7 Le Premier principe de la thermodynamique

Chaleur
Le premier principe
7
Le Premier principe de la thermodynamique
7.1
L’équivalent mécanique de la chaleur
Définition de la chaleur:
La chaleur est un transfert d’énergie entre deux corps résultant de leur différence de température.
Contrairement à la chaleur, le travail est un mode de transfert d’énergie qui n’est pas lié à une
différence de température, mais au déplacement du point d’application d’une force. Le frottement
d’une corde sur un tambour élève la température de ce dernier. Il y a transformation d’énergie sous
la forme du passage d’un travail mécanique en chaleur.
7.2
Le travail en thermodynamique
La thermodynamique étudie le travail effectué par un système et la chaleur qu’il échange avec le
milieu environnant ou extérieur. Elle s’intéresse surtout au : travail effectué par un système sur
son environnement ou sur le système par l’environnement, et non aux échanges énergétiques entre
les différents éléments du système. En conséquence, les limites d’un système donné doivent être
parfaitement définies.
Il existe en thermodynamique une notion très utile qui est celle de réservoir thermique. Il s’agit
d’un corps dont la capacité thermique est à ce point considérable que des quantités importantes de
chaleur peuvent y pénétrer ou en sortir sans modifier sa température de manière significative. Un
grand lac ou l’atmosphère sont des exemples courants de réservoirs thermiques. Dans un moteur à
vapeur, une chaudière maintenue à température constante par un foyer sert de réservoir thermique.
La figure représente un gaz confiné dans un cylindre par un poids
posé sur un piston mobile. Le gaz forme le système, alors que
le cylindre et le piston constituent le milieu environnant. Si on
laisse le piston se déplacer vers le haut (le Dx apparaissant dans
la figure), le gaz se dilate et accomplit un travail sur le piston.
Pour calculer le travail effectué par le gaz, on suppose que le
processus est quasi statique. Dans un processus quasi statique,
les variables thermodynamiques (P, V, T, n, etc.) du système et de
son milieu environnant varient extrêmement lentement ou restent
constantes. Le système est donc toujours arbitrairement proche
d’un état d’équilibre.
��
�
Pour faire en sorte que le piston se déplace très lentement, il doit y avoir une force, fournie par
exemple par un poids, orientée dans le sens opposé à la force exercée par la pression.
19
Chaleur
Le premier principe
Lorsque le piston subit un déplacement infinitésimal dx vers le haut, le travail dW accompli par le
gaz sur le piston est dW = F dx = (PA)dx, où A est l’aire de la section transversale du piston. Puisque
la variation de volume du gaz est dV = A dx, on peut exprimer le travail durant ce déplacement
infinitésimal sous la forme :
�
(quasi statique)
dW = P dV
�
��
Durant le déroulement d’un processus quasi statique, P et V sont
toujours définis de manière unique. Cela nous permet de décrire
�
le processus sur un diagramme, PV (figure). Lorsque le système
��
passe de façon quasi statique d’un état d’équilibre i à un autre état
d’équilibre f, le travail total accompli par le système est
��
��
�
Vf
W = ò PdV
Vi
Le travail est représenté par l’aire située sous la courbe. Si Vf > Vi, le travail accompli par le gaz
est positif. Si le volume diminue, le travail accompli par le gaz est négatif, ce qu’on peut interpréter
comme un travail positif accompli sur le gaz par le milieu environnant. Le travail accompli dépend
non seulement des états initial et final mais aussi des conditions qui caractérisent le processus, c’està-dire du parcours thermodynamique entre les états. Nous avons donc besoin de savoir comment
varie la pression en fonction du volume.
7.3
Processus isobare
Dans une transformation isobare, la dilatation ou la compression se produisent à pression constante,
c’est-à-dire W = ò PdV = P ò dV ; où
�
�
W = P(V f -Vi )
(isobare)
��
Supposons que l’on veuille calculer le travail accompli lorsque le
système passe d’un état d’équilibre i à un autre état d’équilibre f.
Considérons le trajet iaf . Sur le segment ia, on réduit la pression du
gaz à volume constant en le refroidissant. Puisque dV = O, aucun
travail n’est accompli dans ce segment. Sur le segment af, le gaz
se dilate à pression constante et le travail total accompli par le gaz
est donc
�
�
��
��
��
�
Wiaf = Wia +Waf
= 0 + Pf (V f -Vi )
On pourrait aussi choisir le parcours ibf. Le gaz se dilate d’abord
à pression constante Pi, puis sa pression diminue jusqu’à Pf.
