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Corrigé devoir maison n°4
Mardi 8 novembre 2011
Problème
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗i , ⃗j )
Partie 1 : puissance d'un point par rapport à un cercle.
Soient C un cercle de centre Ω et de rayon R et M un point du plan.
On définit la puissance (expression due au mathématicien suisse, Jacob Steiner (1796-1863) ) de M
par rapport au cercle C par :
2
2
P (M , C)=Ω M R .
1-a- La plus petite valeur possible de la puissance d'un point par rapport à C, est obtenue lorsque
Ω M 2 =0 . Dans ce cas, elle vaut R 2 , et elle est obtenue au point Ω .
La plus petite valeur possible de la puissance d'un point par rapport à C, est R 2 .
Elle est obtenue au point Ω .
b-Ensembles des points M du plan tels que :
P (M , C)>0 . Dans ce cas on doit avoir : P (M , C)>0 ⇔Ω M 2R2 >0 ⇔Ω M 2>R 2 et :
P (M , C)>0 ⇔Ω M>R .
L'ensemble des points du plan tels que P (M , C)>0 est l'extérieur du cercle C.
De même on montre que l'ensemble des points M du plan tels que :
P (M , C)=0 est le cercle C.
P (M , C)<0 est l'intérieur du cercle C.
Considérons l'ensemble des points M du plan tels que P (M , C)=k où k est un réel fixé.
D'après 1-a :
k <R 2 : L'ensemble cherché est vide.
k =R 2 : l'ensemble cherché est le point Ω .
k >R 2 : On cherche les points du plan tels que Ω M 2R 2=k ⇔ ΩM 2=R 2+k ⇔Ω M=√ R 2 +k .
Dans ce cas, l'ensemble cherché est un cercle de centre Ω , et de rayon R '=√ R 2+k .
En particulier si R 2<k<0 alors c'est un cercle intérieur à C, et si k =R 2 c'est le
cercle C, et si k >R 2 , c'est un cercle contenant C.
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Mardi 8 novembre 2011
2-a- Soient A et A' deux points diamétralement opposés du cercle C. Montrons que :
⃗ MA
⃗ '
P (M , C)= MA⋅
⃗ MA
⃗ '=( M⃗Ω+Ω⃗A)⋅(M⃗Ω+Ω⃗A ')
MA⋅
Et comme A et A' sont diamétralement opposés, on a : Ω⃗A'=Ω⃗A et :
⃗ MA
⃗ '=( M⃗Ω+Ω⃗A)⋅(M⃗ΩΩ⃗A)=( M⃗Ω) 2( Ω⃗A)2=M Ω2Ω A 2=M Ω2R2 =P( M , C)
MA⋅
Si A et A' sont deux points diamétralement opposés du cercle C, alors :
⃗ MA
⃗ '
P (M , C)= MA⋅
b- Soit une droite D passant par M, qui rencontre le cercle C en deux points distincts A et B.
⃗ MB
⃗ .
Démontrons que : P (M , C)= MA⋅
Soit A' le point diamétralement opposé au point A sur le cercle C.
⃗ MB=
⃗ MA⋅(
⃗ MA
⃗ '+A⃗' B)=MA⋅
⃗ MA
⃗ '+ MA⋅
⃗ A⃗' B
MA⋅
⃗ et A
⃗ ' B sont orthogonaux car [AA'] est un diamètre du cercle C.
Les vecteurs AB
⃗ et AB
⃗ sont colinéaires et les vecteurs MA
⃗
Et comme les points M,A et B sont alignés alors : MA
⃗ ' B sont aussi orthogonaux et on a aussi : MA⋅
⃗ A
⃗ ' B=0 .
et A
On en déduit que :
⃗ MB=
⃗ MA⋅
⃗ MA
⃗ '+ MA⋅
⃗ A⃗' B= MA⋅
⃗ MA
⃗ '=P( M , C)
MA⋅
⃗ MB
⃗
On a démontré que : P (M , C)= MA⋅
c- En particulier, soit P un point tel que P (P , C)<0 .
