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PROBABILITES
I) Vocabulaire des probabilités
Exemple : Lancer un dé est une expérience aléatoire comportant 6 issues ; l’ensemble Ω de toutes les issues est appelé
univers des possibles et est dans cet exemple Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Langage des ensembles
A est une partie de Ω
B est un singleton
C est égal à Ω
D est vide
E est la réunion de A et B
F est l'intersection de A et
G
A et B sont disjoints
A et H sont
complémentaires
Langage des événements
A est un événement
B est un événement
élémentaire
C est l’événement certain
l’événement D est
impossible
E est l’événement A ou B
Notation
A⊂ Ω
Exemples avec le jet d'un dé
« obtenir un nombre pair » : A = {2,4,6}
« obtenir 5 » : B = {5}
C=Ω
D=∅
« obtenir un résultat compris entre 1 et 6 »
« obtenir 7 »
E =A ∪ B
« obtenir 2,4,5 ou 6 » : E = {2,4,5,6}
G : « obtenir un multiple de 3 » G = {3,6}
F est l’événement A et G F =A ∩ G F : « obtenir 6 » F = {6}
A et B sont des
A ∩ B= ∅ A : « obtenir un nombre pair »
événements incompatibles
B : « obtenir 5 »
A et B sont des
A : « obtenir un nombre pair »
événements contraires
H
: « obtenir un nombre impair »
H= A
II) Calcul des probabilités
1) Définition et premières propriétés
La probabilité d'un événement A d'un univers Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le
constituent.
p(Ω) = 1 ;
p(∅) = 0 ;
Pour tout événement A : 0 ≤ p(A) ≤ 1.
Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobabilité), on a :
nombre de cas favorables
nombre d' éléments de A
p(A) =
=
.
nombre de cas possibles
nombre d' éléments de Ω
2) Théorèmes
a) Si A et B sont deux événements incompatibles, on a : p( A∪B ) = p(A) + p(B) ;
b) Pour tout événement A, la probabilité de l’événement contraire A est : p( A ) = 1 − p(A).
c) De manière générale, p(AUB) = p(A) + p(B) . p(AVB).
III) Des méthodes
1) Utilisation de schémas, arbres, tableaux : à ne pas négliger...
2) La modélisation de l’expérience aléatoire et de ses issues est indispensable pour mener à bien tout exercice de
probabilités ; notamment pour déterminer le nombre d’issues.
3) Principe multiplicatif :
• On répète n fois une expérience qui comporte p issues : on définit ainsi une nouvelle expérience aléatoire comportant
pn issues (Ex : loto sportif).
• Les procédures de classement ou répétition sans remise :
1er exemple : On tire successivement 2 boules d’une urne qui contient 6 boules indiscernables au toucher ; on a 6
possibilités pour la 1 ère, 5 pour la 2 ème, ce qui donne 30 issues possibles.
2ème exemple : Le tiercé relatif à une course avec 13 chevaux au départ, il y a 13×12×11 « combinaisons »
possibles.
Probabilités
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