11
7
5
7
1.
2.
Déterminez la valeur en x=1 que prend le polynôme d’interpolation en utilisant la méthode de Lagrange.
3.
4.
Que vaut la somme des coefficients de Lagrange ?
La valeur théorique est y=5 pour x=1. Quelle hypothèse peut-on émettre sur le support numérique ?
Exercice VII
On cherche à calculer la dérivée d'une fonction y=F(x) connue par ses points { {0 , -2}, {1 , -1}, {2 , 2} }.
Pour évaluer la dérivée en ces points, on se propose d'interpoler par la méthode de Lagrange la fonction F, puis de
dériver le polynôme obtenu.
1.
Déterminez l'expression littérale des trois coefficients de Lagrange
2.
Déterminez l'expression littérale sous forme canonique du polynôme d'interpolation par la méthode de
Lagrange
3.
Calculez alors par la méthode d'Horner la valeur de la dérivée aux points 0, 1 et 2.
Exercice VIII
La méthode itérative de Héron d'Alexandrie permet de calculer la valeur d'une racine carrée. Il est possible d'établir la
relation de récurrence à l'aide de la méthode de Newton.
A .
1.
Ecrivez l'équation que vérifie x2, si x vaut
2.
Mettez cette équation sous la forme f(x) = 0.
3.
En utilisant la méthode de Newton, établissez la relation de récurrence permettant d'obtenir une
approximation de  A .
4.
En prenant comme point de départ x=1, calculez, sous forme fractionnaire, la troisième approximation
2 .
Exercice IX
On se propose d'estimer la valeur d'une intégrale I par la méthode de Simpson, le support numérique à disposition est
le suivant :
x
0
1
2
3
4
5
y = F(x)
6
0
-4
0
18
56
1.
Peut-on employer ici directement la méthode de Simpson ? Pourquoi ?
2.
Calculez une valeur approchée de I en utilisant la méthode des trapèzes.
On remarque que :
3.
c
b
c
I =∫a F (x)dx=∫a F (x )dx+∫b F (x )dx
avec
a⩽b⩽c
Proposez une méthode qui, utilisant la remarque précédente, permet d'estimer I en utilisant la méthode de
Simpson sur un maximum de points. Avec le support numérique proposé, il y a 3 possibilités, citez-les toutes.
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P. Castelan
2015-03
4.
Calculez les trois estimations de I listées ci-dessus : tous les résultats seront exprimés en douzièmes.
5.
Laquelle de ces possibilités donne la meilleure précision sachant que la valeur théorique de I est : 485/12.
Proposez une explication.
Exercice X
On se propose d'estimer la valeur de
I =∫10 x 2 dx
.
1.
Evaluez cette intégrale avec 3, 5 puis 9 points par la méthode des trapèzes, puis la méthode de Simpson.
Comparez les valeurs obtenues entre les deux méthodes.
2.
Calculez la valeur de l'intégrale et comparez la valeur trouvée à celles obtenues par Simpson et trapèzes.
Commentez.
3.
Que constatez-vous avec l'évaluation de I par la méthode de Simpson en fonction du nombre de points ?
Justifiez ce résultat.
Exercice XI
X
0
1
2
Y=F(X)
Y0
Y1
Y2
1.
2.
Donnez l’expression littérale du polynôme d’interpolation passant par ces points en fonction de Y0, Y1 et Y2.
3.
En intégrant le polynôme obtenu entre X=0 et X=2, estimez la valeur de l’intégrale
4.
fonction de Y0, Y1 et Y2.
Dans le cas général, l’intervalle entre deux points successifs n’est pas 1, mais h. Exprimez dans ce cas la
valeur de I.
I =∫02 F ( X ) dX en
Exercice XII
Pour les questions 1 et 2 la précision des calculs sera d’au moins six décimales. Tous les calculs polynomiaux seront
menés à l’aide de la méthode de Horner. La solution sera donnée avec une précision meilleure que 10-3.
1.
Déterminez une racine du polynôme par la méthode de Newton en prenant comme point de départ x=2.
2.
3.
Déterminez une racine du polynôme par la méthode de Newton en prenant comme point de départ x=5/4.
Expliquez brièvement pourquoi en partant de x=2 on ne trouve pas la racine la plus proche (on pourra s’aider
d’un dessin).
Exercice XIII
On veut calculer la surface sous une courbe connue par les points suivant.
X
0
1
4
5
Y
2
-1
2
27
• On constate que le pas n'étant pas constant, l'expression dite des trapèzes ne peut être utilisée.
1.
Calculez une approximation de la surface sous la courbe à l'aide de trapèzes en intégrant zone par zone :
1
I=
∫
0
2.
3.
4.
4
∫
fdx +
1
5
∫
fdx +
4
fdx
En utilisant la méthode d'interpolation de Lagrange, calculez ordonnées des points manquants dans support
numérique donné de façon à avoir un pas constant et égal à un. Vous utiliserez la méthode du tableau vue en
TD pour mener les calculs.
Donnez alors une nouvelle approximation de la surface en utilisant l'expression des trapèzes.
Comparez les deux approximation calculées. Quelle est, à votre avis, la meilleure approximation ?
Argumentez votre réponse.
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P. Castelan
2015-03
Exercice XIV
Une mesure de courant en fonction du temps a donné le tableau de valeurs suivants :
t (s)
0
1
2
3
I (mA)
20
8
4
2
Afin déterminer avec précision l'instant où le courant devient égal à 6mA, vous procéderez de la manière décrite ciaprès.
1.
Donnez l'expression littérale sous forme canonique du polynôme d'interpolation P L(t) = I(t) en utilisant la
méthode de Lagrange. 2.