Le segment bf ne fait intervenir aucun travail, alors que ib fait
intervenir un travail. Le travail total accompli par le gaz est
Wibf = Wib +Wbf
= Pi (V f -Vi ) + 0
�
��
��
�
�
�
��
��
�
On voit ainsi que le travail accompli par un système dépend des
conditions dans lesquelles se déroule le processus qui le fait passer d’un état d’équilibre à l’autre.
On ne peut donc pas parler de « travail du système ». Dans les deux processus décrits ci-dessus, le
système échange de la chaleur avec le milieu environnant et sa température varie. La quantité de
20
Chaleur
Le premier principe
chaleur transmise au système ou par le système dépend également du parcours thermodynamique.
Considérons un gaz parfait confiné dans un cylindre par un piston. Les parois du cylindre sont isolées
mais sa base est en contact thermique avec un réservoir thermique à la température T. Si on laisse
le piston remonter lentement, le gaz va accomplir un travail et absorber de la chaleur provenant
du réservoir thermique. Pour être plus précis, supposons que le volume final soit le double du
volume initial. Considérons maintenant le gaz confiné dans une partie du récipient par une mince
membrane. Sa température initiale et son volume initial sont les mêmes que précédemment. Les
parois du récipient sont thermiquement isolées. Si l’on perce la membrane, le gaz se détend sans
accomplir de travail. C’est ce que l’on appelle une détente libre. On vérifie expérimentalement
que la température d’un gaz parfait ne varie pas lors d’une telle détente. L’état final dans ce cas
est le même que dans la détente quasi statique précédente, mais aucune quantité de chaleur n’a été
échangée avec le milieu environnant. Ces deux cas nous montrent que, pour des états d’équilibre
initial et final donnés, la quantité de chaleur transmise au système (ou par le système) dépend du
parcours thermodynamique choisi. C’est pourquoi on ne peut pas parler de la « chaleur contenue
dans un système ».
7.4
Processus isotherme (gaz parfait)
Dans une transformation isotherme, le système est maintenu en contact avec un réservoir
thermique à la température T. Le parcours suivi sur le diagramme PV durant la détente du système
à température constante est appelé une isotherme. Une détente quasi statique va faire passer le
système de l’état i à l’état f le long d’une isotherme. Pour calculer l’intégrale, nous avons besoin de
savoir comment varie la pression en fonction du volume. Dans le cas particulier d’un gaz parfait,
nous savons PV=nRT donc que P=nRT/V. Comme T est constant, on peut le sortir de l’intégrale:
(isotherme, gaz parfait)
Vf
W = nRT ò
Vi
dV
V
æV f ö
W = nRT lnç ÷
è Vi ø
Le travail dépend du rapport entre le volume final et le volume
initial.
�
��
�
�
��
��
��
�
Exemple
Trois moles d’hélium sont initialement à 20°C et à une pression de 1 atm. Quel est le travail
accompli par le gaz si on double le volume (a) à pression constante; (b) de manière isotherme ?
(c) Quelle est la température finale du gaz dans la question (a) ? Dans ce problème, on considère
l’hélium comme un gaz parfait.
7.5
Le premier principe de la thermodynamique
Considérons un système composé d’un gaz enfermé dans un cylindre par un piston. Supposons que
le système passe dans des conditions quasi statiques d’un état initial caractérisé par Pi, Vi, Ti à un
état final caractérisé par Pf, Vf, Tf. On laisse le système atteindre l’équilibre avec des réservoirs
thermiques successifs dont les températures sont légèrement différentes. À chaque étape, on mesure
le travail accompli et la chaleur échangée. On s’aperçoit que le travail total W accompli et la chaleur
totale Q transmise au système ou fournie par le système dépendent du parcours thermodynamique.
Pourtant, la différence Q-W est la même pour tous les parcours entre les états d’équilibre initial et
final donnés. Cette caractéristique nous permet de définir une nouvelle fonction U, appelée énergie
21
Chaleur
Le premier principe
interne du système, telle que la variation d’énergie interne du système soit
DU = Q -W
Dans cette définition, Q est comptée positivement lorsque la chaleur est fournie au système et W
positivement lorsque le travail est effectué par le système sur le milieu environnant. Cette équation
traduit le premier principe de la thermodynamique, dont l’énoncé est le suivant: l’énergie interne
d’un système varie lorsqu’un travail est effectué au profit du système (ou par lui) et lorsque le
système échange de la chaleur avec le milieu environnant. Notons que nous ne pouvons définir
que la variation d’énergie interne. Le premier principe est valable pour toutes les transformations,
qu’elles soient quasi statiques ou non. Toutefois, en présence de frottements, ou si la transformation
n’est pas quasi statique, l’énergie interne U est définie uniquement pour les états d’équilibre initial
et final.
