Corrigé : Division euclidienne

Ld
1MR
Corrigé : Division euclidienne
Exercice 1
Effectuer la division euclidienne de P par Q et écrire l’égalité fondamentale correspondante :
3x3 − x2 + x + 1 et Q(x) = 2x2 − 1.
P(x) =
Solution
3 x3 −
3 x3
x2 +
−
− x2 +
− x2
3
2
5
2
x + 1
x
x + 1
+ 12
5
1
2 x + 2
2x2 − 1
3
1
2x − 2
On peut écrire :
3x3 − x2 + x + 1 = (2x2 − 1)( 32 x − 12 ) + 52 x +
1
2
Exercice 2
Effectuer la division euclidienne de P par Q en utilisant le schéma de Horner et écrire l’égalité fondamentale
correspondante :
P(x) = x4 − 3x3 + 2x2 − x + 2 et Q(x) = x − 3
Solution
1
3
1
−3
3
0
2
0
2
−1
6
5
2
15
17
On peut donc écrire :
x4 − 3x3 + 2x2 − x + 2 = (x − 3)(x3 + 2x + 5) + 17
Exercice 3
Déterminer le reste de la division euclidienne de :
5x100 − 4x73 − 2x38 − 7 par x − 1.
Solution
P(1) = 5 − 4 − 2 − 7 = −8
Exercice 4
Déterminer un polynôme P(x) du quatrième degré satisfaisant aux cinq conditions suivantes :
1. il admet -2 pour zéro
2. il est divisible par x + 1
3. il admet le facteur x dans sa décomposition
4. il admet 180 pour reste de sa division par x − 3
5. P(2) = 0
Solution
La condition 1 ⇒ (x + 2) est un des facteurs de P(x)
La condition 2 ⇒ (x + 1) est un des facteurs de P(x)
La condition 3 ⇒ x est un des facteurs de P(x)
La condition 5 ⇒ (x − 2) est un des facteurs de P(x)
Ainsi P(x) = k · x(x + 1)(x − 2)(x + 2) avec k facteur à déterminer.
Utilisons la condition 4 : P(3) = k · 3(3 + 1)(3 − 2)(3 + 2) = 60k = 180 ⇒ k = 3
Finalement, P(x) = 3x(x + 1)(x − 2)(x + 2)
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Exercice 5
Factoriser complètement le polynôme P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x − 8 sachant que P(−1) = P(−4) = 0.
Solution
P(−1) = P(−4) = 0 ⇒ P(x) divisible par (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
Effectuons la division :
x4 + 6x3 + 7x2 − 6x − 8 = (x + 1)(x + 4)(x2 + x − 2)
Or x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1)
Ainsi P(x) = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x − 1)
x4 + 6 x3 +
x4 + 5 x3 +
x3 +
x3 +
7 x2 − 6 x − 8
4 x2
3 x2
5 x2
−2 x2
−2 x2
−
+
−
−
6x
4x
10 x − 8
10 x − 8
x2 + 5x + 4
x2 + x − 2