Terminales S Corrigé du DM N°5

Terminales S
Corrigé du DM N°5
Exercice 74 page 426 :
Notons H la variable aléatoire égale à l'heure d'arrivée au rendez-vous, exprimée
sous forme décimale et T la variable aléatoire correspondant à l'heure de départ,
toujours sous forme décimale. On a T = 13 + t, où t suit la loi uniforme sur [0;1],
donc T suit la loi uniforme sur [13;14].
L'heure d'arrivée est
H = T + t + 0,5 = 13,5 + 2t.
Remarque : H suit une loi uniforme, mais il faudrait le montrer, ce qui n'est pas si
évident ; ce serait faux par exemple en remplaçant 2t par t². Il ne faut donc pas
partir du principe que la variable aléatoire étudiée suit une loi uniforme (voir à ce
sujet la variable aléatoire T de l'exercice suivant).
a) P(H15,25) = P(13,5+2t15,25)=P(t0,875)=0,875 (loi uniforme sur [0;1]
b) P(H=15)= P(13,5+2t=15,25)=P(t=0,75)=0 (pour toute loi à densité, P(X=a)=0)
c) P(H>15+9/60)=...=P(t>0,95)=1-P(t0,95)=1-0,95=0,05
d) P(15-6/60<H<15+6/60)=P(14,9<13,5+2t<15,1)=P(1,4<2t<1,6)=P(0,7<t<0,8)=0,1
Exercice 75 page 426 :
Notons X la variable aléatoire correspondant au kilométrage précis du lieu d'un
accident, l'énoncé précise que X suit une loi uniforme.
T est la variable aléatoire correspondant au temps écoulé...
attention : rien ne dit que T suit une loi uniforme, bien au contraire, la question est
posée en fin d'exercice.
1 – La distance la plus courte possible à parcourir par l'ambulance est 0 km,
parcourue en 0 minute, la plus longue est 70 km, parcourue en 42 minutes.
T prend donc ses valeurs dans l'intervalle [0;42].
2 - Notons D la distance (en km) à parcourir par l'ambulance,
D = X – 30 si X  30 et D = 30 – X si X  30
P (T >30)=P (D> 50)=P( X >80)=
a)
100−80 20
=
100
100
b) P (T >9)=P ( D>15)=P ((30−X >15)∩( X ≤30))+ P(( X −30>15)∩( X >30))
d'où P (T >9)=P (0≤X ≤15)+P (45≤X ≤100)=
15 55
70
+
=
100 100 100
3 – On procède comme à la question précédente : si D > 30, il y a un seul cas à
envisager, dans le cas contraire, le lieu de l'accident peut se situer avant ou après
la station d'ambulance.
Or D = 30 ⇔ T = 18
Si t > 18 alors en utilisant l'égalité
5
D= T on obtient :
3
5
5
5
P (T >t)=P ( D> t)=P ( X −30> t )=P ( X >30+ t )
3
3
3
d'où
5
5
100−(30+ t ) 70− t
3
3
5
1
P (T > t)=
=
=0,7−
t=0,7− t
100
100
300
60
Si t  18 obtient :
5
5
5
P (T >t)=P ( D> t)=P ((30−X > t )∩( X ≤30))+P (( X −30> t )∩( X > 30))
3
3
3
soit
5
5
30− t 70− t
5
5
3
3
10
1
P (T > t)=P ( X < 30− t )+ P ( X >30+ t )=
+
=1−
t =1− t
3
3
100
100
300
30
4 – Les distances à parcourir inférieures à 30 km sont plus fréquentes que les
autres, T ne suis donc pas une loi uniforme.
Prouvons le par un exemple, en utilisant ce qui précède :
P (T >21)=0,7−
1
×21=0,35 on en déduit
60
P (T <21)=1−0,35=0,65
si T suivant une loi uniforme ces deux probabilités seraient égales puisque 21 est le
milieu de l'intervalle [0;42].