7.6
Applications du premier principe
Nous allons maintenant appliquer le premier principe de la thermodynamique à quelques cas
simples.
(a) Système isolé
Considérons tout d’abord un système isolé pour lequel il n’y a pas d’échange de chaleur ni de travail
accompli sur le milieu extérieur. Dans ce cas, Q=0 et W=0, et le premier principe nous permet de
conclure
(système isolé)
DU =0 ou U = constante
L’énergie interne d’un système isolé est constante.
(b) Processus cyclique
Les moteurs fonctionnent par cycles durant lesquels le système, �
un gaz par exemple, revient périodiquement à son état initial. À
la figure, le système passe de l’état a à l’état b en suivant le trajet
I pour lequel W1>0, puis revient à son état initial par le trajet II,
pour lequel WII<0. Le travail total effectué par le système est égal à
l’aire comprise à l’intérieur de la courbe. Le travail total est positif
si le parcours est effectué dans le sens horaire. Comme le système
revient à son état initial, la variation d’énergie interne durant un
cycle complet est nulle, c’est-à-dire que DU = 0. D’après le premier
principe,
(cyclique)
�
�
��
�
�
Q=W
Le travail total effectué par le système durant chaque cycle, W = WI + WII’ est égal à la quantité de
chaleur absorbée par cycle. Ce résultat est important, par exemple pour l’étude des moteurs à vapeur
et des moteurs diesel, car l’apport de chaleur y sert à accomplir un travail mécanique.
(c) Processus isochore (à volume constant)
Dans un processus isochore, le volume du système demeure constant; par conséquent, W= 0. Le
premier principe donne alors
(volume constant)
22
DU = Q
Chaleur
Le premier principe
Toute la chaleur fournie au système sert à augmenter l’énergie interne.
(d) Processus adiabatique
Dans un processus adiabatique, le système n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur, c’està-dire que Q=0. Ce type de transformation peut être réalisé de deux manières. Premièrement, on
peut enfermer le système dans un contenant isolé thermiquement. Deuxièmement, le processus peut
se produire si rapidement que l’intervalle de temps est insuffisant pour qu’une quantité appréciable
de chaleur soit échangée avec le milieu environnant. Ainsi, la phase de compression rapide dans
un moteur diesel est pratiquement adiabatique. Pour un processus adiabatique, le premier principe
prend la forme
(adiabatique)
DU=-W
Lorsqu’un gaz se détend en poussant un piston, le gaz accomplit un travail positif. Dans une
détente adiabatique, l’énergie interne diminue, ce qui se manifeste en général par une baisse
de la température. À l’inverse, lorsqu’un gaz est comprimé de façon adiabatique, son énergie
interne augmente et la température s’élève. C’est ce qui se produit lorsqu’on se sert d’une pompe
à bicyclette. Dans un moteur diesel, le volume du mélange air-combustible diminue rapidement
selon un facteur voisin de 15. L’élévation de température est si grande qu’elle provoque l’allumage
spontané du mélange.
(e) Détente libre adiabatique
Nous allons maintenant examiner ce qui se passe lorsqu’on
laisse un gaz se détendre de manière adiabatique sans accomplir
de travail. La figure représente deux ballons reliés par un tuyau
muni d’un robinet. Initialement, un des ballons est rempli de gaz
alors que l’autre est vide. Le système est isolé thermiquement,
c’est-à-dire que Q = 0. Lorsqu’on ouvre le robinet, le gaz se
détend rapidement pour remplir le deuxième ballon. Cette
détente n’est pas quasi statique et ne peut être représentée sur un diagramme PV: Puisque le gaz
ne se détend pas en poussant un piston, il n’effectue aucun travail et W = 0. D’après le premier
principe, on peut conclure que
(détente libre adiabatique) DU = 0
Dans une détente libre adiabatique, l’énergie interne d’un gaz ne varie pas.
Lorsqu’un gaz réel se comporte comme un gaz parfait, il n’y a pas de variation de température lors
d’une détente libre adiabatique. On peut en conclure que l’énergie interne d’une quantité donnée
d’un gaz parfait dépend uniquement de la température, et non de la pression ni du volume. Des
expériences précises montrent une légère variation de la température pour un gaz réel à haute pression et à basse température. Cela nous indique que l’énergie interne d’un gaz réel est également
fonction de la pression ou du volume.
