Cours Corporate finance

Cours Corporate finance Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf
Ó Fr ançois Longin 1 www.longin.fr Plan • Notions de r entabilité § Définition § Modélisation • Eléments de théor ie du por tefeuille § Portefeuille § Diversification • Le Medaf § Le modèle de marché § La relation du Medaf § Le bêta § Application : calcul du taux d’actualisation
Ó Fr ançois Longin 2 www.longin.fr Rentabilité d’un actif (1) • Définition de la r entabilité § Notations : R i : rentabilit é de l' actif i P t i : prix de l' actif i à la date t D t i -1 , t : revenu de l' actif i sur la période [ t , t - 1 ] § Calcul i i i P P +
D t t -1
t , t -1 i Rt =
P t i -1 § Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la séquence de flux d’investissement. Ó Fr ançois Longin 3 www.longin.fr Rentabilité d’un actif (2) • Deux éléments dans la r entabilité § Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers, etc. Dt i ,t -1 P t i -1 § La variation en capital (capital gain or loss en anglais) : plus­value ou moins­value à la revente Pt i - P t i -1
P t i -1 Ó Fr ançois Longin 4 www.longin.fr Rentabilité d’un actif (3) • Statistiques impor tantes (1) § La moyenne des rentabilités w Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur i R = w § 1
T ~ i R å t T t =1 Mesure de performance La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne) w La variance ou l’écart­type des rentabilités T 1 ~
~ i 2 i i 2 s R = å R t - R ( )
w T t =1 (
)
1 T ~ i ~ i i 2 s R = å R t - R ( )
T t =1 (
)
Mesure sur risque (mesure globale)
Ó Fr ançois Longin 5 www.longin.fr Rentabilité d’un actif (4) • Statistiques impor tantes (2) § Les quantiles de rentabilités w Probabilité d’observer une rentabilité en dessous d’un seuil donné (
~i
) P R < x w Mesure du risque (mesure locale)
Ó Fr ançois Longin 6 www.longin.fr Rentabilité d’un actif (5) • Distr ibution histor ique des r entabilités – Histogr amme • Distr ibution par amétr ique des r entabilités ­ Densité § Exemple : la loi normale w Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers moments de la distribution)
Ó Fr ançois Longin 7 www.longin.fr Modèle de Mar kowitz • Qu’est­ce que c’est ? § Modèle mathématique financier de construction de portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur l’optimisation du portefeuille en termes de rentabilité et risque § Portefeuilles optimaux w w Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné
Ó Fr ançois Longin 8 www.longin.fr Diver sification du r isque (1) • Cas : por tefeuille à deux actifs § Actif 1: µ 1 = 10% et σ 1 = 20% § Actif 2 : µ 2 = 15% et σ 2 = 30% • Por tefeuille : combinaison d’actifs § x 1 et x 2 : poids de chaque actif dans le portefeuille • Objectif : tr ouver le por tefeuille qui minimise le r isque pour un niveau de r entabilité donné
Ó Fr ançois Longin 9 www.longin.fr Diver sification du r isque (2) • Por tefeuille efficient § Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par exemple 12%), minimise le risque. § Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée. § Portefeuille optimal au sens moyenne­variance • Fr ontièr e efficiente § Ensemble des portefeuilles efficients • Exer cice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr
Ó Fr ançois Longin 10 www.longin.fr Diver sification du r isque (3) • Cas : n actifs r isqués § Caractérisation de la frontière efficiente § Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque. • Cas : 1 actif sans r isque et n actifs r isqués § Caractérisation de la frontière efficiente § Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont définis comme une combinaison de l’actif sans risque et du portefeuille tangent (portefeuille de marché). § Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque. • Exer cice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr
Ó Fr ançois Longin 11 www.longin.fr Diver sification du r isque (4) • Cas : 1 actif sans r isque et n actifs r isqués § Actif sans risque : µ 0 = 5% et σ 0 = 0% § Portefeuille de marché M : µ M = 10% et σ M = 25% § Portefeuille efficient P : µ P et σ P w w Combinaison linéaire de l’actif sans risque (x) et du portefeuille de marché (1­x) : µ P = x∙µ 0 +(1­x)∙µ M et σ P = (1­x)∙σ M En remplaçant x par sa valeur il vient : m P = m0 +
w § m M - m0 × s P s M Il s’agit de l’équation de la frontière efficiente. Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la rentabilité exigée est élevée. Ó Fr ançois Longin 12 www.longin.fr Risque d’un actif • Quel est le r isque associé à un actif ? § Portefeuille existant : µ P et σ P § Projet ou actif risqué : µ i et σ i • Comment pr endr e en compte le r isque de cet actif au niveau du taux d’actualisation ? § Risque total de l’actif ? σ i § Contribution de l’actif au risque du portefeuille ?
Ó Fr ançois Longin 13 www.longin.fr Le modèle de mar ché (1) • Sour ces de r isque § Le risque sur chaque actif a deux origines : w w Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les actifs Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à l’actif (action, obligation, projet, etc.) • Modélisation § Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur § Par définition, l’erreur (le résidu) correspond à l’écart entre la réalisation de la rentabilité et son anticipation. § Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque systématique) et à un mouvement propre à chaque actif (risque spécifique).
