Démonstration 3
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Démonstration 3
Automne 2013 IFT–2505 Demo 3 - 23 septembre 2013 1. Considérons le problème de programmation linéaire suivant : max 1000x1 + 1200x2 x t.q. 8x1 + 4x2 ≤ 160 4x1 + 6x2 ≤ 120 x1 ≤ 34 x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0. (a) Résoudre le problème avec la méthode graphie. (b) Résoudre le problème avec l’algorithme du simplexe (forme tableau). 2. Déterminer toutes les solutions de base réalisables pour le système 2x1 + 6x2 + x3 + x4 = 3 6x1 + 4x2 + 3x3 + 6x4 = 2 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4. 3. Considérer le problème de programmation linéaire min − x1 − 2x2 − 3x3 + x4 t.q. x1 + 2x2 + 3x3 = 15 2x1 + x2 + 5x3 = 20 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4. À une certaine itération du simplexe, l’inverse de la base est 5 − 73 0 7 2 − 1 0 7 7 9 4 −7 1 7 (a) Poursuivre la résolution de ce problème après avoir identifié le tableau du simplexe associé à cette base. (b) Supposons que le terme de droite de la troisième contrainte devienne égal à 8 : x1 + 2x2 + x3 + x4 = 8. La solution de base optimale obtenue au point précédent demeure-telle réalisable ? Quelle est la modification de la valeur optimale de la fonction économique ? 1 4. Considérer le problème de programmation linéaire suivant : min x1 + x2 − 4x3 t.q. x1 + x2 + 2x3 ≤ 9 x1 + x2 − x3 ≤ 2 − x1 + x2 + x3 ≤ 4 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3. Utilisons les variables d’écart x4 , x5 , x6 pour transformer le problème sous forme standard. À une itération du simplexe, nous retrouvons le tableau suivant x1 x2 x3 x4 x5 x6 b 1 2 1 x1 1 − 31 0 0 − 3 3 3 x5 0 a 0 0 1 1 d 2 1 1 13 x3 0 1 0 3 3 3 3 −z 0 b 0 c 0 2 e – Spécifier l’inverse de la base associée à ce tableau du simplexe. – Déterminer les valeurs de a, b, c, d, e. – La solution dans ce tableau est-elle optimale ? Pourquoi ? Si elle n’est pas optimale, poursuivre la résolution du problème pour identifier une solution optimale. – Supposons que le vecteur des termes de droite est modifié avec le vecteur suivant (∆, ∆, ∆)T . Quelle est la plus grande valeur que peut prendre ∆ pour que la solution optimale du problème original demeure réalisable pour le nouveau problème ainsi généré, et quelle est la valeur optimale de ce nouveau problème ? 2