Exemples de lois à densité I Loi uniforme II Loi exponentielle
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Exemples de lois à densité I Loi uniforme II Loi exponentielle
Exemples de lois à densité Nous allons dans ce chapitre faire connaissance avec un certain nombre de lois à densité fondamentales de la théorie des probabilités. I Loi uniforme Définition 1 Soient a < b deux réels. On dit que la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle admet la densité 1 1I (x). b − a [a,b] On notera X ∼ U([a, b]). Proposition 1 Si X ∼ U([a, b]), on a E(X) = a+b 2 et (b − a)2 . 12 Une propriété intéressante de la loi uniforme est qu’elle permet de fabriquer des variables aléatoires suivant d’autres lois. On a par exemple le résultat suivant Var(X) = Proposition 2 Soit F la fonction de répartition d’une loi de probabilités. On suppose que F est continue et strictement croissante (elle définit donc une bijection de IR sur [0, 1]. Posons G = F −1 . Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. On considère la variable aléatoire X = G(U ). Alors X suit la loi dont F est la fonction de répartition. II Loi exponentielle Considérons le problème suivant : soit X une variable aléatoire positive vérifiant la propriété ∀x > 0, ∀h ≥ 0, P (X > x + h/X > x) = P (X > h). Cette propriété modélise le fait que X ne possède pas de mémoire. Cherchons quelles sont les lois qui satisfont à cette propriété. Pour cela on pose G(x) = P (X > x). On a alors (∗) G(x + h) = G(x)G(h), ∀x > 0, ∀h > 0. Lemme 1 Si G vérifie (*), il existe λ > 0 tel que G(x) = e−λx , ∀x > 0. On a alors la définition suivante Définition 2 On appelle loi exponentielle de paramètre λ > 0 la loi de densité λe−λx 1Ix>0 . Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ, on note X ∼ E(λ). 1 1 et Var(X) = 2 . λ λ Une proposition intéressante est la suivante Proposition 3 Si X ∼ E(λ), on a E(X) = Proposition 4 Soient X ∼ E(λ) et Y ∼ E(µ) indépendantes. On pose Z = min(X, Y ). Alors Z ∼ E(λ + µ). 1 III Loi normale ou gaussienne Définition 3 On dit qu’une variable aléatoire réelle suit la loi gaussienne ou normale centrée réduite si X admet la densité sur IR x2 1 √ e− 2 2π On note alors X ∼ N (0, 1). Nous verrons lors du prochain cours comment la loi normale apparaît de façon naturelle comme satisfaisant à certaines propriétés structurelles. Proposition 5 Si X ∼ N (0, 1), on a E(X) = 0 et Var(X) = 1. On étend alors la définition de la façon suivante Définition 4 On dit que Y suit la loi normale d’espérance m et de variance σ 2 > 0 si X= Y −m ∼ N (0, 1). σ On note alors Y ∼ N (m, σ 2 ). On a évidemment alors E(Y ) = m et Var(Y ) = σ 2 . On a Proposition 6 Si X ∼ N (m, σ 2 ) et Y ∼ N (m0 , σ 02 ) sont indépendantes, alors X + Y ∼ N (m + m0 , σ 2 + σ 02 ). 2