Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires 1

Université Paris Est Créteil
DAEU
TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs
Intermédiaires
Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand
nombre de fonctions : la continuité.
On énonce et on utilise un théorème sacrément intuitif.
1
Representation graphique
Exercice 1 On se donne la fonction f définie sur l’intervalle [−3, 8] dont la représentation graphique
est donnée ci dessous.
•
5
4
•
3
•
2
•
1
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
7
8
1. Déterminer les images de −3, −2, 0, 2 et 6 par f .
Par lecture graphique on a
f (−3) = 5
;
f (−2) = 4
;
f (0) = 3
;
f (2) = 3
;
f (6) = 3
2. Déterminer l’expression de f (x) pour x ∈ [−3, 8].
Le graphe de f est constitué uniquement de segments donc pour chacun des segments on a une
expression du type f (x) = ax + b. On a facilement :


−x + 2 si x ∈ [−3, −1]





3
si x ∈ [−1, 2]




4
si x ∈ ]2, 4]
f (x) = x
+2
si x ∈ [4, 6[


2




3
si x = 6



x

− + 5 si x ∈]6, 8]
2
3. Par lecture graphique, déterminer
1
(a) lim f (x)= 5
x→−3
x>−3
(c) lim f (x)= 3
(e) lim f (x)= 5
(d) lim f (x)= 4
(f) lim f (x)= 2
x→2
x<2
(b) lim f (x)= 3
x→2
x>2
x→1
x→6
x<6
x→6
x>6
4. ⋆ Que peut-on dire de lim f (x) et de lim f (x) ?
x→−3
x<−3
x→8
x>8
C’est limites n’ont aucun sens car la fonction f n’est pas définie pour x < −3 ou bien x > 8.
2
Les fonctions continues
2.1
Définitions et exemples
Dans toute cette section ("2 Les fonctions continues") on travail sur un intervalle quelconque qui
contient au moins deux éléments, cette intervalle sera noté I.
C’est à dire :
• I est un intervalle borné : pour a, b ∈ R tels que a < b
I = [a, b] ou bien I =]a, b] ou bien I = [a, b[ ou bien I =]a, b[
ou bien
• I est un intervalle non-borné (avec c ∈ R) :
I =]c, +∞[ ou bien I = [c, +∞[ ou bien I =] − ∞, c] ou bien I =] − ∞, c[ ou bien I = R.
On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I est continue lorsque pour tout x0 ∈ I on a
lim f (x) = f (x0 ),
x→x0
c’est à dire
• limx→x0 f (x) existe
• cette limite vaut f (x0 )
Cette définition peut sembler bien étrange à première vu ... Par contre une interprétation graphique
simple peut-être faite :
Une fonction f définie sur un intervalle I est continue lorsque l’on peut
tracer sa représentation graphique sans lever le stylo.
Si une fonction n’est pas continue, on dit qu’elle est discontinue ; moralement on peut visualiser une
telle fonction comme présentant des sauts (voir le graphe de l’exercice 1 aux points x = 2 et x = 6).
2
Exercice 2
1. Soit
f : [0, 2] → (
R
1 si x ∈ [0, 1]
.
x
7→
2 si x ∈]1, 2]
2
a. Dans le graphique ci-contre tracer la
courbe représentative de la fonction f sur
l’intervalle [0, 2].
b. La continuité par le graphique.
En observant la représentation graphique
de la fonction f , selon vous, f est-elle
continue ?
1
c. La continuité par le calcul.
Calculer limx→1 f (x). La fonction f estx>1
elle continue dans [0, 2] ?
1
2
Exemple. Les fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition :
2
4
4
4
3
1
2
3
3
1
2
-2
-1
0
1
2
-4 -3 -2 -1 0
-1
2
-1
1
2
3
-2
1
1
-3
-4
-2
-2
-1
0
1
-2
-1
0
1
-5
f (x) = x est continue
sur R
f (x) = x2 est continue
sur R
1
est continue
x
sur ] − ∞, 0[ et ]0, ∞[
f (x) =
f (x) = ex est continue
sur R
Remarques. Le fait que les fonctions usuelles soient continue sur leur ensemble de définition permet
de justifier les calculs du type
lim x2 − 5 = −4
x→1
1
1
− x = − + 57.
x→−57 x
57
ou bien
lim
Par contre cela ne dit rien pour des limites intéressantes, i.e. pour des limites sur le bord du domaine
de définition.
Exemple. On peut facilement construire des fonctions qui sont discontinues :
3
3
1
-2
-1
0
•
4
2
•
2
1
1
-1
-2


