Chapitre 12 Transformée de Fourier des distributions

Chapitre 12
Transformée de Fourier
des distributions
12.1
Introduction
La définition naturelle de la transformée de Fourier d’une distribution T , devrait
être
∀ϕ ∈ D , < F(T ), ϕ >= < T, F(ϕ) >
Mais il y a un problème car on peut démontrer qu’une fonction à support borné
a une transformée de Fourier dont le support n’est pas borné, donc si ϕ ∈ D on
est sûr que F(ϕ) n’est pas dans D sauf si ϕ est identiquement nulle. D’où la
nécessité de réduire les contraintes que l’on a imposées à l’ensemble des fonctions
test.
On considère un nouvel ensemble de fonctions test : l’ensemble S des fonctions
indéfiniment dérivables à décroissance rapide à l’infini.
Définition 12.1
Une fonction est dite à décroissance rapide si et seulement si
∀ k et i entiers
xk ϕ(i) (x) → 0
x→±∞
1
Ainsi par exemple exp(−x2 ) ∈ S mais 1+x
/S .
2 ∈
Cet espace de fonctions à décroissance rapide, S , a les propriétés suivantes par
rapport à la transformée de Fourier.
Proposition 12.1 L’espace des fonctions infiniment dérivables et à décroissance
rapide noté S est inclus dans L1 (IR) ∩ L2 (IR) .
S est stable par transformée de Fourie , c. à d.
∀ϕ ∈ S,
F(ϕ) ∈ S
89
90
12.2
Mathématiques du signal
Définitions des distributions tempérées
Définition 12.2 On appelle distribution tempérée toute application linéaire
continue définie sur S et à valeur dans C . Cet ensemble est le dual de S et on
le note donc S 0 .
On vérifie que S 0 est un sous ensemble de D0 . Il contient entre autre toutes
les distributions régulières
associées à des fonctions f dites à croissance lente.
R
Dans l’intégrale f (t)ϕ(t)dt , cette croissance lente de f est tempérée par la
décroissance rapide des fonctions test ϕ ∈ S. Cet ensemble S 0 est appelé ensemble
des distributions tempérées.
Une fonction est à croissance lente à l’infini (c’est à dire à croissance au plus
polynômiale à l’infini) ssi :
∃c > 0, ∃n ∈ N
tq
∀x ∈ IR
|f (x)| ≤ c(1 + x2 )n
Proposition 12.2 L’ensemble des distributions tempérées S 0 contient toutes
les distributions à support borné comme les Dirac, les dérivées des Dirac et
les distributions régulières associées aux fonctions à croissance lente comme les
polynômes, les fonctions périodiques localement sommables.
Ainsi par exemple [exp(x)] est une distribution (∈ D0 ), mais elle croit trop vite à
+∞ et elle n’est pas dans S 0 .
Proposition 12.3 Soit T
1) la distribution dérivée T 0
2) si P (t) est un polynôme
3) si g(t) est une fonction
12.3
une distribution tempérée, alors :
est aussi dans S 0
P (t)T et P (t) ∗ T sont aussi S 0 .
bornée dans C ∞ (IR) alors g(t)T est dans S 0 .
Transformée de Fourier dans S 0
Pour toute fonction f de L1 (IR) ou de L2 (IR) , la distribution [f ] est une
distribution à croissance lente à l’infini (car elle ne croit pas à l’infini ) donc
dans S 0 . Et on a :
Z
Z
+∞
∀ϕ ∈ S
+∞
F(f )(y) ϕ(y) dy =
−∞
f (x) F(ϕ)(x) dx
−∞
Les distributions
En effet
Z
91
Z
+∞
+∞
µZ
F(f )(y) ϕ(y) dy =
−∞
¶
+∞
f (x) exp(−2iπyx)dx ϕ(y) dy
−∞
Z +∞
Z
−∞
Z +∞
µ−∞
Z +∞
=
=
Z
−∞
+∞
=
−∞
+∞
f (x) exp(−2iπyx)ϕ(y) dxdy
¶
ϕ(y) exp(−2iπyx)dy f (x) dx
−∞
f (x) F(ϕ)(x) dx
−∞
donc on a alors h [F(f )] , ϕ i = h [f ] , F(ϕ) i. On peut donc généraliser à toute
distribution tempérée la notion de transformée de Fourier.
