I - Module et argument d`un nombre complexe II

COMPLEXES II
I -
Module et argument d’un nombre complexe
Définition Soit dans le plan complexe un point M d’affixe
z = x + iy, x ∈ IR, y ∈ IR.
p
Alors, OM = x2 + y 2 = zz. Ce nombre, réel
et positif, s’appelle le module du
p nombre complexe z, et est noté |z| = OM = x2 + y 2.
On appelle argument du nombre complexe non
nul z, noté arg(z),
mesure en radians de
toute
−−→
l’angle orienté : ~u, OM .
M(z = x + iy)
y
2
|z
~v
p x2
|=
+
y
arg(z)
O ~u
x
Remarque : Un nombre complexe non nul z a une infinité d’arguement : si θ est un de ces arguments,
alors tous les autres sont de la forme θ + k2π, k ∈ ZZ.
On note arg(z) = θ (modulo 2π), ou arg(z) = θ [2π], ou encore, pour simplifier (mais alors par
abus de langage), arg(z) = θ.
−→
B(zB )
AB(z−−→ = z −z )
AB
−→
Corollaire Soit A(zA ) et B(zB ), alors AB(zB − zA ) et donc,
−→
• AB = kABk = |zB − za |
−→
→ ) = arg(zB − zA ).
• ~u, AB = arg(z−
AB
II -
A(zA )
•
A
−
→|
θ = arg(|z−
AB
= arg(zB −zA )
~u
M(zB −zA )
θ
~v
O
B
~u
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Définition Dans le plan complexe un point M peutêtre repéré par ses coordonnées cartésienne
(x; y), ou son affixe complexe z = x + iy,
ou par ses coordonnées polaires (r; θ), avec
−−→
r = OM et θ = (~u; OM).
On a les relations :
p
(
r = x2 + y 2
x = r cos θ
x
y ⇐⇒
y = r sin θ
cos θ = , sin θ =
r
r
L’affixe z du point M s’écrit alors,
z = r cos θ + i sin θ
Cette écriture est la forme trigonométrique de z.
1
M(z = x + iy)
y = r sin θ
2
2
p x
sin θ
r=
+
y
=
|z |
θ=arg(z)
O
cos θ
x = r cos θ
Propriété Pour tous nombres complexes z et z ′ ,
• arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )
• arg(z n ) = narg(z)
z
• arg ′ = arg(z) − arg(z ′ )
z
Propriété Si a, b, c sont les affixes des points A, B, C distincts, alors :
c−a
~
~
(AB, AC) = arg
b−a
Démonstration :
III -
Exponentielle complexe
On considère la fonction f définie sur IR par f (θ) = cos θ + i sin θ.
Comme les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur IR, f l’est aussi, et,
f ′ (θ) = − sin(θ) + i cos θ = i(i sin θ + cos θ) = if (θ)
De plus, f (0) = cos 0 + i sin 0 = 1.
On en déduit que f est définie de manière unique par l’expression f (θ) = eiθ .
Propriété Pour tout θ ∈ IR, eiθ = cos θ + i sin θ.
Ainsi, tout complexe z s’écrit sous la forme exponentielle complexe :
z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ
où, r = |z| et θ = arg(z).
π
Ex : • ei0 = ei2π = 1
ei 4
3
•
2
• eiπ = −1
π
π
i = ei 2
• ei 2 = i
2π
•
√
3π
π
ei 3 •
3
• ei 2 = −i 4
2
2π
2π
2π
• ei 3 = cos
+ i sin
3√
3
−1 = eiπ•
•
1
3
3
− 12 O
=− +i
1 = ei0
i2π 2
2
2
=
e
√
π
π 3 3
3 2
cos
+ i sin
• + i =
2 2
2
4
4
√
•
3π
3 2 iπ
−i= ei 2
=
e4
2
Propriété Pour tous réels θ et θ′ , et tout entier naturel n,
• |eiθ | = 1, et arg(eiθ ) = θ
eiθ
′
′
′
• eiθ eiθ = ei(θ+θ ) ; iθ′ = ei(θ−θ ) ; eiθ = e−iθ
e
n
• eiθ = einθ (Formule de Moivre), c’est-à-dire, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
2
IV -
Transformations du plan complexe
Soit f une fonction de C dans C. On lui associe la transformation du plan complexe F de la façon
suivante : à M(z) du plan complexe, on associe le point M ′ (z ′ ) tel que M ′ = F (M) selon, z ′ = f (z).
z ′ = f (z) est l’écriture complexe de la transformation F .
M ′ (z ′ = z + b)
•
Propriété (Translation) Soit w
~ un vecteur d’affixe b.
M (z)
w(b)
~
•
La transformation z 7→ z ′ = z + b correspond dans le
plan complexe à une translation de vecteur w.
~
~v
−−−→′ −
→
′
′
z = z + b ⇐⇒ z − z = b ⇐⇒ MM = w
O ~u
Propriété (Homothétie)
Soit Ω un point d’affixe ω et k un nombre réel non
nul, alors la transformation d’écriture complexe
′ = kz )
B ′ (zC
C
•
z ′ − ω = k(z − ω)
•C(zC )
est une homothétie de centre Ω et de rapport k.
−−→
−−→
z ′ − ω = k(z − ω) ⇐⇒ ΩM ′ = k ΩM .
|z ′ − ω| = |k(z − ω)| = |k| |z − ω|, et,
arg(z ′ − ω) = arg(k(z − ω)) = arg(k) + arg(z − ω)
−−→ −−→
• si k > 0, ΩM ′ = kΩM, et ~u, ΩM = ~u, ΩM
−−→
−−→
• si k < 0, ΩM ′ = −kΩM, et ~u, ΩM = π ~u, ΩM
−−→
−−→
En résumé, pout tout réel k non nul, ΩM ′ = k ΩM .
~u~v
A(zA )
O
•
′ •
A′ (zA
= kzA )
•
M ′ (z ′ = eiθ z)
M (z)
•
θ
~v
est une rotation de centre Ω et d’angle θ.
O ~u
′
|z − ω| = |eiθ | |z − ω| = |z − ω|
′
iθ
z − ω = k(z − ω) = e (z − ω) ⇐⇒
arg(z ′ − ω) = arg(eiθ ) + arg(z − ω)
(
ΩM ′ = ΩM
−−→
−−→
⇐⇒
~u, ΩM ′ = θ + ~u, ΩM
Propriété (Similitude, hors programme. . . )
Plus généralement, soit Ω un point du plan d’affixe ω, et k = reiθ un nombre
complexe, alors la transformation d’écriture complexe z ′ − ω = k(z − ω) correspond dans le plan complexe à une similitude, c’est-à-dire à la composition
d’une rotation de centre Ω(ω) et d’angle arg(k) = θ, et d’une homothétie de
centre Ω(ω) et de rapport |k| = r.
3
•
B(zB )
•
Propriété (Rotation)
Soit Ω un point d’affixe Ω et k = eiθ un nombre
complexe de module 1 et d’argument θ, alors la
transformation d’écriture complexe
z ′ − ω = k(z − ω) = eiθ (z − ω)
′ = kz )
B ′ (zB
B