TP5. Equations différentielles, initiation aux schémas numériques

L2-maths
Cours Informatique appliquée aux mathématiques
TP5. Equations différentielles, initiation aux schémas
numériques
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Nous nous proposons de résoudre le problème de Cauchy pour l’équation différentielle
u̇ = f (u),
(1)
c’est-à-dire trouver une fonction u(t) qui vérifie (1) sur un intervalle (0, T ), avec une condition initiale u(0) = u0 , et ce par plusieurs moyens.
Programmation 1 (Schéma d’Euler Explicite).
On se donne des points t0 = 0 < t1 < . . . < tN = T , espacés de h, et on définit une suite
par
un+1 − un
= f (un )
h
1. Ecrire une fonction
function [t,u]=Euler(f,T0,Tfinal,u0,N);
% EULER solves the differential equation du/dt=f(u) with forward Euler
%
function [t,u]=Euler(f,T0,Tfinal,u0,N) solves the system of
%
first order ordinary differential equations du/dt=f(u) using
%
the forward Euler method. f is a string containing the function
%
name of the right hand side, the simulation runs from starting time
%
T0 to the final time Tfinal, starting with the initial value u0
%
doing N steps.
.
2. L’appliquer à f (u) = u sur l’intervalle [0, 1] pour N = 10 avec u0 = 1.
3. Tracer sur le même graphique la solution exacte U et la solution du schéma u, définie sur
les points de grille. Calculer l’erreur maximale e = max|U (ti ) − ui |.
4. Reproduire les calculs pour N = 10, 20, 40. Calculer les erreurs e1 , e2 , e3 . Représenter ces
quantité sur un graphique en échelle log-log. Que remarquez vous ? Pourquoi ?
Programmation 2 (Schéma de Runge).
1. On introduit le script
function [t,u]=Runge(f,T0,Tfinal,u0,n);
% RUNGE solves the differential equation du/dt=f(t,u) using Runge’s method
%
function [t,u]=Runge(f,T0,Tfinal,u0,n) solves the system of
%
first order ordinary differential equations du/dt=f(t,u) using
%
Runge’s 2nd order method. f is a string containing the function
%
name of the right hand side, the simulation runs from starting time
%
T0 to the final time Tfinal, starting with the initial value u0
%
doing n steps of integration.
dt=(Tfinal-T0)/n;
u(:,1)=u0;
t=T0;
for i=1:n,
Y1=u(:,i);
Y2=u(:,i)+dt/2*feval(f,t,Y1);
u(:,i+1)=u(:,i)+dt*feval(f,t+dt/2,Y2);
t=t+dt;
end;
t=(T0:dt:Tfinal)’;
u=u’;
A quelle discrétisation de l’équation différentielle correspond-il ?
2. L’appliquer à f (u) = −u sur l’intervalle [0, 1] pour N = 10 en écrivant un script
function r=f(t,u)
.
3. Tracer sur le même graphique la solution exacte U et la solution du schéma ur, définie
sur les points de grille. Calculer l’erreur maximale e = max|U (ti ) − uri |.
4. Reproduire les calculs pour N = 10, 20, 40. Calculer les erreurs er1 , er2 , er3 . Représenter
ces quantités sur un graphique en échelle log-log en même temps que les erreurs sur le
schéma d’Euler. Que remarquez vous ? Qu’est-ce que cela signifie ?
Vous devez obtenir quelque chose comme ça :
−1
10
Euler explicite
Runge
pente 1
pente 2
−2
10
−3
10
−4
10
−5
10
1
10
Exercice 1 (Résolution exacte).
On cherche maintenant à résoudre le Problème de Cauchy
u̇ = u(1 − u).
(2)
1. Montrer que la solution générale de l’équation (2) s’écrit, dans certaines conditions, sous
la forme
Cet
u=
1 + Cet
Calculer la constante C pour que u(0) = 12 .
2. Calculer des solutions approchées par les schémas de Euler et Runge.
Programmation 3 (Schéma d’Euler implicite).
1. On considère maintenant l’équation linéaire f (u) = 20u, sur l’intervalle de temps [0, 1],
avec 10 points. Tracer sur le même schéma la solution approchée calculée avec le schéma de
Euler implicite, et la solution exacte. Que constatez vous ? C’est un problème de stabilité.
2. On introduit le schéma de Euler implicite
un+1 − un
= f (un+1 )
h
Ecrire le script matlab permettant de réaliser ce schéma pour f (u) = 20u. Tracer la
solution sur le même graphique que précédemment (utiliser la fonction hold on). Que
constatez vous ?
3. Comment proposez-vous d’utiliser ce schéma pour une fonction f non linéaire du type de
celle rencontrée dans l’exercice précédent.