Novembre 2013

L G
L G
Novembre 2013
MATH0013-1 - A LG ÈBRE
É VALUATION FORMATIVE
Prof. Éric J.M.DELHEZ
Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d’Algèbre.
Il est purement facultatif. Les résultats, bons ou mauvais, ne seront en aucun cas pris en compte dans une
quelconque moyenne.
Pour que l’exercice vous soit réellement profitable, il vous est conseillé de vous placer autant que possible
dans les conditions d’une interrogation normale : répondez aux questions tout(e) seul(e), sans interrompre
votre travail, dans un délai maximum d’une heure trente.
Consultez les conseils pour une bonne présentation des copies disponibles sur
http://www2.ulg.ac.be/mathgen/cours/analyse/presentation.html
.
Les copies seront reprises lors du cours du 4 décembre.
Les données mesurées par les capteurs sont rarement utilisées comme telles dans les systèmes de
gestion ou de commande. En effet, les erreurs de mesures ou la variabilité naturelle des grandeurs
observées, i.e. le bruit, masquent généralement partiellement le signal principal qu’il convient dès
lors d’isoler par l’utilisation d’un filtre.
Si on dispose d’un flux de données x0 , x1 , . . . , mesurées en des instants discrets successifs, on
peut représenter l’action d’un filtre IIR (infinite impulse response filter) par
yk = xk − b1 xk−1 + b2 xk−2 + a1 yk−1 − a2 yk−2
qui permet d’exprimer le signal de sortie y0 , y1 , . . . en fonction du signal mesuré donné en entrée.
Les coefficients a1 , a2 , b1 et b2 sont des constantes réelles qui permettent d’ajuster le comportement
du filtre. En particulier, lorsque tous les coefficients sont nuls, on a yk = xk et le signal mesuré est
reproduit en sortie sans aucune modification. Pour d’autres valeurs des coefficients, le filtre peut
amplifier certains signaux et en amortir d’autres selon leur nature.
Dans la suite, on considère a1 = 1.5, b1 = 1.6, b2 = 1 et a2 > 0.
i. Déterminez la(les) valeur(s) du coefficient a2 pour laquelle(lesquelles) la réponse du filtre à un
signal d’entrée constant xk = X (où X désigne une constante) est bornée quelles que soient les
valeurs de y0 et y1 utilisées pour initialiser le filtre.
ii. Déterminez la(les) valeur(s) du coefficient a2 pour que, asymptotiquement pour k → ∞, un
signal d’entrée constant donne lieu à un signal constant de même amplitude à la sortie du filtre
quelles que soient les valeurs de y0 et y1 utilisées pour initialiser le filtre.
iii. Dans le cas où a2 = 0.75, déterminez le signal de sortie si un signal constant est appliqué à
l’entrée et si le filtre est initialisé par y0 = y1 = 0.
S OLUTION
TYPE
i. Si un signal constant du type xk = X est appliqué à l’entrée du filtre, on a
Équation
avec valeurs des
yk − a1 yk−1 + a2 yk−2 = xk − b1 xk−1 + b2 xk−2 = (1 − b1 + b2 )X
paramètres : 1 pt
(pas
obligatoire de
soit, en tenant compte des valeurs des paramètres données dans l’énoncé et en décalant les
décaler les indices)
indices,
yk+2 − 1.5yk+1 + a2 yk = 0.4X
Décomposition
ou
L’équation étant linéaire, sa solution générale peut être obtenue en additionnant la solution (annoncée
appliquée)
:
1
pt
générale de l’équation homogène associée et une solution particulière de l’équation complète.
Pour écrire la solution générale de l’équation homogène, considérons les zéros du polynôme Justification par la
caractéristique, i.e. les solutions de
linéarité : 1 pt
Polynôme
z2 − 1.5z + a2 = 0
caractéristique
:
soit
√
2 pts
3 ± 9 − 16a2
z1,2 =
Zéros : 1 pt
4
Dans le cas où a2 6= 9/16, les zéros sont distincts et la solution générale de l’équation homogène Solution yhk si a2 6=
est de la forme
9/16 : 3 pts
k
k
h
yk = C1 z1 +C2 z2
Dans le cas où a2 = 9/16, z1 = z2 = 3/4 et
yhk
Solution générale
si a2 = 9/16 : 3 pts
k
3
= (C1 k +C2 )
4
Si on recherche une solution particulière de l’équation non homogène de la forme ykp = Y , on a
(a2 − 0.5)Y = 0.4X
Pour toutes les valeurs de a2 6= 0.5, on a donc
ykp =
Solution
part. si a2 6= 1/2 :
3 pts dont 1 pt pour
la méthode.
0.4
X
a2 − 0.5
Dans le cas où a2 = 0.5, l’équation n’admet pas de solution constante car l’équation homogène
admet une telle solution. En effet, les zéros du polynôme caractéristique sont alors donnés par
√
3± 9−8
1
z1,2 =
⇒
z1 = , z2 = 1
4
2
où z2 = 1 génère une solution du type C2 zk2 = C2 . Puisque z = 1 est un zéro simple du
polynôme caractéristique associé à l’équation homogène, il convient dans ce cas de rechercher
p
une solution particulière de la forme yk = β k. Substituant cette expression dans l’équation, il
vient
β(k + 2) − 1.5β(k + 1) + 0.5βk = 0.4X
⇒
β = 0.8 X
de sorte que
ykp = 0.8k X
La solution générale de l’équation s’écrit donc de la façon suivante