On cherche t tel que I(t) = 6. Dans cette équation remplacez I(t) par PL(t). Donnez l'expression de l'équation
alors obtenue.
3.
En utilisant les méthodes d'Horner et de Newton, déterminez la valeur qui vérifie l'équation obtenue à la
question 2. Vous donnerez une valeur approchée de la racine avec une précision meilleure que 10 -2. Le point
de départ sera pris égal à 1. Les calculs seront menés avec une précision de 4 décimales.
Exercice XV
On considère l'équation différentielle suivante :
1.
1
i ' t= 1−i t . On précise : τ = 0,5, et à t = 0, i(t) = 0.

Donnez la valeur du courant i(t) à t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3 secondes en utilisant une méthode de Runge-Kutta
d'ordre 2 vue en TD et en utilisant un pas d'intégration égal à 0,1.
Exercice XVI
Nota Bene : tous les calculs de cet exercice se feront avec exactement 4 chiffres significatifs.
k
L
VL(t)
E
R
VR(t)
À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur k. À cet instant le courant dans le circuit est nul.
1.
2.
Donnez la relation liant le courant i(t) à VR(t).
Donnez la tension VR(t) aux temps 2.10-3, 4.10-3, 6.10-3 s en utilisant la méthode de Runge Kutta d'ordre 2 vue
d i t 
=⋯ — et détermination des conditions
en TD après mise en forme de l’équation différentielle —
dt
initiales. Le pas d’intégration h sera pris égal à 2.10-3 s.
On donne l’équation différentielle gouvernant le circuit : E= L
On donne R = 10 Ω ; L = 0,1H ; E = 10V.
di
+Ri (t )
dt
Exercice XVII
On considère l'équation différentielle :
1.
dy
= x−2∗ y
dx
Calculez les valeurs prises par la fonction y(x) en x = {1, 2, 3} en utilisant la méthode de Runge-Kutta d'ordre
2 vue en TD. On prendra h = 1 et les conditions initiales { x = 0 ; y = 1 }.
0
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0
P. Castelan
2015-03
Exercice XVIII
Soit le support numérique suivant :
X
-2
Y
1.
2.
0
2
4
0,25
1
4
16
Calculez la valeur prise par le polynôme interpolant le support numérique ci-dessus en α=1. Ce polynôme sera
déterminé par la méthode de Lagrange (méthode du tableau).
Les Y sont issus de la fonction 2x. Quelle méthode proposez-vous pour calculer une approximation juste en
x=1. Quelle valeur obtient-on ?
Exercice XIX
1.
Comment calcule-t-on xn+1 si l’on connaît xn et que l’on recherche une valeur approchée d’α une racine de
f(x) par la méthode de Newton ?
2.
Donnez des critères nécessaires à la convergence de la méthode de Newton. Sont-ils numériquement
exploitables ? Justifiez vos réponses.
Exercice XX
On se propose de déterminer les racines du polynôme P3(x) = x3 - 4x + 2 que l’on a tracé sommairement ci-dessous.
•
Donnez les racines avec une précision de 10-2 en utilisant la méthode de Newton.
Pour chaque racine, vous choisirez une valeur de départ arrondie à 0,5 près. Justifiez vos choix.
15
10
5
0
-5
-10
-3
-2
-1
0
1
2
3
Exercice XXI
En utilisant la méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 vue en cours, déterminez y(1) sachant que le fonction y(x) vérifie
l'équation différentielle : y' = 1-y2
1.
On pendra comme conditions initiales y(0)=1 et un pas d'intégration égal à 1.
2.
3.
Même question mais avec un pas d'intégration égal à 0,5.
Que pouvez-vous conjecturer quand à la solution de cette équation différentielle avec ces conditions
initiales ?
Exercice XXII
xi
-4
-2
0
2
4
yi=F(xi)
6
-6
-10
-6
6
1.
Quel est, a priori, le degré du polynôme d’interpolation passant par ces points ?
2.
3.
Calculez la valeur en x=1 que prend le polynôme d’interpolation déterminé par la méthode de Newton.
On sait par ailleurs que F(1) = -9. Comparez cette valeur avec celle que vous avez trouvé. Quelle conjecture
pouvez-vous faire quant à la nature de la fonction F ? Aviez-vous une autre raison pour émettre cette
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P. Castelan
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hypothèse ?
Exercice XXIII
Soit le polynôme P(x) = x3 + x2 - 14x - 24. On se propose de déterminer toutes ses racines à l'aide de la méthode de
Bairstow.
Déterminez les valeurs de S et P vers lesquelles converge la méthode de Bairstow pour le polynôme P(x) si
l'on prend S0 = 1, P0 = -7. Donnez l'expression du polynôme quotient.
2. Déterminez l'expression de Q(x) et de R(x) tel que l'on ait : P(x) = (x2 - 2x - 8)Q(x) + R(x).
3. À l'aide des deux premières questions et du schéma de Horner, exprimez P(x) sous la forme : P(x) = (x-α1) (x-α2) (x-α3). Donnez alors toutes les racines de P(x).
1.
Exercice XXIV
Soit P(x) = x5 - 3x4 -5x3 + 15x2 + 4x -12.
1. Ce polynôme a deux racines évidentes. Trouvez-les, puis, à partir de ces racines, déterminez S et P tel que l'on
ait : P(x) = ( x - Sx + P )Q (x).
2
1
2.
Déterminez les coefficients de Q (x) par la méthode de Bairstow.
3.
Déterminez les racines de Q (x) par la méthode de Bairstow en prenant d'abord {S=2, P=1}, puis {S=1, P=1}.
Donnez tous les coefficients du polynôme quotient Q (x).
1
1
2
4.Calculez alors toutes les racines de P(x) et écrivez P(x) sous forme factorisée.
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P. Castelan

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