Soit une droite D qui passe par P qui rencontre C en A et B, et une droite D' qui passe aussi par P et
qui rencontre C en A' et B'.
Montrons que : PA×PB=PA '×PB ' .
⃗ PB=
⃗ PA
⃗ '⋅PB'
⃗ .
D'après le résultat précédent: P (P , C)= PA⋅
⃗
⃗
⃗ PB=PA×PB
⃗ '⋅PB'=PA
Or PA⋅
et PA
'×PB' .
On en déduit que :
(PA×PB)=(PA'×PB ') .
Et donc : PA×PB=PA '×PB'
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d-Démontrons géométriquement (sans utiliser la puissance) le résultat précédent.
Les angles ̂
A ' PA et ̂
B ' PB sont égaux. On a aussi ̂
BB ' A '=̂
BAA ' car B' et A appartiennent au
même arc de cercle définit par la corde [BA']. On en déduit que : ̂
BB ' P=̂
PAA ' .
Les triangles BB'P et AA'P ont deux angles égaux. Donc leurs trois angles sont égaux. Les 2
PB' PB
=
triangles sont donc semblables et :
et donc : PA×PB=PA '×PB'
PA PA '
e- Soit D une droite passant par M, tangente en T au cercle C.
Démontrons que : P (M , C)=MT2
⃗ MB
⃗ reste valable si A=B et dans ce cas.
La démonstration de la relation P (M , C)= MA⋅
2
⃗ MT=MT
⃗
P (M , C)= MT⋅
Remarque : on peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle MT Ω rectangle en T.
On obtient : M Ω2 =MT 2+T Ω2 ⇔ M Ω2=MT 2+R2 ⇔ M Ω2 R2=MT 2 . D'où le résultat.
3-Si le cercle C a comme équation cartésienne x 2+y 22ax2by+c=0 , quelle est la puissance de
du point M ( x 0, y 0) par rapport à C ?
Si C a pour équation cartésienne x 2+y 22ax2by+c=0 , alors Ω a pour coordonnées (a , b) .
Et c=a 2+b 2R 2
2
2
P (M , C)=Ω M 2R 2 =(x0 a) 2+( y 0b)2R2 =x 0+y 02ax 02by 0+a 2+b2R 2 .
P ( M ,C )=x 20 + y 202ax 0 2by 0+c
Remarque : on retrouve que l'ensemble des points M du plan tels que:P(M,C)=0 est le cercle C
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Partie 2 : axe radical de deux cercles.
Soient C le cercle de centre Ω et de rayon R, et C' le cercle de centre Ω' , distinct de Ω ,et
de rayon R'.
1-Démontrons que l'ensemble des points M du plan tels que P (M , C)=P(M ,C ') est une droite
perpendiculaire à la droite (ΩΩ ') .
Soit x 2+y 22ax2by+c=0 une équation cartésienne de C et x 2+y 22a ' x2b ' y+c '=0 une
équation cartésienne de C'. Soit M un point de coordonnées (x,y)
2
2
2
2
P (M , C)=P(M ,C ')⇔ x +y 2ax2by+c=x +y 2a ' x2b ' y+c '
P (M , C)=P(M ,C ')⇔ 2(a 'a)x+2 ( b 'b) y+cc '=0 ⇔( a 'a) x+(b 'b) y+
Ω≠Ω' ⇔(a , b)≠(a ' , b' )⇔ ⃗
n (a ' a , b 'b)≠⃗
0
cc '
=0
2
(a 'a , b 'b)≠0 alors l'ensemble des points du plan tels que (a 'a ) x+( b 'b) y+
⃗
une droite de vecteur normal n⃗ (a 'a ,b ' b) . Or : ⃗n =ΩΩ'
cc '
=0 est
2
On en déduit que l'ensemble des points M(x,y) du plan tels que P (M , C)=P(M ,C ') est la droite D
cc '
=0 . Elle est orthogonale à la droite (ΩΩ ')
d'équation cartésienne (a 'a ) x+( b 'b) y+
2
Cette droite est l'axe radical des cercles C et C'
2-Si C et C' sont sécants en A et B, montrons que leur axe radical est la droite (AB).