4


C1 zk1 +C2 zk2 +
X si a2 6∈ {9/16, 1/2}


10a

2 −5



k


3
32
+ X si a2 = 9/16
yk = (C1 k +C2 )
4
5







4
1 k


+C2 + kX
si a2 = 1/2
C1
2
5
2
(♦)
Solution
part. si a2 = 1/2 :
3 pts dont 1 pt pour
la méthode.
On observe que

32

 X si a2 = 9/16

5
(k → ∞)
yk ∼

4

 kX si a = 1/2
2
5
Dès lors, la sortie est bornée si a2 = 9/16 mais ne l’est pas si a2 = 1/2.
Solution bornée si
a2 = 9/16 : 1 pt
Solution
non
bornée si a2 = 1/2 :
1 pt
Dans le cas général, la sortie est bornée si et seulement si |z1 | ≤ 1 et |z2 | ≤ 1.
Si 0 < a2 < 9/16, les deux zéros z1 et z2 sont réels et positifs (z1 + z2 = 1.5 > 0, z1 z2 = a2 > 0).
Condition pour les
Il seront tous deux inférieurs ou égaux à 1 si
zéros réels : 2 pts
√
1
3 + 9 − 16a2
≤1
⇒
a2 ≥
z2 =
4
2
Cependant, comme montré ci-dessus, le cas a2 = 1/2 doit être écarté car il conduit à une
solution non bornée.
Si a2 > 9/16, les deux zéros z1 et z2 sont complexes. Puisqu’ils sont complexes conjugués l’un Condition pour les
de l’autre, leur module est égal à la racine carrée de leur produit a2 . La solution est donc bornée zéros complexes :
2 pts
si
√
soit si
a2 ≤ 1
(♥)
|z1,2 | = a2 ≤ 1
En conclusion, la réponse du filtre à un signal d’entrée constant est bornée si et seulement si
1
< a2 ≤ 1
2
Conclusion : 1 pt
Total i. : 25 pts.
Si les éléments de réponse relatifs à l’établissement de la solution générale (points
soulignés) sont absents de la solution à la sous-question i. produite par l’étudiant, les
points correspondants peuvent être obtenus aux points ii et/ou iii.
ii. Pour que le signal de sortie tende vers un signal constant de même amplitude que le signal
d’entrée quelles que soient les conditions initiales, il faut
(a) que la solution générale de l’équation homogène correspondante tende vers zéro pour
k → ∞ (pour perdre l’influence des conditions initiales) ;
(b) que la solution particulière soit une constante égale à la valeur X du signal fourni en
entrée.
L’examen de la solution générale (♦) montre que la condition b) est vérifiée si
0.4
X =X
a2 − 0.5
⇒
a2 =
9
10
Condition b) :
3 pts, dont 1 pt pour
la détermination de
a2 = 9/10.
On notera que la condition ne peut être vérifiée si a2 = 1/2.
Si a2 = 9/10, la condition (♥) nous apprend que |z1,2 | < 1, ce qui assure aussi que la solution Condition a) : 3 pts
de l’équation homogène est amortie.
dont 1 pt pour la
Le filtre ne fournira donc (asymptotiquement) la sortie attendue que dans le cas où a2 = 9/10. preuve de yk → 0.
Total ii. : 6 pts.
S’ils n’ont pas déjà été crédités des points correspondants en i., les étudiants
pourront, par exemple, recevoir en ii. les points (soulignés ci-dessus) associés à la
particularisation de l’équation, à la structure de la solution, à la solution générale
de l’équation homogène et/ou à la détermination d’une solution particulière. Dans ce
cas, la note de ii. peut être supérieure à 6 pts.
3
iii. Dans le cas où a2 = 0.75, la solution générale (♦) déterminée au point i. peut être particularisée
en y injectant la valeur de la constante a2 . On a
8
yk = C1 zk1 +C2 zk2 + X
5
où
√
3±i 3
z1,2 =
4
soit
√
z1,2 =
Dès lors
yk =
3 ±iπ/6
e
2
√ !k h
3
kπ
kπ i 8
C1 sin +C2 cos
+ X
2
6
6
5
Les conditions initiales conduisent à

