Mécanique Hydropulseur

T SSI
Travaux Pratiques en Sciences de l’Ingénieur
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Etude du comportement de la chaine d’énergie de l’Hydropulseur (Jet dentaire)
BRAUN MD 31.
Pompe à
piston
Ensemble sans
boîtier protecteur
TP
1
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Avant Propos
Ce document d’étude et les documents qui l’accompagnent sont destinés à
l’élaboration de travaux pratiques en sciences de l’ingénieur de la seconde à la
CPGE.
Ces contenus constituent des ressources utiles pour le professeur sciences de
l’ingénieur qui peut extraire certains résultats, formules et modélisations
informatiques afin de proposer des problématiques pertinentes à l’élève pour
atteindre les objectifs pédagogiques.
Sommaire
Présentation _______________________________________________________________ 3
Description de l’appareil _____________________________________________________ 3
Support mural______________________________________________________________ 3
Commutateur ______________________________________________________________ 4
Modélisation _______________________________________________________________ 4
Schéma cinématique du mécanisme________________________________________________ 5
Géométrie et paramétrage _______________________________________________________ 5
Réducteur à engrenage __________________________________________________________ 5
Effort du fluide sur le piston lors du refoulement ____________________________________ 6
Vitesse du piston _______________________________________________________________ 6
Relation Force couple ___________________________________________________________ 6
Equation du mouvement (refoulement : F >0) _______________________________________ 7
Simulation du modèle sous Cosmosmotion_______________________________________ 8
Résultats _____________________________________________________________________ 10
TP
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Présentation
L’hydropulseur Braun Oral-B MD 31 débarrasse les interstices dentaires des résidus
alimentaires, et effectue un massage efficace des gencives.
Caractéristiques techniques :
Tension : 220-240 Volts tension alternative, 50/60
Hz
Consommation : 17 Watts (possibilité de
branchement sur prise rasoir)
Temps d’utilisation maximum : 20 minutes
Temps de refroidissement : 2 heures
Contenance : environ 500 cm3
La fréquence du jet est réglable électroniquement
de 500 à 1050 pulsations par minute.
Description de l’appareil
Réglage de la pression
Corps de l’appareil
Réservoir
Couvercle
Commutateur magnétique
Poignée (sur laquelle on fixe un embout)
2 embouts emboîtables avec repères de couleur
Support
Adhésif
Support mural destiné à l’appareil
Support mural
La partie protégée contre les projections d’eau doit
être fixée de telle façon qu’elle ne puisse pas
tomber dans l’eau.
L’hydropulseur Braun-Oral B MD 31 est livré avec
un support destiné à l’appareil . Pour le montage, utilisez des vis tête ronde 30 x
3,5 mm avec les chevilles correspondantes (a). Glissez simplement l’appareil par le
haut sur son support.
Le support réservé aux embouts , peut être fixé au moyen de l’adhésif double
faces . Nettoyez soigneusement la surface choisie avec de l’alcool. Retirez la
pellicule de protection de l’une des faces de l’adhésif (b) et appliquez la face collante
au dos du support. Retirez ensuite la pellicule de protection de l’autre face de
l’adhésif (c) et appliquez le support sur la surface choisie en pressant fortement.
Laissez passer environ 12 heures avant de placer les embouts dans leurs supports
(vous obtiendrez ainsi un collage très résistant).
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Commutateur
Le commutateur magnétique permet la mise en marche et l’arrêt de l’appareil :
Arrêt :
commutateur sous la flèche
Marche :
pousser le commutateur vers le haut au-dessus de la flèche
Le réglage électronique de la pression est progressif :
Faible = 2, forte = 8.
Modélisation
Le système de pompage qui nous intéresse plus particulièrement utilise un système
de transformation de mouvement : Le système bielle manivelle ou excentrique. Le
pompage est effectué par les allers-retours d’un piston et d’un système de deux
clapets à billes unidirectionnels.
Une représentation normalisée en phase d’admission en est donnée figure 1.
Piston
Bielle
Manivelle
Joint
Emplacement
Moteur 12V
Figure 1
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Schéma cinématique du mécanisme : figure 2
B
O
A
Géométrie et paramétrage : figure 3
B
θ
β
y
O
x
A
Unités S.I.
AB = L=30,5.10-3
OA = e = 3,5. 10-3
OB = x
L sin β = e sinθ
x = −e cos θ − L cos β
Réducteur à engrenage
Pignon : Zp = 12
Roue : Zr = 104
Cr
k’
J
Réduction : k ' =
Zr
Zp
Cr Cmot
Equation du moment dynamique de l’axe du moteur: J.θ&& =
+
k '²
k'
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Effort du fluide sur le piston lors du refoulement
Vo
Po
So
Vp
P
Sp
Fuide incompressible : SoVo = SpVp
Régime laminaire : Po+ρVo²/2=P+ρVp²/2
Force sur le piston : F =-P Sp
En pressions relatives on obtient
1
 Sp ² 
F = − ρ Sp Vp ²
− 1 = KVp ²,
2
 So ² 
Application numérique (SI):
Sp = π(7,3.10-3/2)²
So = π(1.10-3/2)²
ρ = 1000
K = 59,4 (S.I.)
K ∈ R +*
Vitesse du piston
On pose λ =
L
e

