Seconde - Simulations et Algorithmique

Seconde - Simulations et Algorithmique - Énoncé
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Le jeu ≪ Pass the Buck ≫, tiré de l’émission ≪ The Price Is Right ≫.
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Gameplay : The contestant is shown two pairs of grocery items, one pair at time. One of the items in
Deuxième partie du jeu
each pair displays the correct price, while the other is discounted $1. The contestant must ”pass the
buck” to the item which is discounted so that both display the correct price.
1/ a) Quelle est la somme d’argent maximale que le joueur peut remporter à la fin de la partie ?
For each correct decision, the contestant earns a choice from the six numbers on the game board.
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Concealed behind the six numbers are a picture of a car, $1,000, $3,000, $5,000, and two spaces marked
b) Dénombrer toutes les possibilités de gain à l’issue de cette deuxième partie du jeu.
”Lose Everything”. The contestant chooses numbers one at a time and accumulates whatever prizes
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they reveal. If they reveal ”Lose Everything”, they lose their accumulated prizes, but may start again if
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they still have choices remaining. The contestant may also quit after each number selection instead of
2/ Calculer la probabilité de l’évènement G : ≪ Le joueur gagne 5 000 $ et la voiture ≫.
risking their winnings.
On s’aidera un arbre pour illustrer la situation.
On supposera que dans le cas où le joueur gagne deux choix de case, il en choisit toujours deux.
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Algorithme
La vidéo peut être visualisée en suivant ce lien : www.youtube.com/watch?v=-RDxQgDBxcI.
1/ Écrire un algorithme qui simule 1 000 parties de jeu (première et deuxième partie) et qui retourne :
– le nombre de simulations qui correspondent à un gain non nul ;
Première partie du jeu
– le gain moyen par partie.
On suppose que le candidat choisit au hasard l’article dont le prix n’est pas correct.
On supposera que le montant de la voiture est de 25 000 $.
On considère les évènements :
2/ Donner une fourchette au niveau de confiance 0, 95 (c’est-à-dire au risque 0, 05) de la probabilité p
que le joueur gagne ≪ quelque chose ≫ à l’issue d’une partie complète de ce jeu.
C1 : ≪ Il a modifié le prix du bon article dans la première paire ≫
C2 : ≪ Il a modifié le prix du bon article dans la deuxième paire ≫
Prolongements
Pk : ≪ Le candidat gagne k choix de case ≫ avec k = 0, 1 ou 2
Écrire un algorithme qui simule 1 000 parties de ce jeu (première et deuxième partie) et qui retourne le
À l’aide d’un arbre, calculer la probabilité des évènements Pk , avec k = 0, 1 ou 2.
B. CAILHOL pour Statistix (www.statistix.fr)
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nombre de simulations qui correspondent au gain ≪ 5 000 $ et la voiture ≫.
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Seconde - Simulations et Algorithmique - Corrigé
• 5 000 $ : 5 000 ou TP suivi de 5 000 ;
• 6 000 $ : 3 000 et 3 000 ;
• 8 000 $ : 5 000 et 3 000 ou 3 000 et 5 000 ;
Un travail préliminaire a été fait avec le professeur d’anglais de la classe : diffusion de la vidéo, explication du
vocabulaire. Cette activité a nécessité 3h de travail dont 1h pour l’écriture de l’algorithme.
Première partie du jeu
0, 5
0, 5
• 1 000 $ et la voiture ;
• 3 000 $ et la voiture ;
• 5 000 $ et la voiture.
C2
C1
0, 5
• la voiture ;
C2
2/ On note G : ≪ Gagner la voiture et 5 000 $ ≫. Le choix de deux cases revient à faire deux tirages sans
remise d’un jeton dans une urne qui en contient six, numérotés de 1 à 6. Il y a 6 × 5 = 30 choix (l’ordre
compte, selon que la case ≪ tout perdre ≫ est choisie en premier ou en deuxième). Sur ces 30 possibilités,
2 sont associées à l’évènement G selon que la somme d’argent est obtenue en premier ou pas.
0, 5
0, 5
C2
0, 5
C2
C1
0, 75
P2
Les issues :
• (C1 , C2 ) permet de gagner deux choix de case ;
• C1 , C2 et C1 , C2 permettent de gagner un choix de case ;
• C1 , C2 ne permet pas de gagner de choix de case.
On déduit p (P1 ) = 0, 5 puis p (P2 ) = 0, 25 et p (P0 ) = 0, 25.
Ainsi, le joueur a une chance sur quatre de gagner deux choix de case.
2
30
0, 25
G
P2
28
30
Ainsi, la probabilité du résultat (P2 , G) est 0, 25 ×
G
1
1
= .
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Algorithme
Deuxième partie du jeu
1/ a) La somme d’argent maximale est obtenue en choisissant les cases contenant 5 000 $ et 3 000 $ pour
un montant total de 8 000 $.
Sur 1 000 simulations, 504 correspondent à un gain non nul. La probabilité de gagner quelque chose est,
#
"
1
1
1
⊂ [0, 47 ; 0, 54].
; 0, 504 + √
au risque de 5 %, dans l’intervalle de confiance 0, 504 − √
1000
1000
Pour cette simulation, le gain moyen est de 5 287 $.
b) On note TP pour ≪ tout perdre ≫. Les possibilités de gain sont :
• 0 $ : TP ou tout gain suivi de TP (y compris TP suivi de TP) ;
"
#
1
1
1. Seul l’intervalle de fluctuation est au programme en classe de seconde, mais l’équivalence entre f ∈ p − √ ; p + √
n
n
"
#
1
1
et p ∈ f − √ ; f + √ peut facilement être établie.
n
n
• 1 000 $ : 1 000 ou TP suivi de 1 000 ;
• 3 000 $ : 3 000 ou TP suivi de 3 000 ;
• 4 000 $ : 2 000 et 2 000 ;
B. CAILHOL pour Statistix (www.statistix.fr)
Voir : http://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/17/9/Doc_ressource_proba-stats_109179.pdf
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Prolongements
On simule 1 000 parties de jeu (première et deuxième partie). La variable E est associée au nombre de
simulations pour lesquelles la voiture et les 5 000 $ seront remportés. On décide que les 5 000 $ sont
dans la case 4 et la voiture dans la case 6.
La variable A (resp. B) est associé au numéro du choix de la première case (resp. deuxième). Ces deux
variables ont des valeurs distinctes (d’où le ≪ tant que ≫ qui attribue une valeur aléatoire à B jusqu’à ce
que cette dernière soit différente de A).
B. CAILHOL pour Statistix (www.statistix.fr)
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