Corrigé Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n

Test 5 : Variables aléatoires discrètes
Corrigé
SQ20
Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n personnes distinctes (n ≥ 2). On admet que les
n appels constituent n expériences indépendantes, et que pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le
correspondant demandé est p ∈]0, 1[. On note q = 1 − p.
X désigne la variable aléatoire égale au nombre de personnes obtenues au téléphone.
1. Quelle est la loi de X ? Donner E[X] et V (X).
Ayant obtenu k personnes, la secrétaire rappelle une deuxième fois, dans les mêmes conditions, chacune
des n − k personnes qu’elle n’a pas réussi à joindre la première fois. Soit Y le nombre de personnes
obtenues dans la deuxième série d’appels, et Z = X + Y , le nombre total de personnes obtenues.
2. Quelles sont les valeurs prises par Z ?
3. Calculer les probabilités P(Z = 0) et P(Z = 1).
4. Soient k ∈ J0, nK, et l ∈ J0, n − kK. Calculer la probabilité conditionnelle P(Y = l|X = k).
5. Calculer P(Z = s). Quelle est la loi de Z ?
1. X ∼ B(n, p), et donc E[X] = np, et V (X) = npq.
2. Z est à valeurs dans J0, nK.
3. P(Z = 0) = (q 2 )n = q 2n (en effet chaque personne est appelée 2 fois, avec un résultat négatif à
chaque appel).
On peut obtenir Z = 1 de deux manières différentes : soit on obtient 0 personne (sur n) lors de la
première série et 1 personne (sur n) lors de la deuxième, soit on obtient 1 personne (sur n) lors de
la première série et 0 personne (sur n − 1) lors de la deuxième. Ainsi :
n n−1
n n−1
n
P(Z = 1) = q ×
q
p+
q
p × q n−1 = npq 2n−2 (q + 1).
1
1
4. Sachant que X = k, la secrétaire doit rappeler n − k personnes, chacune avec la probabilité p. Ainsi
(Y |X = k) ∼ B(n − k, p). Donc :
n−k
P(Y = l|X = k) =
× pl × q n−k−l .
l
5.
P(Z = s) =
=
l=s
X
l=0
=
n
n−s+l
× ps−l × q n−s+l
× pl × q n−s ×
l
s−l
l=s
X
(n − s + l)!
l=0
=
P(Y = l|X = s − l) × P(X = s − l)
l=0
l=s X
l=s
X
l=0
n!
× pl+(s−l) × q n−s+(n−s+l)
l!(n − s)! (s − l)!(n − s + l)!
n!
× ps × q 2n−2s+l
l!(n − s)!(s − l)!
.
l=s
=
X
n!
1
× ps × q 2(n−s)
ql
(n − s)!
l!(s − l)!
l=0
l=s
X
s!
n!
× ps × q 2(n−s)
q l × 1s−l
=
(n − s)!s!
l!(s − l)!
l=0 n s
n
=
p × q 2(n−s) × (1 + q)s =
(1 − q 2 )s × q 2(n−s) .
s
s
Et donc, Z ∼ B(n, 1 − q 2 ) (ce qui paraı̂t logique, vu que chaque personne se voit offrir une deuxième
chance, et la probabilité d’obtenir une personne vaut donc 1 − q 2 ).
UTBM
11 avril 2008