Cours MF206 : Ecoulements rampants et laminaires La cuiller dans

Cours MF206 : Ecoulements rampants et laminaires
J-P Hulin et B. Semin
Corrigé de l’examen du Vendredi 20 Mars 2009
La cuiller dans le miel
x
er
h(θ,t)
po e
θ
θ
g
r
y
R
Ω
1°) Dans les conditions de l’approximation de lubrification, les équations se réduisent à :
⎡ ∂ 2 vθ ⎤
1 ∂p
vθ2
1 ∂p
et
0=+g
sin
+
θ
ν
- =-g cos θ
⎢ 2 ⎥
ρ r ∂θ
r
ρ ∂r
⎣ ∂r ⎦
En négligeant la force centrifuge, en prenant y = r-R et en intégrant sur y, on trouve que p(r,θ) =
po + ρg cos θ (h(θ) –y). On a donc 1/(ρr) ∂p/∂θ ≅ gh sinθ/R - g (∂h(θ)/∂θ) cos θ/R : les deux
termes sont inférieurs au terme g sin θ de la seconde équation d’un ordre de grandeur en h/r (au
⎡ ∂ 2v ⎤
moins). L’équation suivant θ se ramène donc à : g sinθ =-ν ⎢ 2θ ⎥ .
⎣ ∂y ⎦
2°)L’équation se ramène aux équations habituelles sur les écoulements parallèles avec comme
condition aux limites vθ = ΩR en y = 0 et, à la surface libre, ∂vθ/∂y=0. D’où :
vθ = (g sin θ/2ν)y(2h-y) +ΩR
(1)
En intégrant cette vitesse vθ(y) entre 0 et h(θ), on trouve un débit (par unité de longueur suivant
Oz):
Q(θ) = (g/ν) sinθ h3/3 + ΩRh(θ)
(2)
A la surface, la vitesse vs(θ) vérifie :
Vs(θ) = g h2 sin θ/2ν +ΩR
(3)
3°) La conservation du débit dans un secteur entre θ et θ+dθ s’exprime en écrivant que la
variation de débit entre θ et θ+dθ doit être compensée par une variation temporelle de l’épaisseur
de la couche de fluide soit: Q(θ)-Q(θ + dθ) = R dθ ∂h(θ,t)/∂t soit :
∂h
1 ∂Q
∂h g ∂ 3
==-Ω
(h sinθ )
∂t
R ∂θ
∂θ 3ν R ∂θ
(4)
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4°) Dans le cas stationnaire on a ∂h(θ,t)/∂t = 0 ce qui conduit à Q(θ) = cst par rapport à t et θ (on
appellera cette constante : Q). Cela veut dire que les variations avec θ de l’effet d’entraînement
par le cylindre parviennent à compenser en tout point celles l’effet de l’écoulement induit par la
gravité et conduisent à :
Q = Ω Rh +
gh 3sinθ
= cst (θ )
3ν
(5)
Sur la surface du film, les maximums et minimums d’épaisseur correspondent à ∂h(θ,t)/∂θ=0. En
gh 2sinθ ⎤ gh 3cosθ
∂h ⎡
. On a donc
dérivant l’équation (5), on arrive à la condition : 0 =
R
+
Ω
⎢
⎥+
3ν
ν
∂θ ⎣
⎦
les extremas de hauteur à θ = ± π/2 et le débit se réduit à la composante de rotation solide pour θ =
0 et θ = π. Aux points d’épaisseur extrémale, la dérivée seconde vérifie :
gh 2sinθ ⎤ gh 3sinθ
∂2h ⎡
: on a donc une dérivée seconde positive pour θ = π/2 et, par
R
+
Ω
⎢
⎥=
3ν
ν
∂θ 2 ⎣
⎦
suite, un minimum d’épaisseur .
Pour θ = 0 et θ = π, Q = ΩRho (où ho = h(0) = h(π)): on doit donc avoir Q du même signe que Ω.
