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Transcription

Les opérations sur les fractions
Durée suggérée: 4 semaines
LES OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS
Aperçu du module
Orientation et
contexte
Dans le présent module, les élèves appliqueront le préacquis en matière
d’opérations avec des fractions et des nombres entiers à la multiplication
et à la division de fractions positives et de nombres mixtes
concrètement, à l’aide d’images et symboliquement. Le travail avec les
fractions équivalentes a été vu en 5e année d’études et l’établissement
d’un rapport entre les fractions impropres et les nombres mixtes, en 6e
année d’études; l’addition, la soustraction et la comparaison de fractions
ont quant à elles été vues en 7e année d’études. On verra maintenant les
autres opérations que sont la multiplication et la division.
La multiplication de fractions par des nombres entiers sera d’abord
présentée comme une addition répétée. À partir de cette base et de
travaux élaborés avec des représentations concrètes, telles que les bandes
de fractions, les blocs de motif, les droites numériques et les modèles
d’aire, les élèves généraliseront une règle de multiplication de fractions.
Après cela, le concept de regroupement et de modélisation sur une
droite numérique, et l’idée des opérations inverses permettront aux
élèves de généraliser une règle de division de fractions. L’estimation
avec des points de repères de zéro, d’une demie et d’un tout est
encouragée tout au long du module pour aider les élèves à déterminer
la vraisemblance des réponses. Enfin, les élèves consolideront les quatre
opérations avec fractions en appliquant l’ordre des opérations.
Pourquoi est-ce
important?
Le travail avec les fractions permet aux élèves d’apprendre à travailler
plus facilement avec les nombres. Une compréhension solide des
fractions est essentielle pour le travail futur avec les expressions
rationnelles. Les fractions comptent également parmi les éléments
fondamentaux de l’algèbre et de la trigonométrie.
Les fractions sont utilisées tous les jours par les médecins, les
infirmières, les mécaniciens et les courtiers, pour ne nommer que
quelques uns des utilisateurs. La connaissance de la multiplication ou
de la division de fractions sera souvent utilisée dans la vie quotidienne.
Qu’il s’agisse de l’achat d’un revêtement de sol ou de tissu pour quatre
robes de demoiselles d’honneur, de la modification de recettes ou du
calcul de la quantité et des dimensions du bois d’œuvre requis pour un
projet en particulier, il existe de nombreuses activités qui requièrent la
multiplication et la division de fractions.
82
PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE
Processus
mathématiques
Résultats
d’apprentissage
[C] Communication
[L] Liens
[CE] Calcul mental et estimation
[RP]
[R]
[T]
[V]
Résolution de problèmes
Raisonnement
Technologie
Visualisation
DOMAINE
RÉSULTAT D’APPRENTISSAGE
Le nombre
Démontrer une compréhension de la
multiplication et de la division de
fractions positives et de nombres
fractionnaires, de façon concrète, imagée
et symbolique. [8N6]
PROCESSUS
MATHÉMATIQUES
C, L,
CE, RP
83
Domaine: Le nombre
Résultats d’apprentissage
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
compréhension de la
fractionnaires, de façon concrète,
imagée et symbolique.
[C, CE, L, RP]
Indicateur de rendement:
8N6.1 Modéliser la
multiplication d’une fraction
positive par un nombre entier
positif, de façon concrète ou
imagée à l’aide du concept de la
surface et noter le processus.
Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
La multiplication ou la division de fractions est semblable à celle
de nombres entiers, bien que les algorithmes soient différents. Il est
important que les élèves se rendent compte que la signification de
l’opération n’a pas changé juste parce qu’ils travaillent maintenant avec
des fractions.
En 7e année d’études, les élèves ont utilisé des modèles et un algorithme
pour additionner ou soustraire des fractions positives. Ils se sont servis
de points de repères pour l’estimation, en plus de faire beaucoup de
travail sur l’équivalence, le classement et la réduction à une forme
simplifiée.
La recherche indique que l’enseignement des fractions au moyen de
règles de mémorisation comporte des risques importants; les règles
n’aident pas les élèves à penser d’aucune façon à la signification des
opérations ou aux raisons pour lesquelles celles-ci donnent des résultats
et la maîtrise observée à court terme est souvent rapidement perdue (Van
de Walle 2001, p. 228).