Définition 12.3 Soit une distribution tempérée T (T ∈ S 0 ) on appelle transformée de Fourier de T la distribution tempérée notée F(T ) définie par :
∀ϕ ∈ S , < F(T ), ϕ >=< T, F(ϕ) >
La transformée de Fourier inverse F −1 (T ) est définie par :
∀ϕ ∈ S , < F −1 (T ), ϕ >=< T, F −1 (ϕ) >
Dans le cas où f ∈ L1 (IR) ∪ L2 (IR) , F(f ) existe au sens des fonctions, [f ] une
distribution tempérée et sa transformée de Fourier est la distribution tempérée
associée à la fonction F(f ) :
F([f ]) = [F(f )]
On a bien une généralisation de la transformée de Fourier des fonctions.
Exemple 12.1 Transformée de Fourier d’un Dirac δa .
Démonstration : On a
∀ϕ ∈ S , h F (δa ), ϕ i = h δa , F(ϕ) i = F(ϕ)(a)
Z +∞
=
exp(−2iπνa)ϕ(ν) dν = h [exp(−2iπνa)] , ϕ i
−∞
d’où
F(δa ) = [exp(−2iπνa)] = exp(−2iπνa)
On omet souvent les crochets quand il est clair qu’il sagit de distributions. On a
en particulier :
F(δ) = 1
92
Mathématiques du signal
Exemple 12.2 Transformée de Fourier de la distribution tempérée associée à
la fonction constante égale à 1 (fonction qui n’est ni L1 (IR) ni L2 (IR) et dont la
transformée de Fourier au sens des fonctions n’existe pas !).
Démonstration : On a :
Z
Z
+∞
h F(1), ϕ i = h 1, F(ϕ) i =
+∞
F(ϕ)(ν) dν =
−∞
exp(2iπν0)F(ϕ)(ν) dν
−∞
= F −1 F(ϕ)(0) = ϕ(0) = h δ , ϕ i
donc
F(1) = δ
Voici quelques résultats utiles concernant la transformée de Fourier de distributions tempérées usuelles.
F(δ0 ) = 1
F(δ(t − a)) = e−2iπva
F(δ (m) ) = (2iπv)m
F(1) = δ0
(12.1)
et
F(e2iπta ) = δ(ν − a)
(12.2)
et
X
X
F(
δ(t − n)) =
δ(ν − n)
n∈Z
et
n∈Z
et
F(tm ) =
1
δ (m)
(−2iπ)m
(12.3)
X
1X
n
F(
δ(t − nθ)) =
δ(ν − ) (12.4)
θ n∈Z
θ
n∈Z
Les deux dernières formules, qui concernent le peigne de Dirac, ne sont pas simples
à démontrer mais elles sont d’une importance capitale pour comprendre le lien
entre un signal continu et le signal échantillonné.
D’une manière générale , la transformée de Fourier d’une distribution tempérée a
des propriétés similaires à celles vues pour les fonctions de L1 (IR) ou de L2 (IR).
Voici ces propriétés.
Théorème 12.1 La transformée de Fourier est une application linéaire bijective
de S 0 dans S 0 et on a :
F −1 (F(T )) = F(F −1 (T )) = T
(12.5)
et comme pour les fonctions
F −1 (T )(ν) = F(T ))(−ν)
On retrouve aussi les propriétés du produit de convolution.