Ó Fr ançois Longin 14 www.longin.fr Le modèle de mar ché (2) • Modélisation (suite) ~ ~
~ Ri = m i + b i × R M - m M + S i (
) • Notations
~
R i : rentabilit é de l' actif i ~
m i = E R i : espérance de rentabilit é de l' actif i ~
R M : rentabilit é du portefeuil le de marché M ~ E R M : espérance de rentabilit é du portefeuil le de marché M ( ) ( ) bi = sensibilité de rentabilit é de l' actif i au marché M ou encore intensité de la covariatio n entre la rentabilti é de l' actif i et la rentabilit é du marché M Ó Fr ançois Longin 15 www.longin.fr Le modèle de mar ché (3) • Raisonnons sur un por tefeuille P contenant n titr es § Composition du portefeuille : x 1 , x 2 , x 3 , … x n • Modélisation du por tefeuille P ~ ~
~ RP = m P + b P × R M - m M + S P ) (
• Notation
~ RP = x 1 × R 1 + x 2 × R 2 + x 3 × R 3 + .... + x n × R n ~ E (R P ) = x 1 × E (R 1 ) + x 2 × E (R 2 ) + x 3 × E (R 3 ) + .... + x n × E (R n ) b P = x1 × b1 + x 2 × b 2 + x 3 × b3 + .... + x n × b n SP = x 1 × S 1 + x 2 × S 2 + x 3 × S 3 + .... + x n × S n Ó Fr ançois Longin 16 www.longin.fr Le modèle de mar ché (4) • Diver sification des n r isques spécifiques § Les aléas S 1 , S 2 , S 3 , …, S n sont des variables aléatoires centrées et indépendantes. § Pour un portefeuille diversifié (i.e. tous les poids x i sont petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît. w Application de la loi des grands nombres • Appr oximation pour la r entabilité d’un por tefeuille diver sifié
~
~ RP » m P + b P × R M - m M ) (
Ó Fr ançois Longin 17 www.longin.fr Le modèle de mar ché (5) • Analyse du r isque d’un por tefeuille diver sifié ~ 2 2 ~ 2 ~ s R P = b P × s R M + s S P 2
( )
( )
( ) • Inter pr étation : ( ~ ) s 2 R P : mesure du risque global du portefeuil le P 2 2 ~ b P × s RM : mesure du risque systématiq ue (non diversifia ble) 2 ~ s SP : mesure du risque spécifique du portefeuil le (diversifi able) ( ) ( ) • Appr oximation pour le r isque d’un por tefeuille diver sifié
2 ~ 2 2 ~ s R P » b P × s R M ( )
Ó Fr ançois Longin ( ) 18 www.longin.fr Le modèle de mar ché (6) • Contr ibution d’un actif i au r isque du por tefeuille P § Décomposition du risque de l’actif i ~ (~ ) ~ s 2 (Ri ) = b i 2 × s 2 (R M ) + s 2 S i ~ s S i § Le risque spécifique de l’actif
i n’apparaît pas dans le risque d’un portefeuille diversifié. § Seul le bêta de l’actif i apparaît dans le risque d’un portefeuille diversifié. • La contr ibution d’un actif i au r isque du por tefeuille P est mesur ée par le bêta.
2
Ó Fr ançois Longin ( ) 19 www.longin.fr Le modèle de mar ché (7) • Déter mination de la pr ime de r isque de l’actif i § Décomposition de la prime de risque sur l’actif i mi = r + p i § § La prime de risque p i doit être proportionnelle au bêta de l’actif i qui est le seul risque non diversifiable. pi = l × bi Démonstration : m M = r + l × b M = r + l
l = m M - r p i = b i × (m M - r ) Ó Fr ançois Longin 20 www.longin.fr Le Medaf (1) • Ter minologie § Medaf : modèle d’évaluation des actifs financiers § CAPM : capital asset pricing model • Rentabilité anticipée de l’actif i mi = r + b i × (m M - r ) • Relation du Medaf ou CAPM § La rentabilité anticipée d’un actif est égale à la somme du taux sans risque et du bêta de l’actif fois la prime de risque du marché.
Ó Fr ançois Longin 21 www.longin.fr Le Medaf (2) • Tr ois éléments à estimer § Le taux sans risque § La prime de risque du marché § Le bêta de l’actif • Utilité du Medaf § Gestion d’actifs w § Construction de portefeuilles efficients Décisions d’investissement w Calcul du coût du capital
Ó Fr ançois Longin 22 www.longin.fr Calcul du coût du capital en pr atique • Les entr epr ises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital.
Ó Fr ançois Longin 23 www.longin.fr Le beta (1) • Définition cov (Ri , R M )
b i =
var (R M ) mi - r
b i =
m M - mi • Inter pr étation § Le beta mesure l’élasticité de l’actif par rapport au portefeuille de marché. w w w w Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes proportions que le marché. Un actif avec un beta inférieur à 1 (0,8 par exemple) varie moins que le marché. Un actif avec un beta supérieur à 1 (1,5 par exemple) amplifie les variations du marché. Le beta est donc aussi une mesure du risque d’un actif.
Ó Fr ançois Longin 24 www.longin.fr Le bêta (2) • Estimation du beta § Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i sur la rentabilité du marché M ~ ~
~ Ri = mi + b i × R M - m M + S i (
§ ) Le bêta : w w Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du portefeuille de marché M (variable explicative) Pente de la droite de la régression
Ó Fr ançois Longin 25 www.longin.fr Limites du Medaf • Qu’est­ce que le por tefeuille de mar ché ? § En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs : actions, obligations, matières premières, immobilier, objets d’art, capital humain, etc. w Difficulté d’observer le portefeuille de marché et donc à estimer sa rentabilité • Qu’est­ce qu’un actif ? § Historique de rentabilités pour un actif de marché § Quid d’un nouveau projet d’entreprise ? w Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché pour calculer le bêta
Ó Fr ançois Longin 26 www.longin.fr Application à l’investissement • Le taux d’actualisation doit tenir compte du r isque. § Prime de risque • La pr ime de r isque du pr ojet dépend du pr ojet mais aussi du por tefeuille existant. • Recher che d’actifs peu cor r élés voir négativement cor r élés avec le por tefeuille existant § Super diversificateurs
Ó Fr ançois Longin 27 www.longin.fr