A∈C⇒ P(A ,C)=0 Et A∈C' ⇒ P( A, C ')=0 . On a donc : P (A , C)=P( A , C') et A appartient à
l'axe radical de C et C'.
De même on a : P (B, C)=P(B ,C ') et B appartient aussi à l'axe radical de C et C'.
On en déduit que si C et C' sont sécants en A et B, alors leur axe radical est la droite (AB).
Si les cercles C et C' sont tangents au point T, on a P(T,C)=P(T,C')=0 et T appartient à l'axe radical
de C et C'. On sait que l'axe radical est perpendiculaire à la droite (ΩΩ ') .
Si les cercles C et C' sont tangents au point T, leur axe radical est la droite passant par T et
perpendiculaire à la droite (ΩΩ ') .
3-Construction géométrique à la règle et au compas de l'axe radical de C et C', dans le cas où leur
intersection est vide.
Le but est de construire deux points A et B qui ont même puissance par rapport à C et à C'. Et l'axe
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radical sera la droite (AB).
Lorsqu'on se donne un point M, l'ensemble des points du plan qui ont même puissance que M par
rapport à C est le cercle de centre Ω passant par M.
Si on a M et M' tels que : P(M,C)=P(M',C') alors le point A appartiendra à l'intersection des cercles
de centre Ω passant par M et de centre Ω' passant par M', à condition que cette intersection
soit non vide.
On veut M et M' tels que :
P (M , C)=P(M ', C ')⇔Ω M 2R 2 =Ω' M '2R '2 ⇔ Ω M2 +R '2=Ω' M '2+R 2 .
Soit I le milieu du segment [Ω Ω'] . On trace le cercle de centre I passant par Ω et Ω' . Ce
cercle rencontre C et C' respectivement en M' et M. Les points M et M' vérifient la relation cherchée
et on trace les cercles de centre Ω passant par M et de centre Ω' passant par M'. Ces cercles
sont sécants en A et B. Et la droite (AB) est l'axe radical de C et C'.
4-Quel est le point de l'axe radical qui a une puissance commune à C et C' minimale ?
P (M , C)=Ω M 2R 2 . On cherche un point de l'axe radical qui rend minimale la distance Ω M .
Le point cherché est le point H intersection de l'axe radical de C et C' et de la droite (ΩΩ ') .
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Partie 3 : centre radical de trois cercles.
Soit C1 le cercle de centre A(1,2) et de rayon 3. C2 le cercle de diamètre [BC] avec B( 4,3)
et C( 2,2) et C3 le cercle de centre D(6,3) passant par le point E (5,4) .
Déterminons l'ensemble des points M du plan tels que : P (M , C1 )=P (M , C2 )=P( M , C3) .
L'intersection cherchée est l'intersection des axes radicaux des cercles C1 et C2 et des cercles C1
et C 3 .
Cherchons l'équation des 3 cercles. C1 a pour équation cartésienne :
(x(1))2+(y2)2=32 ⇔(x+1)2+( y2)2=9 ⇔ x2 +2x+1+y 24y+4=9
L'équation cartésienne de C1 est : x 2+y 2+2x4y4=0
Un point M(x,y) appartient au cercle de diamètre [BC] si et seulement si :
⃗ (x4, y(3)) et ⃗
⃗
CM (x2, y2) .