(12.6)
Les distributions
93
Théorème 12.2 Si les quantités ci-dessous sont définies et dans S
F(S ∗ T ) = F(S)F(T )
et
0
alors on a:
F(S.T ) = F(S) ∗ F (T ) (12.7)
Le produit de convolution et les transformées de Fourier des distributions
tempérées usuelles permettent de démonter facilement que la transformée de Fourier des distributions tempérées vérifie les mêmes propriétés que la transformée
de Fourier des fonctions.
Théorème 12.3 Propriétés de la transformée de Fourier des distributions tempérées
F(T 0 ) = 2iπνF(T )
F(T
(m)
)(ν) = (2iπν)m F(T )(ν)
F(T (t − a)) = e−2iπνa F(T )
F(T )0 = F(−2iπtT )
et
et
et
F(T (at))(ν) =
dn F(T )(ν)
dν n
= F((−2iπt)m T )(ν)
F(e2iπta T ) = F(T )(ν − a)
1
F(T (t))( νa )
|a|
Démonstration : En effet considérons par exemple la transformée de Fourier
de la dérivée T 0 , on sait que T 0 = δ 0 ∗ T , en utilisant (12.7) et (12.3) qui donnne
F(δ 0 ) = 2iπν , on obtient
F(T 0 ) = F(δ 0 ∗ T ) = F(δ 0 )F(T ) = 2iπνF(T )
De même, par exemple la transformée de Fourier de la translatée :
F(T (t − a)) = F(δa ∗ T ) = F(δa )F(T ) = e−2iπva F(T )
Mais il y a aussi des propriétés propres aux distributions tempérées.
Théorème 12.4 Si T est une distribution tempérée à support borné alors
sa transformée de Fourier F(T ) est une distribution régulière associée à
une fonction de classe C∞ .
Théorème 12.5 Si la suite de distributions tempérées Tn tend vers T alors
la suite des transformées de Fourier F(Tn ) tend vers F(T ) .
Cette propriété n’est pas vérifiée dans le cas des fonctions comme on peut le voir
sur des exemples.
94
12.4
Mathématiques du signal
Transformées de Fourier
des distributions périodiques
On a déjà vu que pour obtenir une distribution périodique à l’aide d’une
distribution T , il suffit de faire le produit de convolution de T avec un peigne de
Dirac. Le théorème suivant montre, qu’inversement, toute distribution périodique
est le produit de convolution d’une distribution avec un peigne de Dirac.
Théorème 12.6 Si T est périodique de période θ, alors il existe une distribution
T0 , dont le support a une longueur inférieure ou égale à θ, et telle que :
X
T = T0 ∗
δ(t − nθ)
n∈Z
et alors sa transformée de Fourier est un peigne de Dirac modulé dont les
Dirac sont en nθ avec n ∈ Z.
X
n
1
n
F(T ) =
cn δ(ν − ) où cn = F(T0 )( )
θ
θ
θ
n∈Z
Démonstration : En effet d’après (12.4)
X
F(T ) = F(T0 ) ∗ F(
δ(t − nθ))
n∈Z
= F(T0 ) ∗
1X
θ
n∈Z
δ(ν −
n
1X
n
)=
F(T0 ) ∗ δ(ν − )
θ
θ n∈Z
θ
Or d’après le théorème ci-dessus, la transformée de Fourier d’une distribution
tempérée à support borné est une distribution régulière associée à une fonction
de classe C∞ , et par ailleurs on sait que pour g ∈ C∞ on a g(t)δa = g(a)δa ,
P
donc en notant cn = 1θ F(T0 )( nθ ), on obtient F(T ) =
cn δ nθ .
n∈Z
Corollaire 12.1 Si f est une fonction périodique et si les coefficients la série de
Fourier complexe sont notés cn alors la transformée de Fourier de la distribution
tempérées [f ] est
X
F([f ]) =
cn δ nθ
n∈Z
Démonstration : En effet si f0 est le motif de la fonction périodique f , on a
P
P
f (t) =
f0 (t−nθ) donc [f ] = [f0 ]∗
δ(t−nθ) et donc comme f0 est sommable,
n∈Z
n∈Z
Rθ
Rθ
n
F([f0 ]) = [F(f0 )] . Or F(f0 )(ν) = 0 f0 (t) e−2iπνt dt et 1θ 0 f0 (t) e−2iπ θ t dt n’est
autre que le coefficient noté cn de la série de Fourier complexe de la fonction
périodique f .