Exemple
Un cylindre muni d’un piston contient 0,2 kg d’eau à 100°C. Quelle est la variation d’énergie
interne de l’eau lorsqu’elle est convertie en vapeur à 100°C sous une pression constante de 1 atm ?
La masse volumique de l’eau est rl = 103 kg/m3 et celle de la vapeur est rv = 0,6 kg/m3. La chaleur
latente de vaporisation de l’eau est LV = 2, 26×106 J / kg .
23
Chaleur
Le premier principe
7.7
Exercices
7.1 On actionne les freins d’une automobile de 1200 kg roulant à 100 km/h jusqu’à ce qu’elle
s’arrête. (a) Quelle est la quantité d’énergie cinétique perdue ? (b) Si 60% de cette énergie
apparaissent dans les tambours de freins en acier, de masse totale 10 kg, quelle est l’élévation
de température dans les tambours ?
7.2 La tête d’un marteau, de 0,5 kg, frappe 15 fois à 2 m/s un clou en acier de 6 g. On suppose que
20% de l’énergie cinétique du marteau servent à élever la température du clou. Quelle est
l’élévation de température du clou ?
7.3 Une balle en plomb de 20 g à 30°C se déplaçant à 350 m/s s’enfonce dans un bloc de bois. (a)
Si 70% de l’énergie cinétique initiale se transforment en énergie interne de la balle, quelle est
sa température finale ? (b) Va-t-elle fondre en partie ? Si oui, de combien ?
7.4 Cinq kilogrammes de grenaille de plomb tombent d’une hauteur de 40 m dans 50 kg d’eau.
Évaluez l’élévation de température de l’eau. On suppose que le plomb et l’eau sont initialement
à la même température et que 80% de l’ énergie cinétique de la grenaille servent à chauffer
l’eau.
7.5 Un kilogramme d’eau à 0°C et à 1 atm gèle pour donner de la glace à la même température. Quel
est le travail effectué par l’eau ? La masse volumique du liquide est égale à 1000 kg/m3 et celle
de la glace à 920 kg/m3.
7.6 Un échantillon de gaz a un volume de 5 L et une pression de 1200 hPa. À cette pression constante,
quel est le travail effectué par le gaz si le volume (a) double; (b) diminue de moitié?
7.7 Un gaz parfait se détend à une pression constante de 1200 �������
hPa de a à b (figure). On le comprime ensuite de façon
isotherme jusqu’au point c où son volume vaut 40 L.
Déterminez le travail effectué par le gaz durant (a) la ���
détente; (b) la compression.
���
�
7.8 Un système absorbe 35 J de chaleur et accomplit un travail
���
�
�
de 11 J au cours du processus. (a) Si l’énergie interne
initiale vaut 250 J, quelle est l’énergie interne finale ? (b)
�����
��
��
��
Le système suit un parcours thermodynamique différent
jusqu’au même état final et accomplit un travail de 15 J; quelle est la chaleur transférée ?
7.9 Un gaz soumis à une compression de 1,2 L à 0,8 L sous une pression constante de 0,4 atm
absorbe 400 J de chaleur. Déterminez: (a) le travail effectué par le gaz ; (b) la variation de son
énergie interne.
7.10 Un gaz est enfermé dans un cylindre vertical par un piston de masse 2 kg et de rayon 1 cm.
Lorsqu’on ajoute 5 J de chaleur, le piston s’élève de 2,4 cm. Déterminez: (a) le travail effectué
par le gaz ; (b) la variation de son énergie interne. La pression atmosphérique est égale à
105 Pa.
�������
7.11 Un gaz est soumis au processus cyclique décrit à la
figure. Au cours du processus abc, le système absorbe
���
4500 J de chaleur. L’énergie interne en a et Ua = 600 J.
(a) Déterminez Uc. La chaleur absorbée durant le cycle
complet est égale à 1000 J. Pour le processus allant de c à ��
a, trouvez (b) le travail effectué par le gaz ; (c) le transfert
de chaleur.
�
��
24
�
�
��
��
�����
Chaleur
La théorie cinétique
7.12 Lorsqu’un gaz est soumis à un processus représenté par la ligne droite de a à c, le système
reçoit 180 J de chaleur. ( a) Déterminez le travail effectué de a à c. (b) Si Ua = 100 J, trouvez
Uc. (c) Quel est le travail effectué par le gaz lorsqu’il revient à a en passant par b ? (d) Quelle
est la chaleur transmise au cours du processus cba ?
�������
�
���
���
�
�
�
25
�
�����