−1 si x ∈ [−2, 0[
f (x) = 0
est discontinue
si x = 0


1
si x ∈]0, 2]
On observe un saut en x = 0
0
1
2
3
4
La fonction partie entière définie par x 7→ f (x)
où f (x) est l’entier qui est immédiatement
inférieur ou égal à x
Cette fonction est définie sur R et est discontinue :
on observe des sauts en chaque valeures entières de x
On peut montrer la proposition suivante [voir Exercice 3]
Proposition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable sur I alors f est continue
sur I.
Exercice 3 ⋆ Démontrer la proposition précédente.
Remarque. Attention la réciproque à la proposition précédente est fausse : il existe des fonctions
continues qui ne sont pas dérivables. [Voir Exercice 4]
Exercice 4 ⋆ On a déjà rencontrer la fonction valeur absolue qui a x ∈ R associe la valeur absolue
de x notée "|x|" où
(
x
si x ≥ 0
.
|x| =
−x si x ≤ 0
1. Tracer le graphe de la fonction valeur absolue pour x ∈ [−5, 5].
2. Pourquoi la fonction valeur absolue est-elle continue sur [−5, 5] ? [Utiliser le graphique]
3. Montrer que |x| n’est pas dérivable en 0.
4
2.2
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires
On travail dans cette section sur un intervalle fermée et bornée : I = [a, b] où a, b ∈ R et a < b.
On se donne une fonction f définie et continue sur [a, b].
Définition. On dit que ℓ ∈ R est une valeur comprise entre f (a) et f (b) lorsque
f (a) ≤ ℓ ≤ f (b) si f (a) ≤ f (b)
ou bien
.
f (a) ≥ ℓ ≥ f (b) si f (a) > f (b)
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (abrégé par TVI et énoncé ci-dessous) exprime un fait presque
évident :
• on fixe une valeur ℓ comprise entre f (a) et f (b)
• Le but du TVI est de prouver l’existence d’une solution à l’équation f (x) = ℓ où l’inconnue est
x et x parcourt l’intervalle [a, b].
L’existence d’une telle solution est affreusement évidente sur un graphique, cela se fait en 3 étapes :
1)
On trace la courbe C
de la fonction f
C
•
]
b
f (b)
On place ℓ sur les ordonnées
On trace la droite y = ℓ
(ici en pointillés)
C
•
f (a)
[
a
2)
•
Le théorème dit :
il existe x0 ∈ [a, b] tel que
le point (x0 , ℓ) soit sur la courbe
C
•
–f (a)
[
a
3)
ℓ-
]
b
f (b) –
•
[
a
–f (a)
ℓ-
x0
| ]
• b
f (b) –
•
Plus précisément, le théorème peut s’énoncer de la manière suivante :
Théorème des Valeurs Intermédiaires [TVI].
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et soit ℓ une valeur comprise entre f (a) et f (b),
alors il existe x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = ℓ.
Remarque.
1. Ce théorème peut se reformuler de la manière suivante :
Toutes les valeurs comprises entre f (a) et f (b) sont atteintes au moins une fois par f .
2. Le TVI ne donne aucune information sur la localisation de la solution x0 outre le fait que
x0 ∈ [a, b].
Généralement, si on désire une valeur approché de cette solution, alors on procède par dichotomie
en divisant l’intervalle [a, b] en sous intervalle et on essaie alors de localiser quel sous intervalle
contient une solution en réitérant l’utilisation du TVI.
3. Le TVI ne donne aucune information sur le nombre de solution outre le fait que l’on sait
qu’il en existe au moins une.
Par contre, si on sait que la fonction f est strictement monotone (strictement croissante ou bien
strictement décroissante) alors, il est clair que l’équation f (x) = ℓ possède au plus une solution.
Ainsi si x0 est une solution, alors x0 est unique.
4. L’hypothèse "f est continue sur [a, b]" est fondamentale. Par exemple avec a = −3 et b = 8,
la fonction de l’exercice 1 est définie sur [−3, 8] mais n’est pas continue. On a f (−3) = 5 et
f (8) = 1 par contre, on peut facilement voir qu’il n’existe pas de x ∈ [−3, 8] tel que f (x) = 5/2
et pourtant 1 ≤ 5/2 ≤ 5 ...
5
5. Une variante très utilisée du TVI est :
Si f (a) et f (b) sont de signes contraires [donc la valeur 0 est comprise entre f (a) et f (b)], alors
il existe x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = 0.
Exercice 5 Soit f (x) = x3 + 5x − 1.
1. Justifier très rapidement que f est continue sur R.
La fonction f est un polynôme, donc est dérivable. Par suite la fonction f est continue. [Car être
dérivable implique d’être continue]
2. Calculer f (0) et f (1).
f (0) = −1 et f (1) = 5
3. En utilisant le TVI montrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = 0.
La fonction f est continue sur l’intervalle [0, 1] et puisque f (0) ≤ 0 et f (1) ≥ 0, on a que 0 est
une valeur comprise entre f (0) et f (1). Ainsi, par le TVI, il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = 0.
Exercice 6 Pour x ≥ 2 on considère le domaine hachuré ci-contre obtenu à partir d’un carré de coté
x3 auquel on a ôté un carré de coté x.
1. Déterminer l’expression f (x) de la surface de la partie hachurée.
f (x) correspond à la surface d’un carré de coté x3 [donc la surface vaut (x3 )2 = x6 ] moins la
