TD 1 Cin´ematique

Pendule sur un plan incliné
€tablir l’‚quation du mouvement d’un pendule simple d‚fini comme un point mat‚riel M de
masse m fix€ au bout d’une tige rigide de longueur OM  r oscille autour du point fixe O. Ce
pendule est pos‚ sur un plan P, inclin‚ d’un angle  par rapport ƒ l’horizontale. Le point M
oscille sans frottement sur le plan P.
Utiliser les coordonn‚es polaires (r,θ) du point M avec θ l’angle fait par le pendule par
rapport ƒ sa position d’‚quilibre.
1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique ƒ la masse m. En d‚duire une
‚quation diff‚rentielle de la variable θ.
La Terre est consid€r€e comme un
r€f€rentiel galil€en. Soit Oxyz le
rep‚re associ€ ƒ la Terre.
Oxyz est un tri‚dre direct.
Ox est dirig€ vers le bas suivant
l’axe de plus grande pente du plan
inclin€ P. Oz est perpendiculaire au
plan inclin€ et dirig€ vers le haut.
Les vecteurs unitaires ur et u sont
dans le plan Oxy (plan P).
La relation fondamentale de la dynamique s’€crit : ma  T  R  m.g [1]
avec T : tension de la tige sur M, R : r€action du plan inclin€ sur M et g : acc€l€ration de la
pesanteur.
La r€action R est perpendiculaire au plan P et la tension
T est dans le plan P
En projetant l’€quation [1] dans le plan P (Oxy), il vient :
ma  T  mg .sin  .i [2]
Remarque : Dans la direction perpendiculaire au plan P,
l’‚quation donne : 0  R  mg .cos  .k
En projetant l’€quation [2] sur les axes polaires ur et u , il vient :
Rappel : En coordonn‚es polaires a  
r  r .2 .ur  2.r.  r. .u  comme OM  r  Cte =>




a   r.2 .ur  r..u 
 m.r.2 .u r  T  mg .sin  .cos  .ur


 m.r. .u   m.g .sin  .sin  .u 
sur u : m.r.  m.g .sin  .sin   0 =>
g.sin 
 
.sin   0
r
2
€tablir l’‚quation horaire du mouvement sachant qu’ƒ t = 0, le pendule est l„ch‚ sans
vitesse initiale ƒ un angle θ0 tr…s petit et que le mouvement est de petite amplitude autour
de la position d’‚quilibre.
g.sin 
Pour des petites oscillations : sin    =>  
.  0 [3]
r
Rappel: L’‚quation [3] est une ‚quation diff‚rentielle du second ordre. La solution g‚n‚rale
de cette ‚quation est la combinaison lin‚aire de 2 solutions particuli…res.
 g.sin 
 g.sin 
Des solutions particuli‚res sont 1  sin 
.t  et  2  cos 
.t  =>
r
r




 g.sin 
 g.sin 
  A.sin 
t   B.cos 
t 
r
r




A et B sont d€termin€s ƒ partir de conditions particuli‚res. Dans le cas de ce pendule, les
conditions particuli‚res sont connues ƒ l'instant initial: ƒ t  0    0 et   0 soit B   0
La vitesse angulaire est:  
 g.sin 
 g.sin  
g.sin 
.  A.cos 
t    0 .sin 
t   => A  0
r
r
r




 
 g.sin 
D’o… la solution g€n€rale de l'€quation [3]:    0 .cos 
.t 
r


3
Que vaut la p‚riode T de ces petites oscillations ? La comparer ƒ la p‚riode d’oscillation
du pendule simple.
 est de la forme :    0 .cos 2 .
Remarque : si  

2
t
r
=> T  2
T
g.sin
on retrouve la p‚riode du pendule simple.