Les distributions
12.5
95
Echantillonnage
Problème : Une fonction continue sur IR peut-elle être définie de façon unique
si l’on connait cette fonction sur un ensemble discret de points régulièrement
espacés ?
A priori il faut que cette fonction varie de façon régulière sinon il n’y a aucun
raison d’avoir l’unicité.
Le théorème fondamental suivant donne une condition suffisante pour que cela
soit possible.
Théorème 12.7 d’échantillonnage de Shannon-Nyquist
Si f est une fonction continue dont la transformée de Fourier est nulle hors
de [−ν0 , ν0 ] alors :
1) F(f ) étant à support borné, sa tranformée inverse est de classe C ∞ et
f (t) = F −1 (F(f ))(t)
pour tout t ∈ IR
2) f (t) est définie à l’aide de ses valeurs aux points
f (t) =
X
n∈Z
f(
n
2ν0
(12.8)
par la formule :
n sin π(2ν0 t − n)
)
2ν0
π(2ν0 t − n)
(12.9)
En traitement du signal, on dit que la fréquence d’échantillonnage d’un signal dont
les fréquences vont de 0 à la fréquence maximale fmax = ν0 doit être échantillonné
avec une fréquence supérieure à 2fmax .
96
Mathématiques du signal
12.6
Utilisation de la transformée de Fourier
des distributions
On va pouvoir calculer la transformées de Fourier d’une fonction polynomiale par
morceaux sans calculer d’intégrales.
Exemple 12.3 Soit F(T ) = ∆a (t), cette fonction est sommable elle a une
transformée de Fourier qui est une fonction continue, et comme f est à support
borné, F(f )(ν) est dans C ∞ (IR), et de plus F(f )(ν) doit être réelle et paire
comme f .
En calculant les dérivées successives de la distribution régulière [f ], on obtient :
1
[∆a ] ” = (δ−a − 2δ0 + δa )
a
d’où
1
1
1
F([∆a ] ”) = (e2iπva − 2 + e−2iπva ) = (2 cos(2πνa) − 2) = − 4(sin(πνa))2
a
a
a
or
F([∆a ] ”) = (2iπva)2 F([∆a ])
donc
1
− (2πv)2 F([∆a ]) = − 4(sin(πνa))2
a
Comme ∆a est dans L1 (IR) , F(∆a ) est une fonction continue sur IR.
F([∆a ]) est donc une distribution régulière associée à une fonction continue, la
relation ci-dessus impose l’égalité des fonctions pour tout v appartenant à IR :
1
(2πv)2 F(∆a ) = 4(sin(πνa))2
a
d’où
1
F(∆a )(ν) =
a
µ
sin(πνa)
πv
¶2
Avant de traiter un autre exemple nous allons établir un résultat général utile.
Proposition 12.4 1) Si T est une distribution qui vérifie l’équation tT = 0
alors T = aδ où a est une constante arbitraire.
2) Si T est une distribution qui vérifie l’équation tn T = 0 où n est un entier
alors T est de la forme T = a0 δ + a1 δ 0 + a2 δ ” + a3 δ (3) + .... + an δ (n) où les ai
sont des constantes arbitraires.
Les distributions
97
Démonstration 1) En effet tT = 0 est évidemment vérifié si T est un δ0 et plus
généralement si T = aδ0 où a est une constante réelle ou complexe arbitraire.