L’étude des opérations avec fractions par l’utilisation de modèles, tels
que les droites numériques, le modèle d’aire, les jetons, les cercles et les
bandes de fractions, aide à solidifier la compréhension de ces concepts.
Dans le cas de la multiplication d’une fraction par un nombre entier,
d’après une opinion erronée et répandue, il faut multiplier aussi bien
le numérateur que le dénominateur par le nombre entier. L’utilisation
d’un modèle concret devrait aider à éliminer cette opinion. Le modèle
confirme le fait qu’un dénominateur indique le nombre de parties égales
qui forment le tout et cela ne change pas lorsqu’on multiplie par un
nombre entier. Des exemples de modèles concrets illustrant 6 × 13 sont
donnés ici :
Modèle de blocs-formes
Multipliez
6 × 13
Il faut six blocs-formes de 1/3.
Par conséquent,
6 × 13 = 2
Il est important que l’élève soit exposé à un modèle concret, puis à la
représentation illustrée du modèle, ce qui mène à la compréhension de la
multiplication symbolique de fractions.
84
Résultat d’apprentissage général: Développer le sens du nombre
Stratégies d’évaluation
Ressources/Notes
Papier et crayon
• Tracez une droite numérique pour montrer pourquoi chacun des
énoncés ci-après est vrai:
(i)
1
3
×3 =1
(ii) 3 × 13 = 1
(iii) Utilisez un modèle différent pour vérifier ce qui précède.
(8N6.1)
Chenelière Mathématiques 8
Résolution de problème
• Alexandre a rempli 5 verres en versant
dans chaque verre.
7
8
de litre de boisson gazeuse
(i) Estimez la quantité de boisson gazeuse qu’Alexandre a utilisée.
(ii) Utilisez un modèle pour déterminer la quantité de boisson
gazeuse qu’Alexandre a utilisée.
(8N6.1, 8N6.4)
Leçon 3.1: Multiplier une fraction
et un nombre naturel à l’aide de
modèles
GE: ProGuide: p. 4-9, FR 3.16
CD-ROM: FR 3.27
ME: p. 104-109
85
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
Indicateurs de rendement:
8N6.2 Modéliser la
multiplication d’une fraction
positive par une fraction
positive, de façon concrète ou
imagée à l’aide du concept de la
surface et noter le processus.
Divers modèles peuvent servir à démontrer ce que signifie la
multiplication de fractions. Le modèle d’aire servant à multiplier deux
fractions est souligné dans le présent indicateur de réussite.
Pour modéliser 23 × 52 , créez le rectangle fondé sur les facteurs de la
multiplication. Les dénominateurs déterminent les dimensions du
rectangle et les numérateurs indiquent l’ombre requis.
Pour commencer, divisez le rectangle verticalement en cinquièmes et
ombrez deux des cinquièmes.
Ensuite, pour déterminer les deux tiers des deux cinquièmes ombrés, divisez le rectangle en tiers le long de la dimension horizontale.
Enfin, ombrez deux tiers horizontalement. Le produit sera l’aire à ombre
double (quatre carrés sur quinze).
Par conséquent,
8N6.3 Fournir un contexte
comportant la multiplication de
deux fractions positives données.
2
3
× 25 = 154 .
L’établissement d’un rapport entre la multiplication de fractions et des
situations réelles aide à solidifier la compréhension des élèves. Lorsqu’on
leur demande de proposer un contexte qui requiert la multiplication de
deux fractions positives données, il se peut que certains élèves utilisent
un contexte original pour leur problème et que d’autres adoptent le
libellé d’un problème précédent. Encouragez les élèves à partager leurs
problèmes de manière à être exposés à des problèmes qui indiquent une
certaine originalité.
Il faudrait montrer que « de » signifie « multiplication ». Cela peut se
faire par la comparaison des résultats obtenus dans des exemples tels que
1
2
86
de 6 et
1
2
×6 .
Ressources/Notes
Journal
3
• Lise a 4 d’une grosse friandise. Elle a donné
Simon.
1
3
de ce qu’elle avait à
1
(i) Démontrez que Simon a obtenu moins que 3 de ce qui aurait
été une friandise entière.
(ii) Quelle fraction de la friandise entière Simon a-t-il reçu?
