puissance d`un point par rapport à un cercle

Puissance d’un point par rapport à un cercle
1) est un cercle de centre Ο, de rayon R. M est un point quelconque du plan. Une droite
passant par M coupe en A et B. On appelle A’ le point diamétralement opposé à A.
Montrer que MA.MB = MA.MA '
2) Montrer maintenant que MA.MB = MO 2 − R 2 . Ce réel ne dépend pas de la sécante choisie,
mais du seul point M (et du cercle). On le nome puissance de M par rapport à . Etudier
le signe de cette puissance suivant la position de M par rapport à . Quel est l’ensemble
des points ayant une puissance donnée par rapport à un cercle ?
3) Si M est extérieur à , soit L un point de contact de la tangente à passant par M.
Montrer que la puissance de M par rapport à est égale à ML2 .
4) Quel est l’ensemble des points du plan ayant même puissance par rapport à deux cercles
de même rayon ?
5) Si et ’ sont deux cercles de centres respectifs Ω et Ω’, de rayons respectifs R et R’, on
recherche l’ensemble E des points M ayant même puissance par rapport aux deux cercles.
R2 −
R '2 .
a) Montrer que M appartient à E si et seulement si M Ω 2 − M Ω '2 =
b) On appelle I le milieu de [ΩΩ’]. Montrer que M Ω 2 − M Ω '2 = 2 IM iΩΩ ' .
c) En déduire que l’ensemble E est une droite, en préciser la direction. On l’appelle axe
radical des deux cercles.
d) Que peut- on dire de l’axe radical de deux cercles sécants ? De deux cercles tangents ?
6) Trois cercles sont sécants deux à deux. On appelle {A ; B}, {C ; D}, {E ; F} les paires de
points d’intersection. Montrer que les trois droites (AB), (CD) et (EF) sont concourantes.