PROBABILITES CONDITIONNELLES I. Rappels sur les probabilités
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PROBABILITES CONDITIONNELLES I. Rappels sur les probabilités
PROBABILITES CONDITIONNELLES I. Rappels sur les probabilités 1. probabilité d'un événements Une expérience aléatoire a plusieurs issues dont la réalisation dépend du hasard. Un événement est une issue ou un ensemble d'issues. Propriétés : * Une probabilité est un nombre compris entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain) * la somme des probabilités des différentes issues de l'expérience aléatoire égale 1 vocabulaire: * A un événement : on note A l'événement contraire de A = non A et on a : p A =1 – p A * 2. probabilités dans une situation d'équiprobabilité lorsque tous les cas sont équiprobables , alors pour un événement A on a: p A= nombre de cas favorables à A nombre d ' éléments de A = nombre de cas possibles nombre total d ' éléments = Dans cette situation, le calcul de probabilités se ramène à un problème de dénombrement : il faut compter “le nombre de cas favorables” et “le nombre de cas possibles” II. . PROBABILIT2 CONJOINTE ; PROBABILIT2 CONDITIONNELLE 1. diagramme de Venn On a la formule : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) 2. ne pas confondre A et B sont deux événements * probabilité conjointe: p A∩ B= nombre de cas favorables à A et à B nombre d ' éléments de A∩ B = nombre de cas possibles nombre total d ' éléments c'est la probabilité qu'un élément soit dans A et dans B * probabilité conditionnelle: p A B= nombre de cas favorables à B , dans A nombre d ' éléments de A∩ B = nombre de cas possibles , dans A nombre total d ' éléments de A c'est la probabilité de B, sachant A c'est la probabilité qu'un élément appartenant à A soit dans B attention : ne pas confondre p(A ∩ B) et pA(B) p(A ∩ B) est la proportion d’éléments de A ∩ B par rapport à l’ensemble total p A B= p A∩ B p A est la proportion d’éléments de A ∩ B par rapport au sous-ensemble A II. . SITUATION DE DOUBLE PARTITION 1. différentes présentations tableau à double entrée: A A diagramme de Venn: total B B p(B) p( A ∩B) p(A∩B) p(A∩ B ) p( A ∩ B ) p( B ) total p(A) p( A ) 1 arbres: B p A ∩ B= p A× p A B B = p A× p A B p A ∩B B p A ∩ B= p A × p A B B = p p A∩B A × p A B A A A p A ∩ B= p B× p B A A p A ∩ B= p B× p B A A = p B × p B A p A ∩B A = p B × p B p A∩B A B B 2. formules correspondantes Important : les probabilités conjointes situées au bout des branches des deux arbres sont égales : p(B∩A) = p(A∩B) On constate les formules suivantes: B ) * formule des probabilités totales: p A= p A ∩B p A∩ * formules liant les probabilités conditionnelles et les probabilités conjointes : p A B= p A∩ B p A p A ∩ B= p A× p A B = p B× p B A * formule des événements contraires: p A p A =1 p A B p A B =1 ⇔ p A B =1− p A B