MB⋅⃗
MC=0 ⇔⃗
BM⋅⃗
CM=0 . Avec BM
(x4)(x2)+(y+3)(y2)=0⇔ x 26x+8+y 2+y6=0 ⇔ x 2+y 2 6x+y+2=0
C2 a pour équation cartésienne x 2+y 26x+y+2=0 . On en déduit que le cercle C 2 a pour
1
1 2
1
36+18 29
√ 29
2
2
(3,
)
I
centre
et rayon R 2=3 +( ) 2=9+ 2=
et R 2=
=
2
2
2
4
4
4
BC
2
2
2
2
2
M ∈C3 ⇔(xx D ) +( yy D ) =(x Ex D ) +( y E y D ) ⇔(x6)2+( y3)2=(56) 2+( 43)2
x 212x+36+y 26y+9=2 ⇔ x 2+y 2 12x6y+43=0
On peut vérifier que I est bien le milieu de [BC] et que R 2=
On a :
C1 : x 2+y 2+2x4y4=0 (1)
C2 : x 2+y 26x+y+2=0 (2)
C 3 : x 2+y 212x6y+43=0 (3)
L'axe radical D2 de C1 et C2 a pour équation cartésienne : 8x5y6=0 ((1)-(2))
L'axe radical D 3 de C1 et C3 a pour équation cartésienne : 14x+2y47=0 ((1)-(3))
Les coordonnées du point d'intersection de D2 et D3 vérifient :
{
} {
} {
}
8x5y6=0 ⇔ 16x10y12=0 ⇔ 16x10y12=0 ⇔
14x+2y47=0
70x+10y235=0
86x247=0
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{
16x10y12=0
247
x=
86
}
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Et : 2y=4714x=47
Le point J
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14×247
7×247 47×437×247 292
292
146
=47
=
=
2y=
⇒ y=
86
43
43
43
43
43
146
,
est l'unique point du plan tel que P (J ,C )=P(J , C )=P( J , C )
( 247
86 43 )
1
2
3
Partie 4 : faisceau linéaire de cercles.
Définition : On considère deux cercles distincts C1 et C2 ,de centres O1 et O 2 d'équations
cartésiennes respectives :
P 1(M)=0 avec P 1(M)=x 2+y 22a1 x2b1 y+c 1 et
P 2 (M )=0 avec P 2 (M )=x 2+y 22a 2 x2b 2 y+c 2 .
On appelle faisceau linéaire de cercles de base C1 et C2 l'ensemble F des cercles du plan
admettant une équation cartésienne de la forme :
λ 1 P1 (M )+λ 2 P2 ( M)=0 (1) où λ 1 et λ 2 sont deux réels.
1-Montrons que λ 1+λ 2≠0 .
2
2
2
2
λ 1 P1 (M )+λ 2 P2 (M)=0⇔ λ 1(x +y 2a1 x2b1 y+c 1)+λ 2 (x +y 2a 2 x2b 2 y+c 2)=0
λ 1 P1 (M )+λ 2 P2 ( M)=0⇔( λ1+λ2 )( x2 +y 2 )2(λ 1 a 1+λ 2 a 2 ) x2( λ 1 b1+λ2 b2 y )+λ 1 c 1+λ 2 c2 =0
Pour que cette équation soit l'équation d'un cercle il faut que λ 1+λ 2≠0 . Sinon ce serait soit
l'équation d'une droite, soit l'ensemble vide ou le plan.
On a nécessairement : λ 1+λ 2≠0 .
2-a-Montrons que l'équation (1) peut s'écrire sous la forme λ P1 (M)+(1λ )P2 (M )=0 où λ ∈ℝ .
Comme λ 1+λ 2≠0 l'équation (1) est équivalente à l'équation :
λ1
λ2
λ 1 et on a donc :
λ2 .
P1 (M)+
P2 ( M)=0 On pose λ=
1λ=
λ1 +λ 2
λ1+λ2
λ 1+λ 2
λ1+λ2
Et l'équation (1) peut s'écrire sous la forme : λ P1 (M)+(1λ )P2 (M )=0 où λ ∈ℝ .
b- Montrer que C1 et C2 appartiennent à F.
C1 correspond λ=1 et C2 à λ=0 .
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3-Soit C un cercle de F. Montrer que le centre de C appartient à la droite (O1 O2 ) .
D'après la question 1, le centre d'un cercle de F a pour coordonnées
(λ a 1+(1λ) a 2, λ b1+(1λ) b 2) .