surface d’un carré de coté x [donc la surface vaut x2 ].
Ainsi f (x) = x6 − x2
2. Montrer qu’il existe x0 ≥ 2 tel que la surface hachurée mesure exactement 1000 unités d’aire.
D’une part on a f (2) = 60 < 1000 et f (10) = 106 − 102 = 999900 > 1000 et donc 10 est une
valeur comprise entre f (2) et f (10). D’autre par la fonction f est continue sur l’intervalle [2, 10]
puisque c’est un polynôme.
Ainsi, on peut appliquer le TVI dans l’intervalle [2, 10] afin d’obtenir qu’il existe x0 ∈ [2, 10] (et
donc x0 ≥ 2) tel que la surface hachurée mesure exactement 1000 unités d’aire.
3. Montrer que f est strictement croissante dans [2, +∞[.
On a facilement que f ′ (x) = 6x5 − 2x = 2x(3x4 − 1). Il est facile de vérifier que pour x ≥ 1 on a
x4 ≥ 1. Ainsi, pour x ≥ 2 on a f ′ (x) > 0. Par suite f est strictement croisante sur [2, ∞[.
4. Montrer que x0 est unique, i.e, si x 6= x0 et x ≥ 2 alors f (x) 6= 1000
Puisque f est strictement croissante sur [2, ∞[, toutes les valeurs prises par f sur cet intervalle
ne sont prises qu’une seule fois. En particulier, on sait que la valeur 1000 est prise par f sur
[2, ∞[, ainsi cette valeur est atteinte une seule fois (en x0 ). Par suite, si x 6= x0 et x ≥ 2 alors
f (x) 6= 1000.
5. Donner la partie entière de x0 .
Un calcul rapide permet de trouver :
f (2) = 60 < 1000 ; f (3) = 720 < 1000 ; f (4) = 4080 > 1000
Ainsi, puisque f est strictement croissante on a x0 ∈]3, 4[. Par suite la partie entière de x0 vaut
3.
6
3
Encore de exercices ...
Exercice 7 [Bac ES 2012 (metropole) ]
Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend x centaines
d’objets (pour x compris entre 0 et 6) est donné
par
f (x) = (200x − 300)e−x−1 + 10
Alix a affiché sur l’écran de sa calculatrice la
courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6].
Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »
L’écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.
Il décide donc d’étudier la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6]. On admet que cette fonction est dérivable
sur l’intervalle [0 ; 6]. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
1. Établir que, pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 6],
f ′ (x) = (500 − 200x)e−x−1
On a
′
(200x − 300)e−x−1 + 10
′
= (200x − 300)e−x−1
f ′ (x) =
= (200x − 300)′ e−x−1 + (200x − 300) e−x−1
= 200e−x−1 − (200x − 300)e−x−1
′
= (500 − 200x)e−x−1
2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6]. On étudie le signe de f ′ (x).
[car eX > pour tout X ∈ R]
f ′ (x) ≥ 0 ↔ 500 − 200x ≥ 0
5
↔ x≤
2
D’ou le tableau
x
0
f ′ (x)
f
+
5
2
0
6
−
✟ ❍❍
✟✯
❥
❍
✟
3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice
maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).
5
On voit facilement à l’aide du tableau de variation que le maximum de f est atteint en x = et
2
5
vaut donc f ( ) ≃ 16, 039. D’où le bénéfice maximal est de 16039 euros.
2
7
4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction
f.
Si notre but set de visualiser le maximum de la fonction f , alors on peut prendre :
Xmin = 0
Xmax = 6
Ymin = 0
Ymax = 17
Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »
1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas
à perte ?
2. Démontrer que sur l’intervalle [1 ; 2] l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée α.
3. Donner une valeur approchée de α à 10−2 près.
4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.
Exercice 8 [Bac ES 2002 (metropole) ]
Partie A
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f (x) = (x2 − 3x + 3)ex − 4.
1. (a) Déterminer la limite de f en +∞.
(b) Étudier les variations de f sur [0 ; +∞[.
2. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique x0 appartenant à ] 1 ; 2[.
Donner une valeur arrondie à 10−3 de x0 .
3. Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur [0 ; +∞ [.
Partie B
Une entreprise fabrique un produit, en quantité x exprimée en tonnes, sa capacité de production ne
pouvant dépasser 3 tonnes. Le coût total de fabrication de ce produit, en centaines de milliers d’euros,
est donné par :
CT (x) = (x − 3)ex + 3x + 4.
Le coût moyen est défini sur ]0 ; 3] par la formule suivante :
Cm (x) =
CT (x)
.
x
′ (x) et vérifier que l’égalité suivante est vraie : C ′ (x) =
1. Pour tout x de ]0 ; 3] calculer Cm
m
En déduire le sens de variation de Cm sur ]0 ; 3].
f (x)
.
x2
2. Pour quelle production l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimum ?
Quel est le coût moyen minimum (arrondi au millier d’euros) d’une tonne de ce produit ?
Exercice 9 Soit f une fonction définies et continue sur [0, 1] tel que pour tout x ∈ [0, 1] on a
f (x) ∈ [0, 1]. Montrer qu’il existe un point fixe de f dans [0, 1], i.e. il existe x0 ∈ [0, 1] tel que
f (x0 ) = x0 .
8