sin 2θ
Vp = x& = eθ& sin θ +
2 λ ² − sin ²θ




Relation Force couple
− e cos θ
F
0
r r
C = OA ∧ F '+Cf = − e sinθ ∧ F tan β + 0
0
0
Cf est un couple de frottement
Cf
supposé constant.
C = −eF cos θ tan β + eF sinθ +Cf
cos θ


C = eF sinθ 1 −
 +Cf
λ ² − sin ²θ 

TP
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Equation du mouvement (refoulement : F >0)

Cf Cmot
1 3 &
cos θ
J.θ&& −
−
=
e Kθ ² sin θ 1 −
k '²
k'
k '²
λ ² − sin ²θ


sin 2θ
 sin θ +
2 λ ² − sin ²θ




2
Hypothèse : La vitesse de rotation est constante, ce qui revient à supposer que J a
une valeur suffisante pour négliger l’accélération angulaire.
On peut alors tracer Cmot(θ) si on a une valeur de Cf :
Couple moteur (refoulement)
7,00E-03
6,00E-03
Couple (Nm)
5,00E-03
4,00E-03
3,00E-03
2,00E-03
1,00E-03
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0,00E+00
Angle t (°)
Le modèle conventionnel du moteur à courant continu est :
k
Cmot = ηk 2I =η 2 U − k 1k 'θ& , ce qui suppose que le couple est constant si la
R
vitesse est constante. (Valeurs et notations précisées plus loin)
(
)
L’hypothèse de vitesse constante n’est donc pas applicable pour étudier le couple
moteur en détail. On verra plus loin que ces valeurs ne sont pas correctes.
Il faut donc résoudre l’équation différentielle (non linéaire du deuxième ordre) du
mouvement pour étudier plus en détail le comportement du système.
Des solutions numériques peuvent être trouvées en utilisant CosmosMotion avec des
conditions dépendantes des résultats en vitesse et position.
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Simulation du modèle sous Cosmosmotion
Constantes mécaniques
Accélération gravitationnelle
Pression atmosphérique
Masse vol, liquide
Diamètre piston
Diamètre orifice sortie
Diamètre orifice entrée
ξ total
Longueur tube de sortie
Diamètre tubulure de sortie
Course
excentrique e
longueur bielle L
Pulsations
Z roue
Z pignon
Réduction k'
Vitesse moteur
Puissance hydraulique
Puissance utile moyenne
Couple moteur moyen
Débit moyen
couple de frottement
9,81
101300
1000
7,3
1
2,5
10
600
1,5
7
3,5
30,5
1050
104
12
8,67
m/s²
Pa
kg/m3
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
/min
dents
dents
Section
Section
Section
41,85 mm²
0,79 mm²
4,91 mm²
Section
1,77 mm²
1/λ = e/L
ω roue =
0,11
ω moteur =
tr/min
W
W
Nmm
l/min
2,51 Nmm
rad/s
rad/s
Constantes électriques
Fréquence du courant moteur
résistance de l'enroulement R
Rendement de conversion
électromécanique η
facteur k ( Emoy =k x N mot)
Hz
5 Ohm
0,64
0,0012 V/tr/min
facteur k1 ( Emoy=k1 x Ωmot)
0,0112 V/rad/s
facteur k2 ( Cmot = k2 x Imot)
Inductance (effet négligeable)
Puissance électromagnétique
Courant moyen dans l'induit
Pertes joules
Puissance absorbée moteur
Tension d'alimentation
Tension moyenne moteur U
Rapport cyclique
Fréquence du hacheur
0,0112 Nm /A
0,3 mH
W
A
W
W
22,8 V
12,94 V
0,57
10,3 KHz
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Force fluide :
compléter l’expression de la force :
ou Vx est la vitesse de translation relative suivant x en mm/s du marqueur 4 par
rapport au marqueur 3.
On trouve ces marqueurs en cliquant
interesse :
puis en choisissant la liaison qui nous
La condition IF affecte 0 à Vx si Vx<0 et KVp² si Vx>0 et 0 si Vx=0.
Couple moteur :
Compléter l’expression du couple :
0.64*0.0112/5*(12.94-0.0112*WZ(13,14))*1000 ou WZ est la vitesse de rotation en
rad/s ( !?) du rotor par rapport au bâti et les marqueurs sont trouvés comme