On démontre qu’il n’y a pas d’autres T possibles vérifiant l’équation tT = 0
que T = aδ0 .
2) pour l’équation tn T = 0 , on établit le résultat en faisant une récurrence.
Voici un exemple d’application de ce résultat :
Exemple 12.4 On cherche la ou les solutions de l’équation tS = 1, où S est une
distribution.
Démonstration Il est tentant de penser que 1t est une solution mais on sait
que la fonction 1t n’est pas localement sommable donc elle ne définit pas une
distribution régulière. Par contre comme 1t est impaire, on peut vérifier que la
limite suivante est finie, c’est ce qu’on appelle la valeur principale de l’intégrale :
¶
µZ −²
Z +∞
Z +∞
ϕ(t)
ϕ(t)
ϕ(t)
vp
dt = lim
dt +
dt
²→0
t
t
t
−∞
−∞
+²
Cette expression permet de définir une distribution singulière appelée pseudofonction de 1t et notée P f 1t (ou aussi valeur principale de 1t et notée vp 1t
).
Z +∞
ϕ(t)
1
∀ϕ ∈ D ou S, < P f , ϕ >= vp
dt
t
t
−∞
Il est facile de vérifier que la pseudo-fonction P f 1t est bien une solution de tS = 1.
En effet on a :
1
1
∀ϕ ∈ D ou S, < tP f , ϕ >= < P f , tϕ(t) >
t Z
t
Z +∞
+∞
tϕ(t)
= vp
dt =
ϕ(t)dt =< 1, ϕ >
t
−∞
−∞
Et donc tP f 1t = 1, et S0 = P f 1t est bien une solution de tS = 1 . Mais ce n’est
pas la seule.
Puisque tS = 1 et que tS0 = 1 , on en déduit que t(S − S0 ) = 0 or d’après
la proposition ci- dessus il faut donc que (S − S0 ) = aδ où a est une constante
quelconque, et par conséquent S = S0 + aδ .
L’équation tS = 1 a donc une infinité de solutions de la forme
S = Pf
où a est une constante arbitraire.
1
+ aδ
t
98
Mathématiques du signal
Exemple 12.5 Quelle est la transformée de Fourier de la fonction échelon Y (t) ?
Démonstration : Cette fonction n’est pas sommable, elle n’ a pas une transformée de Fourier au sens des fonctions, mais comme elle est borné, elle est à
croissance lente à l’infini, elle définie donc une distribution tempérée qui a une
transformée de Fourier.
En dérivant on obtient :
[Y (t)]0 = δ0
or
F([Y (t)]0 ) = 1
d’où
F([Y (t)]0 ) = (2iπva)F([Y (t)])
donc
(2iπv)F([Y (t)]) = 1
Mais là , les choses sont un peu moins simples que précédemment , car on a vu
qu’on ne peut pas dire que
F([Y (t)]) =
1
2iπv
1
D’abord parce que 2iπv
n’est pas localement sommable et d’autre part, parce que
l’on sait que νS(ν) = 1 n’a pas une solution unique.
D’après l’exemple ci-dessus , on sait que :
F([Y (t)]) =
1
1
P f + aδ(ν).
2iπ
ν
Cependant comme la distribution échelon est parfaitement déterminée, il doit en
être de même de sa transformée de Fourier F([Y (t)]). Il faut donc déterminer la
valeur de la constante a.
Pour cela on utilise
des considérations
de parité.
£
¤
1
La distribution Y (t) − 2 est impaire donc sa transformée de Fourier aussi . Or :
·
¸
1
1
1
1
F( Y (t) − )(ν) =
P f + aδ(ν) − δ(ν)
2
2iπ
ν
2
la pseudo-fonction P f ν1 est impaire mais
a − 12 = 0 .
Et par conséquent :
F([Y (t)])(ν) =
δ(ν) est paire, donc on doit avoir
1
1 1
P f + δ(ν).
2iπ
ν 2