Exercice 3 du quiz du cours Gestion de patrimoine (MS 2009

Exercice 3 du quiz du cours Gestion de patrimoine (MS 2009-1010 T2) :
« Analyse de la marge d’un produit à capital garanti » (12 points)
Les produits structurés à capital garanti sont des produits financiers proposés dans le cadre
de la gestion de patrimoine. Ils répondent à une double attente de la part des investisseurs : la
sécurité de leur capital et une prise de position (limitée) sur les marchés financiers. Cet exercice
s’intéresse à la marge sur ces produits, marge qui est partagée entre le producteur (salle de marché
qui fournit l’option et/ou la société de gestion qui structure le produit) et le distributeur (réseau
bancaire ou conseiller en gestion de patrimoine indépendant). Pour les conseillers en gestion de
patrimoine, il est important de comprendre la mécanique de ces produits, notamment pour pouvoir
estimer la marge sur ces produits et négocier leur commission avec le fournisseur.
I. Présentation du produit
Suite à la cession de son entreprise, le client d’un conseiller en gestion de patrimoine
dispose d’importantes liquidités à investir à moyen terme. Vu le montant à placer, le conseiller a
organisé un appel d’offres auprès de plusieurs banques. Il étudie la réponse d’une banque qui
propose un produit structuré à capital garanti. Ce produit présente les caractéristiques suivantes :
-
Investissement initial : 10 000 000 €
-
Actif sous-jacent : l’indice CAC 40
-
Période d’investissement : 5 ans
-
Structure de rémunération : en cas de hausse de l’indice CAC 40 sur la période
d’investissement, la rentabilité du produit est égale à la rentabilité de l’indice sur cette
même période multipliée par un coefficient appelé « taux de participation » égal à 65%
pour ce produit. En cas de baisse de l’indice CAC 40, la rentabilité du produit est égale à
0%.
II. Informations financières
Afin d’étudier le produit, le conseiller dispose d’informations financières. Le taux d’un
placement en titres sans risque est de 5% (taux annuel). La volatilité implicite d’une option sur
l’indice CAC 40 émise à la monnaie pour une maturité de 5 ans est de 20% (valeur obtenue par
extrapolation vue la faible liquidité du marché pour des maturités aussi élevée). Il est à noter que la
volatilité implicite est bien inférieure à la volatilité historique de 30% estimée sur une période d’un
an, ce qui traduit une anticipation de baisse de la volatilité dans le futur.
D’après un trader contacté dans une salle de marché, les informations ci-dessus (le niveau
du taux d’intérêt et de la volatilité) ne devraient pas évoluer de façon significative d’ici la date de
l’investissement. Seule la valeur de l’indice CAC 40 pourrait fluctuer de manière significative d’ici
là. D’après le trader, le marché s’attend à une hausse moyenne de 0,5% par mois de l’indice
CAC 40 sur les prochains mois.
© François LONGIN
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Un pricer utilisant la formule de Black-Scholes-Merton a permis de calculer le prix de calls
et de puts émis à la monnaie pour différentes maturités et différents niveaux de volatilité. Les
résultats obtenus sont donnés le tableau ci-dessous pour des options sur un sous-jacent de valeur
initiale 1 € et ne versant pas de dividendes.
Prix de calls à la monnaie
Maturité
1 an
3 ans
5 ans
10%
0,068050
0,156421
0,234211
Volatilité de l'actif sous-jacent
15%
20%
25%
0,085917
0,104506
0,123360
0,181277
0,209244
0,238420
0,260021
0,291386
0,325039
30%
0,142313
0,268055
0,359578
Prix de puts à la monnaie
Maturité
1 an
3 ans
5 ans
10%
0,019279
0,017129
0,013011
Volatilité de l'actif sous-jacent
15%
20%
25%
0,037146
0,055735
0,074589
0,041985
0,069952
0,099128
0,038822
0,070187
0,103840
30%
0,093542
0,128763
0,138379
Source : www.longin.fr
III. Questions
Pour les calculs statistiques, on pourra choisir loi normale pour modéliser la rentabilité de
l’actif sous-jacent ou de façon équivalente la loi log-normale pour modéliser le prix de l’actif sousjacent.
A. Analyse du produit
Question 1 : représenter graphiquement la rentabilité du produit à capital garanti en fonction de la
rentabilité de l’indice CAC 40 sur la période d’investissement. En déduire la décomposition du
produit à capital garanti en produits simples (achat/vente de titres sans risque, achat/vente de
l’indice CAC 40, achat/vente de calls, achat/vente de puts, etc.).