(iii) Quelle fraction de la friandise entière reste-t-il à Lise?
(8N6.2)
• Demandez aux élèves de se reporter à des problèmes comme
l’élément d’évaluation plus haut comme point de départ servant à
créer leurs propres problèmes.
(8N6.1, 8N6.2, 8N6.3)
Leçon 3.2: Multiplier des fractions à l’aide de modèles
CD-ROM: FR 3.28
ME: p. 110-114
• Expliquez comment on pourrait utiliser un diagramme pour trouver
3
4
× 25 .
(8N6.2)
Leçon 3.2: Multiplier des fractions à l’aide de modèles
Leçon 3.3: Multiplier des fractions
Leçon 3.4: Multiplier des nombres fractionnaires
GE: ProGuide: p. 14, 18-19, 2526, FR 3.16
ME: p. 114,119,126
87
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
L’estimation maintient l’attention sur la signification des nombres et des
opérations, encourage la réflexion et aide à construire la notion des nombres avec les fractions.
Pour calculer des produits proches de 0,
suivantes :
1
2
ou 1, prenons les propriétés
0 x n = 0, où n est n’importe quelle valeur
1 x n = n, où n est n’importe quelle valeur
1x1=1
[C, CE, L, RP]
En appliquant ces propriétés et en utilisant les points de repères de 0,
(suite)
de 12 , et de 1 pour des facteurs donnés, les élèves peuvent calculer un
produit.
8N6.4 Estimer le produit de
deux fractions propres positives
pour déterminer si le produit est
plus près de 0, de
1
2
Pour estimer le produit de
1
9
par
8
9
, encouragez les élèves à penser au
fait que 19 est proche de 0. Comme 0 × 89 = 0 , 19 × 89 serait proche de 0.
De même, il est possible de calculer les produits qui suivent à l’aide de
point de repères.
Déterminer des
points de repère
ou de 1.
8
9
× 94
8
9
× 89
8
9
B 1, 94 B 1
8
9
B1
Multiplier à l’aide
des points de
repère
1× 12 =
Estimer un produit
1
2
8
9
× 94 B
1× 1 = 1
8
9
× 89 B 1
1
2
L’estimation aide à donner du sens aux calculs de fractions. Il devrait
jouer un rôle important dans l’élaboration de stratégies de multiplication.
88
Ressources/Notes
Observation
• Jeu de la roulette : Utilisez une roulette à quatre sections. Étiquetez
1 9 11 5
chaque section avec des fractions telles que 9 , 10 , 12 , 11 . Faites
tourner la roulette deux fois et calculez le produit. Marquez 0 point
quand le point de repère le plus proche est zéro, un point quand le
point de repère le plus proche est 12 , et 2 points quand le point de
repère le plus proche est 1. Le gagnant est le premier élève à marquer
20 points.
(8N6.4)
GE: ProGuide: p. 15-20
CD-ROM: FR 3.29
ME: p. 115-120
89
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
8N6.5 Énoncer et appliquer
des règles générales pour
multiplier des fractions propres
positives, incluant des nombres
fractionnaires.
La création de suites numériques permet de passer avantageusement du
concret au symbolique. Lorsqu’on multiplie un nombre entier par une
fraction, on peut utiliser la suite suivante :
8 × 4 = 32
8 × 2 = 16
8 ×1 = 8
8 × 12 = 4 →
8
1
× 12 = 82 = 4
8 × 14 = 2 →
8
1
× 14 = 84 = 2
8 × 18 = 1 →
8
1
× 18 = 88 = 1
Il est possible d’étendre cette suite de manière à inclure d’autres produits
de fractions et, en bout de ligne, à créer une généralisation au sujet de la
multiplication de fractions.
Après avoir travaillé avec des modèles, les élèves devraient observer que
lorsqu’on multiplie deux fractions, le numérateur est le produit des
numérateurs et le dénominateur, celui des dénominateurs. Par exemple,
2
× 52 = 23××52 = 154 .
3
L’estimation est très utile une fois que les élèves sont passés au niveau
symbolique.
Pour vérifier la vraisemblance de la solution, voyez
2
3
comme un peu
moins que 1 et 25 comme un peu moins que 12 . Comme 1× 12 = 12 , et
que chaque fraction est légèrement moins que ces facteurs, le produit
devrait être moins que 12 . Le produit,
donc d’une réponse vraisemblable.