5°) On peut écrire l’équation (5) sous une forme renormalisée en la divisant par Q sous la forme
ΩRho puis en multipliant par (ho/h)3 de façon à avoir une fonction de h/ho sans aucun paramètres
3
2
gh o2
gh 2 sinθ
⎛h ⎞ ⎛h ⎞
avec
α
=
de contrôle à gauche. Cela conduit à : ⎜ o ⎟ - ⎜ o ⎟ = o
= α sinθ
3ν ΩR
3ν ΩR
⎝h⎠ ⎝h⎠
Quand on trace la courbe représentant la fonction du premier membre, on a le résultat suivant :
0.2
(ho/h)3-(ho/h)2
0.1
0.0
-0.1
-4/27
-0.2
0.0
0.5
1.0
1.5
h/ho
2.0
Pour avoir, quel que soit θ, une valeur de ho/h qui convienne avec une variation continue de ho/h
avec θ, il faut que a sin ne devienne jamais inférieur au minimum de la courbe , le cas limite étant
alors obtenu pour sin θ = -1 ce qui conduit à une valeur de α limite de 4/27. Il faut donc avoir :
1/ 2
2 ⎛ ΩRν ⎞
α < 4/27 pour avoir une solution stationnaire ou encore : ho < ⎜
⎟ . En supposant que ho
3⎝ g ⎠
donne un premier ordre de grandeur de l’épaisseur moyenne de la couche, cela conduit à une
1/ 2
⎛ ΩRν ⎞
4π
ρR⎜
masse maximum par unité de longueur de la barre égale à M c = 2πρ Rho =
⎟ . Le
3
⎝ g ⎠
facteur 4π/3 ≅ 4.18 n’est qu’une approximation puisque ho n’est qu’un ordre de grandeur
approximatif de l’épaisseur initiale de la couche: après un calcul plus complexe, Moffat donne la
valeur exacte de 4.428, néanmoins proche de la précédente.
6°) Pour une masse plus grande de fluide, les épaisseurs deviendront trop importantes pour que
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l’entrainement par rotation puisse équilibrer l’entrainement par la rotation dans les zones de forte
épaisseur. Il se formera des bosses sur le profil qui grossiront de plus en plus et finiront par tomber
sous le cylindre.
Ecoulement de Stokes à partir d’un orifice dans un plan solide.
z
y
θ
O
M
vr
ϕ
x
P
1°) Lorsque seule la composante vr est non nulle, l’équation div v = 0 correspondant à
l’incompressibilité devient :
1 ∂ (r 2 vr )
= 0 . r2 vr est constante par rapport à r et ne peut dépendre
2
∂r
r
que de ϕ par suite de la symétrie de révolution autour de l’axe Ox qui rend vr indépendante de θ.
On a donc bien vr = f(ϕ)/r2. Le vecteur vitesse (y compris vr) doit être nul sur la paroi plane qui
correspond à ϕ =π/2: par suite f(π/2) = 0. Le gradient de pression s’écrit à partir des dérivées
secondes de vr : dimensionnellement il doit donc varier comme μ(C/r2)/r2 ou r est toujours la
distance à O (C dépend de ϕ). ce qui donne une variation en μC /r4. On peut donc attendre une
variation de p proportionnelle à μ/r3 (avec un terme additionnel pour avoir la limite p∞ à l’infini).
2°) Les composantes suivant r et ϕ des équations de mouvement deviennent sous les hypothèses
précédentes :
1 ∂p 2μ ∂vr
⎡ 1 ∂ 2 ( rvr ) 1 ∂ 2 vr cotan ϕ ∂vr 2vr ⎤
∂p
tandis que la composante suivant
= 2
=μ⎢
+ 2
+
− 2 ⎥ et
2
2
2
∂
ϕ
∂
ϕ
r
r
∂r
∂
∂
∂
r
r
r
r
r
ϕ
ϕ
⎣
⎦
θ est identiquement nulle. La deuxième équation s’intègre facilement par rapport à ϕ entre ϕ et
2μ
π
2μ
π
π/2 sous la forme : p(ϕ , r ) =
vr (ϕ , r ) + p( , r ) = 3 f (ϕ ) + p ( , r )
r
r
2
2
2
En remplaçant vr par f(ϕ)/r dans la composante suivant r de l’équation de Stokes écrite plus haut,
on trouve que les termes en f s’annulent et qu’il ne reste que des termes en f’ et f" avec :
∂p μ
= 4 ⎡⎣ f " + cotan ϕ f ' ⎤⎦ soit, en intégrant par rapport à r et si la pression p∞ est supposée nulle :
∂r
r
−μ "
2μ
π
π
⎡ f + cotan ϕ f ' ⎤⎦ = 3 f (ϕ ) + p ( , r ) . Cela impose évidemment que p ( , r ) varie
3 ⎣
3r
r
2
2
3
en 1/r comme, d’ailleurs, plus généralement p (ϕ , r ) ce qui correspond bien au résultat de
p (ϕ , r ) =
l’analyse dimensionnelle du 1°).
