Détente de Joule et Gay-Lussac d`un gaz de Clausius

Chapitre 9– Exercice 7
Détente de Joule et Gay-Lussac d’un gaz de Clausius
1. On sait que (cf. chapitre 8) :
∂p
∂T
d U = Cv d T + (l − p) d V = Cv d T + T
Comme p = RT/(V − b) − a/(TV ) , on en tire :
− p dV
V
2
∂p ∂T
=
V
R
a
+ 2 2
V −b
T V
Ainsi :
d U = Cv d T +
2a
dV
TV 2
l=T
soit
∂Cv
∂V
d’où
=
∂p ∂T
T
∂
∂T
=p+
V
2a
TV 2
V
2a
TV 2
=−
2a
T 2V 2
En intégrant par rapport à V , on trouve l’expression de Cv :
Cv =
2a
+ f(T)
T 2V
où f(T) désigne la constante d’intégration qui dépend de T . On détermine cette fonction en passant à la limite :
Cv ≈ C0 pour 1/V ≈ 0 . Par conséquent f = C0 et :
Cv =
∂U
∂T
V
=
2a
+ C0
T 2V
En intégrant une seconde fois par rapport à la température, on trouve :
U=−
2a
+ C0 T + c(V)
TV
c(V) étant la constante d’intégration. Pour obtenir cette fonction, il suffit de dériver par rapport à V et d’identifier
à 2a/(TV 2 ) :
∂U 2a
2a
dc
=
=
+
∂V V
TV 2
dV
TV 2
Par conséquent c(V) = Cte et :
U = C0 T −
2a
+ U0
TV
U0 étant une constante.
2. a) Le gaz est enfermé dans une enceinte adiabatique à deux compartiments qui peuvent communiquer par
un robinet, le premier de volume V1 et le second de volume (V2 − V1 ) . En ouvrant le robinet, le gaz, initialement
dans le premier compartiment, se détend dans le vide jusqu’au volume final V2 . La détente se fait sans échange
d’énergie : elle est isoénergétique.
b) Le bilan énergétique s’écrit :
DU = 0 = C0 (T2 − T1 ) − 2a
1
1
−
V2 T 2
V1 T 1
On sait que pour un gaz parfait la détente se produit sans variation de température ; compte tenu des termes correctifs
faibles, on peut admettre que T2 ≈ T1 . Par conséquent :
2a
DT ≈ −
C0 T 1
1
1
−
V1
V2
=−
2 × 100
(100 − 50) = −1, 17 K
28, 5 × 300