4
15
, est moins que
1
2
, et il s’agit
D’après une opinion erronée et répandue, la multiplication fait toujours
grossir les chiffres. Lorsque l’un des facteurs est entre zéro et un, ce n’est
pas le cas. L’utilisation de modèles, de même que l’estimation, devraient
aider à surmonter cette opinion erronée.
La modélisation de la multiplication de nombres mixtes devrait avoir
lieu avant la multiplication des fractions impropres équivalentes. Il n’est
pas nécessaire de faire référence aux fractions impropres lorsqu’on utilise
les modèles.
À suivre
90
Ressources/Notes
Papier et crayon
• La dernière fois que Mme Martinez a commandé de la pizza, il est
resté 23 d’une pizza de 12 pointes. Robert est entré et a mangé 12
de ce qui restait. Les autres élèves étaient en colère parce que Robert
avait mangé 12 de ce qui restait. Robert a dit : « Je n’ai mangé que
deux pointes ». Avait-il raison? Combien de pointes a-t-il mangé?
Quelle fraction de la pizza complète a-t-il mangée?
(8N6.5)
• Il faut 1 53 m de tissu pour coudre une blouse. Combien de mètres de
tissu faut-il pour coudre 12 blouses du même genre?
(8N6.5)
CD-ROM: FR 3.29
ME: p. 115-120
Journal
• Jérôme a calculé
3
5
× 52 comme suit:
3
5
× 52 = 65 .
(i) Quelle erreur Jérôme a-t-il faite?
(ii) Comment pourrait-on utiliser l’estimation pour montrer à
Jérôme qu’il a fait une erreur?
(iii) Quelle est la bonne procédure à utiliser? (8N6.1, 8N6.5)
• Dans le cadre de votre travail comme jardinier, vous devez décider
1
de la façon d’utiliser votre potager. Vous affectez 2 du potager à la
1
culture de la pomme de terre. Vous utilisez 4 de la superficie restante
1
pour cultiver le maïs. Vous plantez ensuite des concombres dans 3
de ce qui reste. Le reste du potager sert à faire pousser des carottes.
Quelle fraction du potager est utilisée pour les carottes? (8N6.5)
Leçon 3.4: Multiplier des nombres fractionnaires
CD-ROM: FR 3.30
ME: p. 121-126
91
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
des règles générales pour
multiplier des fractions propres
positives, incluant des nombres
fractionnaires.
(suite)
Un modèle d’aire servant à multiplier 1 15 par 2 15 est illustré ci-dessus:
(1 × 2 ) + (1 × 13 )+ (15 × 2 )+ (15 × 13 )
= 2 + 13 + 52 + 151
= 2 + 155 + 156 + 151
= 2 12
15
= 2 54
Les élèves finiront peut-être par être en mesure de faire ces calculs sans
avoir à dessiner le modèle d’aire.
Une erreur fréquente que l’on fait au moment de trouver le produit
de nombres mixtes consiste à multiplier les nombres entiers
ensemble et les fractions ensemble. L’utilisation du modèle d’aire
démontre clairement pourquoi cette façon de procéder est incorrecte.
Comme le produit est l’aire de tout le rectangle, quand on multiplie
seulement les nombres entiers ensemble et les fractions ensemble, il
manque les deux parties non ombrées.
Après avoir utilisé le modèle d’aire, les élèves peuvent passer à la
réécriture des nombres mixtes sous forme de fractions impropres
avant de trouver le produit. Cette conversion à la fraction impropre
équivalente était un résultat d’apprentissage en 6e année d’études et elle
a été revue en 7e année. Tout comme dans le cas de la multiplication de
fractions propres, il est essentiel que les élèves vérifient la vraisemblance
de leur réponse à l’aide de l’estimation.
Les élèves ont vu les fractions équivalentes en 7e année d’études. Tout
comme dans le cas de l’addition et de la soustraction, ils devraient
être encouragés à réduire les fractions à leur plus simple expression au
moment de les multiplier.
92
Ressources/Notes
Papier et crayon
• Johanne a donné la réponse qui suit dans ses devoirs.
2 13 × 1 34 = 3 121
(i) Utilisez un modèle d’aire pour montrer pourquoi cette réponse
est erronée.