C'est donc le barycentre de O1 et O2 affectés des coefficients respectifs λ et 1λ .
Le centre d'un cercle de F appartient à la droite (O1 O2 ) .
4-On suppose que C1∩C2 ={A , B} où A et B sont deux points distincts. Montrons que tout cercle
de F passe par A et B et réciproquement montrons qu'un cercle passant par A et B est un cercle de F.
Soit C un cercle de F. C a une équation cartésienne de la forme : λ P1 (M)+(1λ )P2 (M )=0
Et C1∩C2 ={A , B}⇒P 1( A)=P2 ( A)=P1( B)=P 2(B)=0 . On en déduit que :
λ P1 (A)+(1λ)P 2 (A)=λ P 1( B)+(1λ)P2 ( B)=0
Et donc : A et B appartiennent à tout cercle de F.
Soit un cercle C contenant les points A et B.
Son centre O appartient à la médiatrice de [AB]. Donc son centre appartient à la droite (O1 O2 ) .
O est donc le barycentre de O1 et O2 affectés des coefficients λ et 1λ , où λ ∈ℝ .
Considérons le cercle de C' de F d'équation λ P1 (M)+(1λ )P2 (M )=0 . Son centre est le point O
d'après ce qui précède et passe par A et B. C' et C sont confondus et C appartient à F.
Si C1∩C2 ={A , B} où A et B sont deux points distincts, F est l'ensemble des cercles passant par A
et B.
5-a- Vérifier que les cercles C1 et C2 d'équations respectives x 2+y 2+2x4y+1=0 et
2
2
x +y 2x8y+13=0 , sont deux cercles dont on précisera pour chacun le centre et le rayon.
2
2
2
2
2
2
2
2
x +y +2x4y+1=0 ⇔x +2x+y 4y+1=0 ⇔(x+1) 1+(y2) 4+1=0 ⇔(x+1) +(y2) =4
C1 est le cercle de centre O1 (1,2) et de rayon 2.
x 2+y 22x8y+13=0 ⇔ x 22x+y 28y+13=0 ⇔(x1)21+(y 4)216+13=0 ⇔
(x1)2+(y4)2 =4
C2 est le cercle de centre O2 (1,4) et de rayon 2.
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b- Montrons qu'ils sont sécants en deux points A et B distincts.
{
}{
}{
}{
}
x 2+y 2+2x4y+1=0 ⇔ x 2+y 2+2x4y+1=0 ⇔ x 2+y 2+2x4y+1=0 ⇔
2
2
4x+4y12=0
x+y3=0
x +y 2x8y+13=0
2
2
2
2
x +y +2x4y+1=0 ⇔ x +(3x) +2x4(3x)+1=0
y=3x
y=3x
2
2
2
x +(3x) +2x4(3x)+1=0 ⇔ x +96x+ x 2+2x12+4x+1=0 ⇔ 2x2 2=0⇔
x=1 ou x=1
{
}
On trouve A(1,2) et B(1,4) .
Les cercles C1 et C2 sont sécants en A(1,2) et B(1,4) .
c-Soit D la droite d'équation : 3xy4=0 .
Donner le centre et le rayon du cercle passant par A et B tangent à la droite D.
Les cercles passant par A et B ont une équation de la forme : λ P1 (M)+(1λ )P2 (M )=0 qui a pour
centre O(λ (1)+(1λ)1, λ 2+(1λ)4) soit : O(12 λ ,42 λ) .
x 2+y 2+2x4y+1=0 et x 2+y 22x8y+13=0
x 2+y 22(12 λ)x2(42 λ)y+1312 λ=0
Et on a :
R 2=(12 λ)2+(42 λ)213+12 λ=14 λ+4 λ2+1616 λ+4 λ 213+12 λ=8 λ 28 λ+4 .
