Corrigé du contrôle continu

Université de Paris-Dauphine
Année universitaire 2011-2012
Algèbre Linéaire 1 , DUMI2E
Algèbre Linéaire 1 - Corrigé du contrôle continu 2 du 12/12/2011
Durée 1h30
Les documents, calculatrices et portables sont interdits. Les réponses non justifiées ne seront
pas prises en compte. Les exercices sont indépendants.
Exercice 1.
(i) Résoudre dans C l’équation
z 2 − 2(i + 1)z + i = 0
(on rendra la solution sous forme algébrique)
(ii) Déterminer tous les nombres complexes z ∈ C tels que z 4 = −8i z.
(iii) Montrer que, pour tout nombre complexe z ∈ C, on a
√
√
| 3z + 2 + i(z + 1) | ≤ |z| 10 + 5 .
Solution :
(i) On a
∆ = 4(i + 1)2 − 4i = 4i = 4 eiπ/2
On sait que, comme ∆ est non nul, ∆ a deux racines distinctes, δ1 = 2eiπ/4 et δ2 = −2eiπ/4 .
Les solutions de l’équation sont donc
√
√
√
2(i + 1) + 2eiπ/4
2
2
2
z1 =
=i+1+
(1 + i) = 1 +
+ (1 +
)i
2
2
2
2
et
√
2
2
+ (1 −
)i
z2 = 1 −
2
2
√
(ii) On note que z = 0 est une solution évidente. Cherchons maintenant les autres solutions
non nulles, qu’on peut écrire sous la forme z = reiθ . On doit avoir r4 e4iθ = 8e−iπ/2 re−iθ ,
soit encore, puisque r 6= 0, r3 e5iθ = 8e−iπ/2 . D’où r = 2 et 5θ = −π/2 + 2kπ, où k ∈ Z.
On en déduit que les solutions de l’équation sont
0, 2e−iπ/10 , 2e3iπ/10 , 2e7iπ/10 , 2e11iπ/10 , 2e15iπ/10
(iii) On utilise l’inégalité triangulaire :
| 3z + 2 + i(z + 1) | = | (3 + i)z + 2 + i | ≤ | (3 + i)z | + | 2 + i | = | 3 + i | | z | + | 2 + i |
√
√
où | 3 + i | = 10 et | 2 + i | = 5. Donc
√
√
| 3z + 2 + i(z + 1) | ≤ |z| 10 + 5 .
Exercice 2. Soit n ∈ N∗ .
(i) En écrivant la division euclidienne de n par 3, montrer qu’il existe k ∈ {−1, 0, 1} tel que
n + k est divisible par 3.
(ii) En déduire que l’entier n(n2 − 1) est divisible par 6.
Solution :
(i) Soit q ∈ N et r ∈ N le quotient et le reste de la division euclidienne de n par 3 : on a
n = 3q + r où 0 ≤ r ≤ 2. On en déduit que,
- si r = 0, alors n = 3q est divisible par 3,
- si r = 1, alors n − 1 = 3q est divisible par 3,
- si r = 2, alors n + 1 = 3(q + 1) est divisible par 3.
Par conséquent il existe bien k ∈ {−1, 0, 1} tel que n + k est divisible par 3.
(ii) On écrit m := n(n2 − 1) sous la forme n(n − 1)(n + 1). On a vu ci-dessus que soit n,
soit n − 1, soit n + 1 est divisible par 3. Comme d’autre part, soit n, soit n − 1 est pair,
m est également divisible par 2. Or 2 et 3 sont premier entre eux (ce sont des nombres
premiers), on peut conclure que m = n(n2 − 1) est divisible par 6.
Exercice 3. Soit n ∈ N avec n ≥ 2.
(i) Calculer en fonction de n le reste de la division euclidienne du polynôme X n + X + 1 par
le polynôme (X − 1)2 .
(ii) Pour quelles valeurs de n ∈ N∗ , avec n ≥ 2, le polynôme X 2 + X + 1 divise-t-il le polynôme
Xn + X + 1 ?
