Première S - Trinôme du second degré

Trinôme du second degré.
Equation du second degré.
I) Trinôme du second degré :
1) Définition
On appelle fonction trinôme du second degré toute fonction définie sur IR
qui peut s’écrire sous la forme :
: ⟼ ²
avec ,
On dit que ² du second degré.
et
réels et
0.
est un polynôme du second degré ou un trinôme
Exemple :
Soit ,
,
et j les fonctions définies sur IR par :
²
,
3 ²– 5 2,
1 3– )
,
3 ²
sont des fonctions polynômes du second degré.
Contre exemples :
définie sur IR par
1 ²– – 1 ²
n’est pas une fonction polynôme du second degré car en simplifiant on trouve
4 .
définie sur IR \ {0} par
définie sur IR par
+
-4
²
1.
ne sont pas non plus des trinômes du second degré.
2) Forme canonique
Soit la fonction définie sur par
un polynôme du second degré.
=
Comme a  0 , pour tout réel , on a =
Or ²
Donc
= =
et enfin =
²
, avec a
0,
²
²
²
²
²
²
Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme .
Exemple 1: Soit
= ²– 3 +
. Ecrire le trinôme
sous forme canonique.
= ²– 3 +
( – )2 –
donc
+
et enfin
( – )2 –
Exemple
2
:
Ecrire
=
²
+ 5
=
1
²
2
+ 5
=
1
2
= 1 ²
²
le
trinôme
donc
1
sous
=
( ²
la
2 forme
canonique :
10) ou encore
et enfin :
10
II Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0
avec a  0 .
1) Discriminant
Le réel ²
² se note ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme :
On a donc . =
∆
²
Exemples :
• Calculer le discriminant de 3 ²– 5 Réponse :
 = (– 5 ) ² – 4 ( 3 ) ( 1)
 = 13
• Calculer le discriminant de ²– 3 Réponse :
1 :
:
=3
1
• Calculer le discriminant de ²
2
Réponse :  = -9
+ 5 :
.
2) Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0
avec a  0 .
Soit ² = ²
un polynôme du second degré (a
son discriminant.
L’existence de solutions pour l’équation ²
polynôme dépendent du signe de  .
0) et
et la factorisation du
Si
>0
Si
=0
Si
<0
l’équation
l’équation
l’équation
² n’admet
² admet ²
admet
deux solutions
une solution unique dans pas de solution dans IR
IR :
distinctes dans IR :
et
√
√
n’est pas factorisable
Le trinôme se factorise de Le trinôme se factorise
en
produit
de facteurs du
de la façon suivante :
la façon suivante :
premier degré à
–
²
– – coefficients réels.
Remarques :
 On appelle racine du polynôme ²
²
 Si le polynôme admet deux racines
leur somme
leur produit P =
x
toute solution de l’équation :
0 .
et
distinctes ou confondues, alors :
–
=
 Lorsque l’équation admet une solution unique
, c’est-à-dire lorsque  = 0 ,
on dit que
est une solution double, car elle a deux fois la même solution et )².
=a( –
Exemples :
Déterminer si les polynômes suivants admettent des racines ;
si oui en donner une factorisation.
1)
2)
3)
4)
5)
²– – 6 ;
5 ²– 40 35;
9 ²– 6 1;
²– 1;
,
²
1
Réponses :
• Pour :
 = 25
le polynôme admet 2 racines – 2 et 3 ,
on a donc :
2 – 3 ;
• Pour
:
Tout d’abord factorisons par 5 :
= 36
le polynôme admet 2 racines : 1 et 7 ,
on a donc :
5 – 1 – 7 ;
• Pour
5
8
7
:
=0
le polynôme admet une racine
on a donc :
= 9 ( –
,
1 2
) ;
3
• Pour j :
=–3
le polynôme n’admet aucune racine dans
et n’est pas factorisable ;
• Pour k :
= ²–4
1 =
2 ²
le polynôme admet une racine si
2 et deux racines si
2