Le cercle est tangent à la droite D si et seulement si : d (O , D)2=R 2 c'est-à-dire si :
(3(12 λ)(42 λ)4)2=R 2 (32+12 )⇔(36 λ4+2 λ4)2=10(8 λ28 λ+4)⇔
2
2
2
2
2
(5+4 λ) =10(8 λ 8 λ+4)⇔25+40 λ+16 λ =80 λ 80 λ+40⇔ 64 λ 120 λ+15=0
On résout l'équation du second degré : 64 λ 2120 λ+15=0
On calcule le discriminant : ∆=b 24ac=120 24×64×15=10560 et √ ∆=8 √ 165
On a deux solutions λ 1=
1208 √ 165 15 √ 165
15+√ 165
=
et λ 2=
128
16
16
On a le centre G1 (12 λ 1, 42 λ 1) et G2 (12 λ 2, 42 λ 2) .
(
)
(
7+ √ 165 17+√ 165
7√ 165 17 √ 165
,
,
et G2
8
8
8
8
1397 √ 165
139+7 √ 165
Avec R 2=8 λ 28 λ+4 on trouve : R 1= √
et R 2= √
4
4
On trouve les centre G1
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)
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Exercice 1
On considère l'équation différentielle :
(E) xy '+y=
2x
√1x 4
1-Résolvons (E) sur chacun des intervalles I 1=] 1,0 [ et I 2= ] 0,1 [
Sur ces intervalles l'équation (E) s'écrit : xy '+y=
2x
1
2
⇔ y '+ y=
4
x
√1x
√1x 4
Résolvons l'équation différentielle sur I 2 .
2
1
On pose a ( x)= et b( x)=
. Sur I 1 l'équation (E) est :
x
√1x 4
y '+a (x) y=b( x) où a et b sont deux fonctions continues.
C'est une équation linéaire du premier ordre avec second membre. La résolution s'effectue en deux
étapes : la résolution de l'équation homogène et la recherche d'une solution particulière.
1ère étape : résolution de l'équation homogène (H) y '+a (x) y=0 .
Théorème : les solutions de (H) sont les fonctions de la forme : λ eA ( x ) où A est une primitive de
a sur I 1 .
ln (x)
=λ .
On peut prendre A(x )=ln( x) et les solution de (H) sont les fonctions λ e
x
2ième étape : on cherche une solution particulière de (E)
On peut utiliser la méthode de la variation de la constante. On cherche la solution sous la forme :
λ '(x ) λ (x)
λ( x)
2
y( x)=
On a : y '(x)=
x
x
x
λ '( x) λ (x) 1 λ ( x) λ '( x)
1
2 +
=
Et : y '(x)+ y (x )=
On cherche λ telle que :
x
x
x x
x
x
λ '( x)
2
2x
=
⇔ λ '(x)=
4
x
√1x
√ 1x 4
On cherche donc une primitive de la fonction f ( x)=
2x
sur I 2 .
√1x 4
On sait que arcsin est une primitive de la fonction g (x )=
Si on pose u( x)=x 2 , avec u'(x), on a : g ∘ u (x )=
1
sur ]1,1 [
√1x 2
1
2x
u '( x) g ∘ u( x)=
=λ '( x)
4 et
√1x
√ 1x 4
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On peut choisir λ (x)=arcsin (x 2)
Et les solutions de (E) sur I 2 sont les fonction de la forme :
y( x)= λ +
x
2
arcsin (x )
où λ ∈ℝ .
x
De même, on trouverait la même expression sur I 1 .
2-En déduire que (E) admet une unique solution sur ]1,1 [ . (*)
On pose f (x)=arcsin (x 2) . Cette fonction est dérivable en 0 et f '(x )=
Par définition de la dérivée en 0, on a : lim x → 0
arcsin ( x2 )
=0 .
x
2x
et f '(0)=0
√1x 4
λ
Et si λ≠0 , alors : lim x →+∞ x =+ou∞
Pour prolonger la fonction à tout l'intervalle ]1,1 [ , il faut que la fonction y ait une limite en 0.
Cela est possible uniquement si λ=0 .