8


y = 0 = C2 + X

 0
5
√ "
√ #
1
8
3
3



y1 = 0 = 2 C1 2 +C2 2 + 5 X
dont on tire successivement
8
C2 = − X
5
et
√
8 3
C1 = −
X
15
La sortie du filtre est donc donnée par
yk = −
Solution
générale dans le cas
a2
=
3/4
sous forme réelle
ou complexe : 2 pts
#
√ !k "
√
kπ
kπ 8
8
3
3
sin +
cos
X+ X
2
6
3
6 5
5
Détermination des
constantes : 4 pts
dont 2 pts pour la
méthode.
Solution : 3 pts
avec maximum 1 pt
si la solution n’est
pas exprimée sous
forme réelle.
Total iii. : 9 pts
S’ils n’ont pas déjà été crédités des points correspondants en i. ou en ii., les étudiants
pourront recevoir en iii. les points (soulignés ci-dessus) associés à la particularisation de
l’équation, à la structure de la solution, à la solution générale de l’équation homogène et/ou
à la détermination d’une solution particulière même si ces éléments sont ici appliqués dans
le cas particulier où a2 = 3/4. Dans ce cas, la note maximale de iii. est 9+12 = 21 pts.
T OTAL : 40
4
PTS
E RREURS
LES PLUS FR ÉQUENTES
i. • La décomposition de la solution en solution générale de l’équation homogène et solution
particulière de l’équation complète doit être justifiée par la linéarité.
• Une solution yk est bornée si
∃ C ∈ R : |yk | ≤ C ∀k
• Pour que la solution soit bornée, il faut que ses deux parties (la solution générale de l’équation
homogène et la solution particulière de l’équation complète) soient bornées. Il faut donc
exprimer les deux parties de la solution pour répondre à la question posée.
• La solution de l’équation homogène est bornée si et seulement si les modules des zéros
simples du polynôme caractéristique sont inférieurs ou égaux à un et les modules des zéros
de multiplicité strictement supérieure à un sont strictement inférieurs à un. Ces conditions
sont valables que les zéros soient réels ou complexes.
• Il ne faut pas oublier dans la discussion les valeurs particulières du paramètre pour lesquelles
la solution change de forme. Dans cet exercice, il s’agit de la valeur a2 = 9/16 pour laquelle
le polynôme caractéristique associé à l’équation homogène a un zéro double et de la valeur
a2 = 1/2 pour laquelle la solution particulière n’est pas une constante.
• On a
p
p
9 − 16a2 = i 16a2 − 9
et non pas
p
p
9 − 16a2 = i 9 − 16a2
comme on peut le lire dans de nombreuses copies dans le cas où 16a2 > 9.
ii. Pour que le signal de sortie tende vers un signal constant de même amplitude que le signal
d’entrée quelles que soient les conditions initiales, il faut qu’il remplisse deux conditions. Il
faut d’une part que la solution générale de l’équation homogène correspondante tende vers zéro
pour k → ∞ (pour perdre l’influence des conditions initiales) et, d’autre part, que la solution
particulière soit une constante égale à la valeur X du signal fourni en entrée.
iii. La solution d’un problème réel doit être exprimée sous forme réelle.
5