précédemment.
Le facteur 1000 donne les Nmm requis par le logiciel.
Couple de frottement :
: On affecte 2,51 Nmm à l’arbre moteur
(attention au sens opposé au couple moteur à imposer, ou utiliser la friction dans le
pivot)
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Résultats
Le régime transitoire du démarrage peut s’étudier sur 0,3 s avec toutes les conditions
initiales nulles.
Le régime stabilisé peut s’obtenir en affectant une vitesse initiale au moteur, celle
vers laquelle tend le régime transitoire ! ( 55000 °/s ici)
Solution transitoire du couple moteur :
Moment - Amp (newton-mm)
18,55
16,00
13,45
10,90
8,36
5,81
3,26
0,00 0,02 0,05 0,07 0,10 0,12 0,15 0,17 0,20 0,22 0,25 0,27 0,30
Temps (sec)
Solution stable :
Clic droit sur propriétés, onglet conditions
initiales : régler Z oméga à 55000 puis simuler.
Moment - Amp (newton-mm)
3,48
3,43
3,38
3,33
3,28
3,23
3,19
3,14
3,09
Vit Angulaire - Z (deg/sec)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,07
0,11
0,09
0,11
0,13 0,15 0,17
Temps (sec)
0,19
0,21
0,24
0,26
0,28
0,30
55187
55058
54928
54799
54669
54540
54410
54281
54152
54022
53893
53763
0,00
0,04
0,14 0,18
Temps (sec)
0,21
0,25
0,28
(Vitesse moteur)
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Nota Bene :
Les propriétés de masse des pièces doivent être réglées correctement.
Pour le rotor qui est composite et de forme simplifiée, je propose les valeurs cidessous qui sont renseignées dans l’onglet masse des propriétés de l’arbre moteur.
Pour les autres pièces mobiles, on peut choisir un matériau standard (nylon ici).
On peut retrouver le moment d’inertie réel du rotor avec la fluctuation du courant
mesuré (donc du couple) et des simulations successives (dichotomie).
Une simulation sur 0,4s départ arrêté et des calculs annexes sur tableur donnent les
résultats suivants :
Couple moteur (Nmm)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0,39
0,37
0,35
0,33
0,3
0,32
0,28
0,26
0,25
0,23
0,21
0,19
0,18
0,16
0,14
0,12
0,11
0,09
0,07
0,05
0,04
0,02
0
0
t (s)
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Vitesse de rotation moteur (tr/min)
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0,39
0,37
0,35
0,33
0,31
0,29
0,28
0,26
0,24
0,22
0,2
0,18
0,17
0,15
0,13
0,11
0,09
0,07
0,06
0,04
0,02
0
0
t (s)
Puissance mécanique (W)
6
5
4
3
2
1
0,39
0,38
0,37
0,35
0,34
0,33
0,3
0,31
0,29
0,27
0,26
0,24
0,23
0,22
0,2
0,19
0,18
0,16
0,15
0,14
0,12
0,1
0,11
0,08
0,07
0,05
0,04
0,03
0
0,01
0
t (s)
Puissance élctrique absorbée (W)
40
35
30
25
20
15
10
5
0,39
0,37
0,35
0,33
0,32
0,3
0,28
0,26
0,25
0,23
0,21
0,19
0,18
0,16
0,14
0,12
0,11
0,09
0,07
0,05
0,04
0,02
0
0
t (s)
TP
12
NOM : ________________
PRENOM : ____________
0,11
0,18
13
0,22
0,24
0,25
0,2
0,22
0,23
0,13
0,15
0,17
0,19
t (s)
0,21
0,18
t (s)
t (s)
0,2
0,16
Courant dans l'induit (A)
0,17
Pression dans la pompe (bar)
0,15
0,21
0,23
0,24
0,27
0,26
0,29
0,28
0,31
0,31
0,3
0,32
0,32
0,32
0,34
0,34
0,36
0,36
0,38
0,38
0,38
0,39
0,4
0,39
0,28
0,29
0,34
NOM : ________________
PRENOM : ____________
0,35
0,36
LEGTP Stanislas
Wissembourg
0,25
0,27
Travaux Pratiques en Sciences de l’Ingénieur
0,09
0,13
Puissance reçue par le fluide (W)
0,08
0,11
0,14
4
0,06
0,09
0,14
3,5
0,04
0,07
0,13
3
0,05
0,1
2,5
0,02
0,06
0,11
2
0,04
0,08
1,5
0
0,04
0,07
1
0,02
0,5
0,01
0
-0,5
0
0,03
T SSI
P (W)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
2,5
2
1,5
1
0
0,5
TP
0