3°) En supposant que que f(ϕ)=A cos2 ϕ et en reportant dans l’équation précédente, on obtient
r3 ⎛ π ⎞
A
après avoir multiplié les équations par r3/3μ :
p ⎜ , r ⎟ + A cos 2 ϕ = − (1 − 3cos 2 ϕ ) . On a
2μ ⎝ 2 ⎠
3
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2μ A
⎛π ⎞
bien les mêmes termes en cos2ϕ et on obtient alors p ⎜ , r ⎟ = − 3 . En reportant dans
3r
⎝2 ⎠
2μ A
π
2μ A
l’expression de p (ϕ , r ) , on obtient p(ϕ , r ) = 3 cos 2 ϕ + p ( , r ) = − 3 (1 − 3cos 2 ϕ ) .
r
2
3r
On vérifie que cette expression donne la bonne valeur pour ϕ = π/2. La vitesse radiale est :
cos 2 ϕ
vr = A 2 .
r
π /2
π /2
r2
2
4°) On intègre q en intègrant la vitesse avec : q = ∫ vr r sin ϕ dθ dϕ = 2π A 2 ∫ cos 2 ϕ sin ϕ dϕ
r 0
0
D’où, en utilisant pour l’intégration la variable cos ϕ : q = 2πA/3.
μ q (1 − 3cos 2 ϕ )
En reportant dans l’expression de p (ϕ , r ) , on obtient alors : p = −
et, pour la
π r3
3q cos 2 ϕ
.
vitesse : vr =
2π r 2
5°) Le profil de vitesse marque un
maximum dans l’axe (ϕ = 0) et une
zone des faible vitesse près des
parois. Un point intéressant est le
fait que la pression change de signe
pour
l’angle
intermédiaire
1/2
acos(1/3 ) en passant d’une valeur
positive au centre à une valeur
négative sur les bords. Le gradient
de pression radial change donc lui
aussi de sens et tendrait à ralentir l’écoulement près des bords. On a de toute façon en tout point
(puisque l’équation de Stokes est vérifiée) un équilibre entre le gradient de la pression (d’ailleurs
d’origine visqueuse) et celui des contraintes visqueuses telles que σrϕ = μ/r (∂vr/∂ϕ). Ce dernier
signe change, lui aussi, par suite du changement de signe de la courbure du profil de vitesse.
5°) Si on change le sens de l’écoulement les lignes de courant restent les mêmes et les gradients de
pression et la vitesse changent simplement de signe. Si on est à vitesse élevée, les termes inertiels
deviendront importants. Pour un écoulement vers l’extérieur de l’orifice on aura des recirculations
près des parois et on se rapprochera plus d’un jet centré sur l’axe. Pour un écoulement vers
l’intérieur, on n’aura pas de recirculation et l’écoulement ressemblera plus à celui qu’on a ici, bien
que le profil soit différent.
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Ecoulement dans un milieu poreux multizones.1
1°) On a une vitesse superficielle (débit par unité de surface) : Vs =
du front est reliée à la vitesse superficielle par
dx f
dt
en utilisant le fait que xf=0 pour t = 0 : x 2f =
=
k Δp
. La vitesse d’avancée
μ xf
dx f
Vs
k Δp
et on a donc
=
d’où on tire,
∅
μ∅ x f
dt
2k Δp
t (tant qu’on a xf < L). On a donc une
μ∅
augmentation de la distance xf en t0.5 qui évoque la propagation d’un profil de diffusion (comme
dans ce dernier cas, le flux de matière est déterminé par un gradient inversement proportionnel à la
distance de propagation). Cette équation n’est valable que lorsqu’on n’a pas encore atteint la sortie
de l’échantillon (xf < L)
2°) Pour une géométrie donnée, les perméabilités varient comme le carré du diamètre des billes et
des canaux impliqués. Cette hypothèse de l’invariance de la géométrie est acceptable car la
porosité est constante et car on a affaire dans les deux cas à des empilements aléatoires de billes.
dx f
k Δp
3°) Tant que xf < L1, on a toujours l’équation établie au 1°) mais avec k = k1 :
= 1
car la
dt
μ∅ x f
chute de pression est uniquement localisée dans la première partie de l’échantillon (l’autre ne
contient que de l’air). On atteint la limite xf = L1 entre les deux parties du poreux au temps t1 =
μ∅L12
t1 =
. Pour xf < L1 (t<t1), on a exactement la même loi de variation de xf en t1/2 que dans la
2k1Δp
question 1 en remplaçant k par k1.