(ii) Quelle erreur Johanne a-t-elle faite?
(iii) Quelle est la bonne réponse?
(8N6.5)
« Rappel des connaissances » fournit des activités sur des nombres
fractionnaires et des fractions
impropres.
CD-ROM: FR 3.37b
« Rappel des connaissances »
Journal
• Jeanne a multiplié 2 13 × 2 12 comme suit : 2 13 × 2 12 = 73 × 52
= 146 × 156
= 210
36
http://www.visualfractions.com/
MultStrict.html
= 356
= 5 56
(i) La réponse finale de Jeanne était-elle bonne?
(ii) Comment Jeanne a-t-elle rendu les calculs plus longs que
nécessaire?
(8N6.5)
Interview
• Demandez aux élèves de faire chacune des multiplications suivantes
et d’expliquer leur réflexion.
(i) 5 16 × 8
(ii) 4 × 8 83
(8N6.5)
93
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
8N6.6 Modéliser la division
d’un nombre entier par une
fraction propre positive, de
façon concrète ou imagée, et
noter le processus.
Il est nécessaire de travailler avec des modèles concrets ou illustrés
lorsque les élèves découvrent la division de fractions. Il ne suffit pas
que la connaissance de la division de fractions se limite à l’algorithme
traditionnel d’inversion et de multiplication. Pour développer la
compréhension conceptuelle qu’ont les élèves de la division de fractions, l’enseignant doit examiner avec soin ce que les élèves ont besoin
d’apprendre au-delà de cette procédure algorithmique.
Les élèves ont découvert la division de nombres entiers de deux façons:
partage et regroupement. Cette idée peut s’appliquer à la division de
fractions. Il est approprié de concevoir à la division d’une fraction par
un nombre entier comme étant un partage égal.
2
Prenons l’exemple suivant : On a 3 d’une pizza à diviser également entre
trois personnes. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle?
Le diagramme illustre
2
3
d’une pizza.
Pour diviser la pizza également entre 3 personnes, découpez
chaque morceau en tiers et partagez les 6 morceaux également.
Chaque personne recevra
2
9
d’une pizza.
Ou bien, 23 ÷ 3 peut signifier que 2 tiers sont partagés par 3 personnes.
La création d’une fraction équivalente avec numérateur divisible par 3
donne 69 ÷ 3 . Cela signifie que 6 neuvièmes sont partagés par 3 personnes et chaque personne obtiendra donc 2 neuvièmes.
À suivre
94
Ressources/Notes
Journal
• Expliquez la différence entre « six divisé par une demie » et « six
divisé de moitié ». Écrivez un énoncé de division pour chaque phrase
et trouvez chaque quotient.
(8N6.6)
• Expliquez comment le diagramme ci-après peut servir à calculer
1
4
÷3 .
Leçon 3.5: Diviser des nombres
naturels et des fractions
CD-ROM: FR 3.31
Y a-t-il d’autres matériels de manipulation ou diagrammes que l’on
pourrait utiliser? Expliquez.
(8N6.6)
ME: p. 129-134
• Vous avez 34 d’une pizza à diviser en parts égales entre deux personnes. Utilisez un modèle pour déterminer la quantité de pizza que
chaque personne recevra alors.
(8N6.6)
95
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
Une droite numérique peut aussi offrir un modèle utile pour la division.
Pour modéliser
2
3
• Mesurez
2
3
÷3 :
.
[C, CE, L, RP]
(suite)
noter le processus.
(suite)
• Divisez
2
3
en trois parties égales.
2
3
2
divisé en 3 parties égales donne des morceaux égaux de 9 . Par con.
séquent, 23 ÷ 3 = 29
Lorsque vous divisez un nombre entier par une fraction, demandez vous
« Combien de groupes égaux est-il possible de faire? » Vous avez 3 pizzas.
Chaque personne mange 13 d’une pizza et toutes les pizzas sont mangées
au complet. Combien de personnes mangent les pizzas?
Commencez avec 3 pizzas et divisez celles-ci en tiers. Combien de
1
groupes de 3 y a-t-il?
Il est possible de diviser les pizzas en 9 groupes égaux de
1
3
.
À suivre
96
Ressources/Notes
• On paie 3 $ pour 34 kg de noix. Utilisez un modèle pour déterminer
combien coûterait 1 kg de ces noix.
