Charge du condensateur Pour s`entraîner : la méthode d`Euler
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Charge du condensateur Pour s`entraîner : la méthode d`Euler
Physique – Terminale S Chapitre 6 Exercice - correction Charge du condensateur Pour s’entraîner : la méthode d’Euler (correction) Nous allons étudier la charge du condensateur en confrontant un modèle théorique fourni par la méthode d’Euler et les résultats expérimentaux. Le circuit d’étude est le suivant. E 1 R K i A C R = 5 000 Ω C = 10,6 µF E = 5,0 V B 2 uR uC Le condensateur étant initialement déchargé (position 2 de l’interrupteur), on bascule l’interrupteur sur la position 1 à une date choisie comme t = 0. On relève les valeurs de la tension uC(t) aux bornes du condensateur en fonction du temps. t (ms) uC (V) t (ms) uC (V) t (ms) uC (V) 0 0 10 20 0,860 1,572 30 2,161 40 50 2,649 3,053 60 70 3,388 3,665 80 90 100 3,895 4,085 4,242 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 4,373 4,480 4,570 4,644 4,705 4,756 4,798 4,833 4,861 4,885 4,905 220 4,921 230 4,935 240 4,946 250 4,955 260 4,963 270 4,969 280 4,975 290 4,979 300 310 320 4,983 4,986 4,988 1. Tracer la courbe représentative de uC(t). [2 Pts] 2. En justifiant, écrire l’équation à laquelle obéit uC(t), la tension aux bornes du condensateur. [1 Pt] D’après la loi d’additivité des tensions, E = uC(t) + uR(t) D’après la loi d’Ohm, du dq u R (t ) R i (t ) R A RC C dt dt Ainsi, du E u AB (t ) RC AB dt ce qui s’écrit encore duC 1 E uC (t ) dt RC RC Physique – Terminale S Chapitre 6 Exercice - correction Qu’est-ce que la méthode d’Euler ? La méthode d’Euler permet d’obtenir une valeur approchée d’une valeur d’une fonction en un point lorsque la fonction elle-même n’est pas connue explicitement, mais en connaissant sa valeur en un autre point et sa dérivée (ce qui est déjà beaucoup, mais pas impossible). Elle permet alors également la construction d’une représentation graphique approchée de la fonction étudiée. Concrètement, la méthode d’Euler repose sur l’utilisation de l’approximation affine de la fonction : si f est dérivable sur un intervalle I, x1 et x2 des réels de I, avec x2 proche de x1, alors : f(x2) ≈ f(x1) + (x2 – x1) × f ’(x1). donc si l’on connaît f(x1) et f ’(x1), alors on obtient ainsi une valeur approchée de f(x2). Plus concrètement encore, plus x2 est proche de x2, moins l’erreur commise sur f(x2) est grande, ce qui, connaissant f(x1), conduit à l’idée d’obtenir f(x2), b étant fixé, par une suite de valeurs intermédiaires de f entre f(x1) et f(x2). Dans notre problème physique, nous rappelons que la variable est le temps t et que la fonction f étudiée est uC(t). On appelle Δt le pas de la méthode d’Euler, c’est-à-dire l’écart entre deux mesures. Expérimentalement, nous avons considéré Δt = 10 ms (une mesure toutes les 10 ms, cf. tableau). 3. Montrer que l’équation trouvée au 2. peut se mettre sous la forme canonique u ' a u b en explicitant les termes a et b en fonction de E, de C et de R. [1 Pt] duC 1 E On peut remarquer que équivaut à u ' a u b avec uC (t ) dt RC RC 1 1 a soit a 18,9 s RC 5000 10,6.106 E 5, 0 b soit b 94,3V .s 1 6 RC 5000 10,6.10 4. En appliquant la méthode d’Euler, montrer que u t t u (t ) u '(t ) t . [0,5 Pt] D’après la méthode d’Euler, connaissant u(t) et u’(t) à un instant t, on peut approcher la fonction u à un instant ultérieur t + Δt par u t t u (t ) t t t u '(t ) u t t u (t ) u '(t ) t 5. En utilisant 3., en déduire que u t t 1 a t u t b t . [0,5 Pt] Comme u '(t ) a u (t ) b , u t t u (t ) a u (t ) b t et en regroupant les termes, u t t 1 a t u t b t 6. Partant de t = 0, constituer un tableau permettant de calculer les valeurs théoriques de uC,th(t) par itération toutes les Δt = 10 ms. Vous pourrez éventuellement utiliser une calculatrice ou un tableur. [2 Pts] t (ms) uC (V) 0 0 10 20 0,943 1,708 30 2,328 40 50 2,831 3,239 60 70 3,570 3,838 80 90 100 4,056 4,232 4,375 Physique – Terminale S Chapitre 6 t (ms) uC (V) t (ms) uC (V) Exercice - correction 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 4,491 4,585 4,662 4,724 4,774 4,815 4,848 4,874 4,896 4,914 4,928 220 4,940 230 4,949 240 4,957 250 4,963 260 4,968 270 4,972 280 4,975 290 4,978 300 310 320 4,980 4,982 4,983 7. Tracer la courbe théorique uC,th(t) sur le graphique précédent. [1 Pt] 8. Comparer les courbe uC(t) et uC,th(t). Commenter. [2 Pts] Tension aux bornes du condensateur U (V) 6,000 5,000 4,000 3,000 Uc 2,000 Uc,th 1,000 t (s) 0,000 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 On rappelle que la méthode d’Euler est une méthode numérique itérative permettant la résolution approchée des équations différentielles du 1er ordre. On peut remarquer que l’accord entre les résultats expérimentaux et les résultats de la méthode d’Euler sont tout à fait concordants. Toutefois, il faut insister sur le fait que la méthode d’Euler dépend du choix du pas de résolution : plus ce pas Δt est faible, plus l’accord est grand… En effet, sur le fichier Excel, on a réalisé le tracé des courbes pour un pas Δt = 0,005 s puis pour un pas Δt = 0,001 s : on constate bien que plus le pas est faible, plus l’accord à l’expérience est bon…. Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes du condensateur U (V) U (V) 6,000 6,000 5,000 5,000 4,000 4,000 uC,th(t) (V) 3,000 3,000 UC (V) uC,th(t) (V) Pas : Dt = 0,001 UC (V) 2,000 2,000 Pas : Dt = 0,005 s 1,000 1,000 t (s) 0,000 0,000 0,000 t (s) 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350