Lignes de niveau
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1 Lignes de niveau Exercice 1 [ 01912 ] [Correction] Soient A, B des points et ~u, ~v des vecteurs distincts. −−→ −−→ Déterminer les points M tel que AM · ~u = BM · ~v. Exercice 2 [ 01915 ] [Correction] Soient A, B deux points et ~u un vecteur non nul. Déterminer les points M tels que : −−→ −−→ −−→ −−→ (a) ~u · AM + ~u · BM = 0 b) det(~u, AM) + det(~u, BM) = 0. Exercice 3 [ 01586 ] [Correction] Soient a, b ∈ C distincts, λ > 0 et n ∈ N∗ . Montrer que les racines de l’équation (z − a)n = λ(z − b)n sont alignés ou cocycliques Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Corrections 2 Corrections Exercice 1 : [énoncé] −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ AM · ~u = BM · ~v ⇐⇒ AM · (~u − ~v) = BA · ~v. Posons λ = BA · ~v. Le lieu des points M est une droite orthogonale à ~u − ~v. Exercice 2 : [énoncé] Introduisons I = m[A ; B]. −−→ −−→ −−→ (a) ~u · AM + ~u · BM = 2~u · I M = 0 ⇐⇒ M appartient à la droite passant par I dont ~u est vecteur normal. −−→ −−→ −−→ (b) det(~u, AM) + det(~u, BM) = 2 det(~u, I M) = 0 ⇐⇒ M appartient à la droite passant par I et dirigée par ~u. Exercice 3 : [énoncé] Une racine z de l’équation étudiée vérifie |z − a| = µ |z − b| √n avec µ = λ. On reconnaît ici une ligne de niveau du type MA = µMB avec µ > 0 et A, B distincts. Cette ligne de niveau est la médiatrice du segment [A ; B] quand µ = 1 ou un cercle quand µ , 1. On en déduit que les racines de l’équation étudiée sont alignées ou cocycliques. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD