td/ ch 5 : les quatre operations

Master 1 : 2ème semestre : EC 9A : éléments de mathématique – 6h cours et TP - TD - JA
TD/ CH 5 : LES QUATRE OPERATIONS
Exercice 1 :
Un maquignon achète un cheval 2000 € et le revend 3000 €. Puis il le rachète 4 000 € et le revend
5000 €. A-t-il gagné ou perdu de l'argent et combien ?
Exercice 2 :
On sait que: 184 177 = 235 x 781 + 642.
a. Donner la définition de la division euclidienne de a par b, a et b étant 2 nombres entiers donnés.
b. On sait que 184 177 = 235 x 781 + 642. Déterminer le reste de la division euclidienne de 184 177
par 781.
c. Déterminer de même le reste de la division euclidienne de 184 177 par 235.
Exercice 3 :
On considère la machine à nombres suivante :
a. Quel nombre faut-il entrer dans la machine afin d'obtenir un zéro à l'issue de l'étape 4 ?
b. On fait entrer un nombre x dans la machine, exprimer en fonction de x les nombres obtenus à
chacune des étapes.
c. Existe-t-il un nombre qui ressort inchangé après avoir traversé la machine ? (On retrouve à l'issue
de l'étape 4 le nombre qui est entré dans la machine.)
d. On fabrique une nouvelle machine en ajoutant deux étapes à l'ancienne :
Étape 1
Ajouter 2
Étape 2
Multiplier par 4
Étape 3
Enlever 20
Étape 4
Diviser par 2
Étape 5
Multiplier par a
Étape 6
Ajouter b
Déterminer les valeurs de a et de b, pour que tout nombre ressorte inchangé après avoir traversé la
nouvelle machine.
Master 1 : 2ème semestre : EC 9A : éléments de mathématique – 6h cours et TP - TD - JA
Correction
Exercice 1 :
Bilan des ventes et des dépenses du maquignon :
-2 000 € + 3 000 € - 4 000 € + 5 000 € = + 2 000 €
Le maquignon a donc gagné 2 000 €.
Exercice 2 :
Dans la définition de la division euclidienne de a par b, (a = bq + r et 0 ≤ r < b) il ne faut surtout pas
oublier la 2e condition : 0 ≤r < b, qui est aussi importante que la première.
Car toute écriture du type a = bq + r n'est pas caractéristique de la division euclidienne de a par b, ce
qui est l'objet de la question c. de cet exercice.
a. La division euclidienne de a par b, a entier naturel et b entier naturel non nul, consiste à
déterminer le couple d'entiers naturels (q ; r) tel que : a = bq + r et 0 ≤ r < b.
b. Comme 642 < 781, alors le reste de la division euclidienne de 184 177 par 781 est 642.
c. Comme 642 > 235, alors le reste de la division euclidienne de 184 177 par 235 ne peut être 642. On
a alors: 642 = 2 x 235 + 172. D'où : 184 177 = 235 x 781 + 2 x 235 + 172.
184 177 = 235 (781 + 2) + 172.
184 177 = 235 x 783 + 172 et 172 < 235.
Par conséquent, le reste de la division euclidienne de 184 177 par 235 est 172.
Exercice 3 :
a. Le nombre qu'il faut entrer dans la machine pour obtenir 0 est 3 :
0
0
20
5
3
Multiplier par 2 Ajouter 20
Diviser par 4 Enlever 2
b. 1er étape : x + 2
2ème étape : 4 lx + 2) = 4x + 8
36 étape : 4x + 8 - 20 4x - 12
4e étape : (4x - 12) : 2 2x - 6
Remarque On peut vérifier qu'en entrant 3 dans la machine, le nombre qui sort est 2 x 3 - 6 = 0.
c. Je cherche s'il existe un nombre x tel que : 2x - 6 = x
Soit : 2x - x - 6, c'est-à-dire : x = 6
Ce que l'on peut vérifier, car 2 x 6 - 6 = 12 - 6 = 6.
d. Remarque
La difficulté de cette question tient à la nature des nombres qui sont représentés par des lettres. En
effet : Le nombre qui sort de la nouvelle machine est: a (2x - 6) + b = 2ax - 6a + b Et on cherche a et b,
tels que, pour tout nombre x, 2ax - 6a + b = x. Donc, les inconnues sont a et b, alors que x prend
toutes les valeurs que l'on veut, autrement dit, x n'est pas une inconnue, mais une variable. Et donc,
on peut donner à x toutes les valeurs que l'on veut.
Pour x = 0 : - 6a + b = 0, soit b = 6a.
Pour x = 3 : b = 3 et donc 6a = 3, soit a =