2
arcsin (x )
si x≠0 et
x
g (0)=0 . Il reste à prouver que cette fonction est dérivable en 0, et qu'elle vérifie bien l'équation
(E) en 0.
La seule solution éventuelle sur ]1,1 [ est la fonction définie par g (x )=
g(x)g(0)
quand x tend vers zéro.
x
g( x)
arcsin (x 2)
=lim x → 0
.
x
x2
Cherchons la limite de l'expression
lim x → 0
g (x )g (0)
=lim x → 0
x
On pose h=x 2 et on cherche la limite quand h tend vers zéro de
arcsin (h )
. arcsin (0)=0 et la
h
fonction arcsin est dérivable en zéro avec arcsin '(0)=1 .
On en déduit que g est dérivable en 0 et que g '(0)=1 .
On a bien : 0×g '( 0)+g (0)=
∀ x∈ ]1,1 [ , xg '( x)+g( x)=
La fonction g (x )=
2×0
√10 4
=0 . Donc :
2x
. g est une solution de (E) et :
√ 1x 4
arcsin (x 2 )
est l'unique solution de (E) sur ]1,1 [ .
x
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Exercice 2
Partie A
1- Soit λ ∈ℝ
a- La solution générale de l'équation différentielle y '=λ y sur ℝ est :
y( t )=C e
λt
où C est une constante réelle.
b- Donnons la solution particulière vérifiant la condition initiale y( t 0 )=y 0
y( t )=y 0 e λ (tt )
0
2- Soient α et β deux réels. Donnons la solution générale réelle de l'équation différentielle
y ' '2 α y '+(α 2+β2 ) y=0 dans les deux cas : β≠0 et β=0
L'équation caractéristique est : r 22 α r +( α2+β2 )=0
Si β=0 alors α est racine double et les solutions sont les fonctions de la forme :
y( t)=(λ 1+λ 2 t )eα t
Si β≠0 les deux solutions sont α+i β et αi β , et les solutions sont les fonctions de la forme :
y( t )=e α t ( A cos(β t )+Bsin (β t ))
Partie B
3-On considère l'équation différentielle y '=y (1y)
a-Déterminons les solutions constantes.
Les solutions constantes sont telles que : k ( 1k)=0⇔ k=0 ou k=1
Les solutions constantes de y '=y (1y) sont la fonction constante égale à 0 et la fonction
constante égale à 1.
b-Trouvons les primitives de la fonction
y'
. (sur les intervalles où la fonction ne prend pas
y (1y )
les valeurs 0 ou 1.)
y'
y'
y'
= +
et une primitive est : ln(∣y∣)ln (∣1y∣)+α , où α est une constante.
y (1y ) y 1y
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Soit ln
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(∣ ∣)
( )
∣y∣
y
+α=ln
+α
∣y1∣
y1
c- Montrons que les solutions qui ne sont pas constantes peuvent se mettre sous la forme :
y( t )=
1
t où C une constante non nulle.
1+Ce
Sur les intervalles où la fonction ne prend pas les valeurs 0 ou 1, l'équation y '=y (1y) est
y'
=1 En prenant une primitive de chaque membre de l'égalité, on obtient
équivalente à :
y (1y )
d'après la question précédente :
ln
( )
∣y∣
y
t
=t+A ⇔
=B e
∣y1∣
y1
où B est une constante.
t
Be
y=Be ×yBe ⇔ y(1Be )=Be ⇔ y=
⇔y=
1Bet
t
t
t
t
1
1
+1
Be t
⇔ y=
1
1
1+Cet avec C= B
Les solutions non constantes de l'équation différentielle y '=y (1y) sont les fonctions :
y( t )=
1
1+Cet
d- Traçons, dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la solution vérifiant la condition
1
initiale y( 0)=
2
La condition y( 0)=
Soit à tracer y( t )=
1
impose C=1 .
2
1
1+et
C'est une fonction strictement croissante (composée de 2 fonctions décroissantes).
Elle a deux asymptotes horizontales. Les droites d'équation y=0 et y=1 .
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*** Fin du corrigé ***
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