Solution :
(i) Soit Q ∈ R[X] et R ∈ R[X] le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme
X n + X + 1 par le polynôme (X − 1)2 . On a
(∗)
X n + X + 1 = (X − 1)2 Q(X) + R(X),
avec deg(R) ≤ 1
En particulier, il existe a, b ∈ R tels que R(X) = aX + b. En prenant X = 1 dans
l’expression ci-dessus on trouve
3 = 0.Q(1) + R(1) = a + b
On dérive l’égalité (*) pour trouver
nX n−1 + 1 = 2(X − 1)Q(X) + (X − 1)2 Q0 (X) + a
En prenant X = 1 dans cette expression on obtient a = n + 1. Comme a + b = 3, on a
alors b = 2 − n.
En conclusion on a R(X) = (n + 1)X + 2 − n.
(ii) On sait que les racines du polynôme X 2 + X + 1 sont j et j̄, où j = e2iπ/3 (et j̄ = j 2 ).
Si X 2 + X + 1 divise le polynôme X n + X + 1, toute racine de X 2 + X + 1 est également
racine de X n + X + 1. Un condition nécessaire pour que X 2 + X + 1 divise le polynôme
X n + X + 1 est donc que j n + j + 1 = 0. Soit q et r le quotient et le reste de la division
euclidienne de n par 3 : n = 3q + r avec 0 ≤ r ≤ 2. Si r = 0, alors j n = (j 3 )q = 1 et
j n + j + 1 = j + 2 6= 0 ; si r = 1, alors j n = j 3q j = j et j n + j + 1 = 2j + 1 6= 0 ; si j = 2,
alors j n = j 3q j 2 = j 2 et j n + j + 1 = j 2 + j + 1 = 0. On trouve donc qu’une condition
nécessaire pour que X 2 + X + 1 divise X n + X + 1 est que le reste de la division euclidienne
de n par 3 soit 2, qui garantit que j est racine de X n + X + 1.
Inversement, si le reste de la division euclidienne de n par 3 soit 2, alors j est racine
de X n + X + 1. Comme X n + X + 1 est un polynôme réel, j̄ est également racine de
X n + X + 1. Or les polynômes X − j et X − j̄ sont premiers entre eux, puisque ce sont
deux polynômes premiers distincts. On en déduit que X 2 + X + 1 = (X − j)(X − j̄) divise
X n + X + 1.
En conclusion, une condition nécessaire et suffisante pour que X 2 +X +1 divise X n +X +1
est que le reste de la division euclidienne de n par 3 soit 2.
Exercice 4. Soit P le polynôme P (X) = (X 2 − X + 1)2 + 1.
(i) Montrer que i est racine de P .
(ii) En déduire que le polynôme X 2 + 1 divise P .
(iii) Calculer la factorisation en facteurs premiers de P dans R[X].
Solution
(i) On a
P (i) = (i2 − i + 1)2 + 1 = (−i)2 + 1 = −1 + 1 = 0 .
Donc i est racine de P .
(ii) Comme P est un polynôme réel et que i est racine de P , on sait que ī = −i est aussi racine
de P . Donc (X − i) et (X + i) divisent P . Or (X − i) et (X + i) sont deux polynômes
premiers (car de degré 1) distincts, donc ils sont premiers entre eux. Par conséquent
X 2 + 1 = (X − i)(X + i) divise P .
(iii) Lorsque l’on effectue la division euclidienne de P (X) = X 4 − 2X 3 + 3X 2 − 2X + 2 par
X 2 + 1 on trouve P (X) = (X 2 + 1)(X 2 − 2X + 2). Le polynôme X 2 − 2X + 2 est un
polynôme de degré 2 sans racine réelle (puisque ∆ = 4 − 8 = −4 < 0). Donc c’est un
polynôme premier de R[X]. C’est également le cas de X 2 + 1. La factorisation en facteurs
premiers de P dans R[X] est donc
P (X) = (X 2 + 1)(X 2 − 2X + 2) .