Pour L1 < xf < L (t > t1), la différence de pression se répartit entre les deux parties de perméabilités
dx f ⎡ L1 x f − L1 ⎤
⎡ L x − L1 ⎤
k1 et k2. On a alors : Δp = μVs ⎢ 1 + f
⎥ = μ∅
⎢ +
⎥ qui peut se réécrire sous la
k2 ⎦
dt ⎣ k1
k2 ⎦
⎣ k1
Δp dx f x f dx f ⎡ 1 1 ⎤
. On intègre cette équation avec la condition aux limites xf
=
+
−
L
μ∅ dt k2 dt 1 ⎣⎢ k1 k2 ⎦⎥
x 2f − L12
⎡1 1 ⎤
Δp
= L1 pour t = t1 ce qui donne :
+ ( x f − L1 ) L1 ⎢ − ⎥ .
(t − t1 ) =
∅μ
2k 2
⎣ k1 k2 ⎦
Juste après la transition entre les deux milieux, et si k2<<k1, les termes en 1/k2 seront négligeables
L
Δp
(t − t1 ) = ( x f − L1 ) 1 . On a alors un
tant qu’on n’aura pas xf>> L1. La variation devient alors :
k1
∅μ
déplacement linéaire au cours du temps qui est contrôlé par la perméabilité (faible) du premier
forme
1
D’après une expérience de M. Reyssat et H. Stone
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milieu qui fournit un débit à peu près constant. La perméabilité du second milieu ne commence à
x 2 − L12
⎡1 1 ⎤
k
intervenir que lorsque : f
≈ ( x f − L1 ) L1 ⎢ − ⎥ soit : x f ≈ 2 L1 2 . Aux distances encore
k1
2k 2
⎣ k1 k2 ⎦
plus grandes, on finit par atteindre un nouveau régime de variation de xf en t1/2 avec, en première
2k Δp
approximation : x f ≅ 2 (t − t1 ) . Cela correspond simplement à l’équation (1) appliquée au
∅μ
second milieu.
4°) Pour un milieu incliné, l’effet de la gravité se combine celui du gradient de pression et on a :
⎤
dx f
k ⎡ Δp
Δp
et
=
⎢ − ρ g sin θ ⎥ . Les deux paramètres caractéristiques sont : xo =
dt
μ∅ ⎣⎢ x f
ρ g sin θ
⎦⎥
v gf =
⎡x
⎤
dx f
k ρ g sin θ
ce qui permet de réécrire l’équation sous la forme :
= v gf ⎢ o − 1⎥ . Les deux
μ∅
dt
⎥⎦
⎣⎢ x f
paramètres ont le même signe que θ. En passant tous les termes en xf au premier membre et en
⎛ x ⎞
décomposant l’intégrant, on obtient : x f + xo Ln ⎜1 − f ⎟ = −v gf t .
xo ⎠
⎝
Pour θ >0 les deux effets de la gravité et du gradient de pression se compensent pour x = xo. Cela
représentera la position limite aux temps longs (à condition, toutefois que xo ≤L). La vitesse -vg
serait la vitesse sous le seul effet de la gravité. L’équation intégrée montre que xf tend
exponentiellement vers xo aux temps longs car le terme logarithmique diverge et devient
dominant. Aux temps courts, l’influence de la gravité est faible et on obtient en développant le Ln
au second ordre xf2 = vfg xot ce qui redonne l’équation de la première question. Quand le milieu est
incliné en sens inverse (θ<0), les équations restent valables mais xo et vg changent de signe. Le
logarithme ne diverge plus car on n’atteint pas de point d’équilibre. Aux temps longs, on finit par
atteindre un régime de vitesse constante x f = −v gf t (noter que v gf est négatif comme sin θ pour ce
sens de l’inclinaison et que xf sera donc >0).