La fiche de cours de M. Haguet

Le cours de M. Haguet
collège des flandres : http://www5.ac-lille.fr/~clgflandres/maths/mathsCOURS.html
Proportionnalité
I) Proportionnalité
a) Définition
° Grandeurs proportionnelles
2 grandeurs sont proportionnelles quand il existe un coefficient multiplicateur qui permet de passer d'une grandeur à l'autre.
Ce coefficient est appelé coefficient de proportionnalité
ex : Le périmètre d'un carré et le côté d'un carré sont 2 grandeurs proportionnelles.
Acarré = 4 × Côté
coefficient de proportionnalité = 4
° Tableau de proportionnalité
Un tableau (2 lignes) est dit de proportionnalité quand il existe un coefficient multiplicateur qui permet de passer d'une ligne à
l'autre.
ex :
ligne1
5
10
0,2
ligne2
30
60
1,2
6
ligne 1
27
6
5
ligne 2
18
4
10
3

2
3
° Quatrième proportionnelle
Considérons un tableau de proportionnalité
La valeur manquante est appelée 4ème proportionnelle
a
c
4ème prop
a
b
4ème prop
c
b
b) Déterminer une quatrième proportionnelle.
° Par combinaison ou multiplication par un nombre
Combinaison :
Dans un tableau de proportionnalité (en lignes ) on peut
additionner 2 colonnes pour en trouver une 3ème
Multiplication par un nombre :
Dans un tableau de proportionnalité (en lignes ) on peut multiplier
une colonne par un nombre en trouver une 2ème
a
Ligne 1
x
y
x+y
Ligne 2
kx
ky
kx+ky
k
Ligne 1
x
ax
Ligne 2
kx
kax
k
k (x + y) = k x + k y
a
° Par passage à l'unité (recherche du coefficient)
Trouver la quatrième proportionnelle correspondant à la valeur 1 revient à déterminer le coefficient de proportionnalité.
Ligne 2
Le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la ligne 1 à la ligne 2 se détermine grâce à la formule :
Ligne 1
exemple : Compléter le tableau de proportionnalité
4
5
10,6
11
1
18,55
2,65
° Produit en croix
Ligne 1
a
c
Ligne 2
b
d
k
c ×b
=d
a
(voir démonstration du prof)
 2,65
c) Représentation graphique d'une situation de proportionnalité
° Propriété
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite passant par l'origine du repère.
Grandeur 1
1
2
3
5
Grandeur 2
k
2k
3k
5k
k
Poids des
tomates
0,6
1,2
prix
1,5
3
 2,5
prix
Grandeur 2
5
2
2k
1
k
poids
Grandeur 1
1
2 3
0,2 0,4
5
1
2
II) Vitesse
Dans un mouvement uniforme ("régulier"), la distance (d) parcourue est proportionnelle au temps (t) mis pour la parcourir.
Le coefficient de proportionnalité est appelé vitesse moyenne
Temps (t) en h
Distance (d) en km
2
0,5
1
150
37,5
75
La vitesse moyenne est de 75 km/h (ou 75 kmh-1)
Formule : Soit d = distance parcourue
75 =
(v)
 75
150 37,5 75
=
=
2
0,5
1
t = temps mis pour la parcourir
 kmh 
v = la vitesse moyenne
d
d
t= )
( Ou d = v ×t ou
t
v
Les unités généralement utilisées pour exprimer une vitesse moyenne sont : km/h et
On a alors : v =
m/s
III) Agrandissement – réduction
Lorsqu'on agrandit ou on réduit une figure géométrique, les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles à à celles de la figure
de départ.
Le coefficient d'agrandissement ou de réduction est aussi appelé échelle
exemple:
Longueurs triangle départ
Longueurs triangle
reproduit
9
8
6
7,2
6,4
4,8
 0,8
Le triangle reproduit est une réduction du triangle de départ à l'échelle 0,8
Formule : l'échelle e d'une reproduction se calcule grâce à la formule e=
longueur reproduite
longueur initiale
et on a : Longueur de la reproduction = e × longueur initiale
si e < 1 , c'est une réduction
si e > 1 , c'est un agrandissement
remarque : Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, les angles sont conservés.
IV) Utiliser ou déterminer un pourcentage
un pourcentage est une situation de proportionnalité
Exemple 1:
Un article qui coûtait 84€ vient de subir une baisse de 15 %.
Quel est son nouveau prix ?
Méthode 1:
Article avant réduction
84
100
Montant de la réduction
12,6
15
 0,15
Sur 84 €, on a une réduction de 12,60 €
Le nouveau prix est donc de 71,40 €
Méthode 2:
Si on a une réduction de 15%, le nouveau prix représente 85% de l'ancien prix
Article avant réduction
84
100
Article après réduction
71,4
85
 0,85
Le nouveau prix est donc de 71,60 €
Exemple 2:
Un article qui coûtait 56 € il y a un mois, coûte aujourd'hui 60,48 €.
de quel pourcentage a-t-il augmenté ?
L'article a augmenté de 4,48 €
Article avant augmentation
56
100
Montant de l'augmentation
4,48
8
L'article a augmenté de 8 %
 0,08