B. Analyse de la marge – Marge sécurisée prélevée à l’émission du produit
Question 2 : expliquer comment la banque « fabrique » un produit à capital garanti. On décrira les
opérations financières réalisées par la banque aux différentes dates pertinentes. On supposera dans
cette question que la banque souhaite sécuriser sa marge dès la date de construction du produit.
Calculer la marge de la banque en euros et en pourcentage du nominal du produit. Représenter
graphiquement la marge de la banque en fonction de la rentabilité de l’indice CAC 40 sur la
période.
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C. Analyse de la marge – Marge non-sécurisée prélevée à l’échéance du produit
Les analystes de la banque anticipent une hausse de l’indice CAC 40 à moyen terme.
Question 3 : expliquer comment la banque « fabrique » un produit à capital garanti sachant que la
banque souhaite profiter de son anticipation haussière sur l’indice CAC 40 sur les prochaines
années, sa marge étant alors complètement dépendante de l’évolution de l’indice CAC 40 sur la
période. Représenter graphiquement la marge de la banque en fonction de la rentabilité de l’indice
CAC 40 sur la période.
Question 4 : calculer la probabilité pour que la marge de la banque soit nulle.
Question 5 : calculer la variation de l’indice CAC 40 sur la période telle que les deux approches
donnent le même niveau de marge. On s’interrogera sur la date à retenir pour la comparaison des
deux marges ainsi que sur la valeur de la marge sécurisée à retenir pour que la comparaison soit
pertinente.
D. Analyse de la marge – Approche mixte
Bien des analystes de la banque anticipent une hausse de l’indice CAC 40 à moyen terme.
Mais cette analyse ne fait cependant pas l’unanimité.
Question 6 : proposer une autre approche de gestion du produit en termes de marge, sachant que
l’anticipation de la banque est haussière mais avec plus d’incertitude.
Question 7 : représenter graphiquement la distribution statistique de la marge dans l’approche
mixte. On indiquera sur le graphique les informations pertinentes.
E. Gestion de la marge en pratique
Question 8 : expliquer pourquoi dans la très grande majorité des cas les banques sécurisent leur
marge dès l’émission de leurs produits.
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IV. Références
A. Livres
Cox J. C. et M. Rubinstein (1985) “Options Markets” Prentice Hall.
Hull J. C. (2005) “Options, Futures and Other Derivatives” Prentice Hall, Sixième édition.
B. Articles
Black F. et M. Scholes (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities,” Journal of
Political Economy, 81, 637-654.
Lacoste V. et Longin F. (2003) “Term guaranteed fund management: the option method and the
cushion method,” Proceeding of the French Finance Association, Lyon, France.
Merton R. (1974) “On the Pricing of Corporate Debt,” Journal of Finance, 29, 449-470.
C. Sites Internet
www.euronext.com : site de la Bourse Euronext d’où l’on peut télécharger les données historiques
de cours de l’indice CAC 40 (rubrique « Cours »).
www.boursorama.com : site de courtage en ligne où l’on peut consulter des prix d’options sur le
l’indice CAC 40 (rubrique « Dérivés »).
www.longin.fr: aller dans la rubrique “Ressources” où des pricers sont disponibles en ligne. Ces
pricers vous permettent de calculer numériquement la valeur d’options standards (calls et
puts) d’après la formule de Black-Scholes-Merton.
© François LONGIN
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Annexe
Distribution de la loi normale centrée réduite
La table ci-dessous donne la probabilité N(x) pour qu’une variable aléatoire normale X
centrée réduite (moyenne égale à 0 et écart-type égal à 1) soit inférieure à une valeur x donnée. Cette
u2
x
−
1
e 2 d u et correspond à l’aire
probabilité est donnée par la formule suivante: N ( x ) =
∫
−
∞
2π
grisée sous la courbe de la densité de probabilité de la loi normale:
N (x )
x
La première colonne de la table contient la valeur x avec la première décimale, et la
première ligne contient la deuxième décimale de la valeur x. Par exemple, la probabilité pour
qu’une variable normale centrée réduite soit inférieure à 1,15 est égale à 87,49%.
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
Pour une valeur x négative, la probabilité N(x) est obtenue à partir de la relation suivante:
N(x) = 1 - N(-x).
© François LONGIN
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