(8N6.6)
Performance
• Démontrez par des diagrammes et expliquez pourquoi chacun des
énoncés qui suivent est vrai.
CD-ROM: FR 3.31
(i) 2 ÷ 14 = 8
(ii)
1
2
÷2 =
1
4
(8N6.6)
ME: p. 129-134
97
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
En vous servant d’une droite numérique pour modéliser 3 ÷ 13 ,
• mesurez 3
[C, CE, L, RP]
(suite)
• en commençant à zéro, délimitez le nombre de groupes de
1
3
noter le processus.
(suite)
Par conséquent, 3 ÷ 13 = 9 .
Il se peut que les élèves aient plus de difficulté à utiliser des droites
numériques lorsque le quotient n’est pas un nombre entier. L’enseignant
devrait consacrer plus de temps aux questions comme celles qui suivent.
Modélisez 3 ÷ 23 sur une droite numérique.
• mesurez 3
• En commençant à zéro, délimitez le nombre de groupes de
Il est possible de former 4 entiers à l’aide de groupes de
ainsi une partie d’un tout comme reste.
2
3
2
3
, laissant
À suivre
98
Ressources/Notes
Papier et crayon
• Utilisez un diagramme pour calculer ce qui suit.
(i) 4 ÷ 13
(ii) 3 ÷ 12
(iii) 2 ÷ 15
(8N6.6)
CD-ROM: FR 3.31
ME: p. 129-134
99
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
• Trouvez le montant restant.
8N6 Démontrer une
Deux tiers constituent un tout. Il reste un tiers. Ainsi, il reste 1 morceau
[C, CE, L, RP]
sur 2, ou
(suite)
D’après une opinion erronée et répandue, la division rend toujours les
chiffres plus petits. Les élèves devraient voir ici que ce n’est pas le cas.
noter le processus.
(suite)
1
2
. Par conséquent, 3 ÷ 23 = 4 12 .
Une bonne compréhension de la modélisation de la division d’une fraction et d’un nombre entier devrait permettre de passer en douceur à la
division de fractions propres positives. On trouvera ci-après un exemple
de division d’une fraction par une autre à l’aide de bandes de fractions.
Lorsqu’ils divisent
4
5
par
1
3
, les élèves doivent utiliser des diagrammes
pour déterminer combien de groupes de
1
3
il y a dans
ci-après montre que le nombre de groupes de
1
3
dans
4
5
4
5
. Le diagramme
est entre 2 et 3.
d’une fraction propre positive
par une fraction propre positive
de façon imagée, et noter le
processus.
Il est difficile de déterminer avec précision combien de groupes il y a. Le
dénominateur commun pour 5 et 3 est 15. L’utilisation d’un rectangle
divisé en quinzièmes aidera les élèves à déterminer le nombre exact de
groupes.
Dans
12
15
il y a 2 groupes de
conséquent,
4
5
5
15
, plus
2
5
d’un autre groupe. Par
÷ 13 = 2 52 .
À suivre
100
Ressources/Notes
• Vous avez
(i)
5
6
d’un litre de crème glacée.
Environ combien de boîtes de
crème glacée?
1
2
litre pourriez-vous remplir de
(ii) Calculez le nombre de boîtes de 12 litre que vous pourriez
remplir de cette crème glacée. Incluez un diagramme.
(8N6.7)
Leçon 3.6: Diviser des fractions
CD-ROM: FR 3.32
ME: p. 135-139
101
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
La modélisation de la division d’une fraction par une fraction à l’aide
d’une droite numérique est semblable au modèle de la bande de
fractions. Il est avantageux d’utiliser un dénominateur commun pour
délimiter les intervalles sur la droite numérique. Pour modéliser
4
5
÷ 13 :
• utilisez une droite numérique divisée en quinzièmes et indiquez
4
5
(54 = 1215 ) , la première fraction dans l’opération.
d’une fraction propre positive
par une fraction propre positive
de façon imagée, et noter le
processus.
(suite)
• En commençant à zéro, délimitez des groupes de
5
15
(13 = 155 ) jusqu’à
ce qu’il ne soit plus possible de former des groupes entiers de 155 .
Deux groupes entiers de
5
15
sont formés.
• Cinq quinzièmes constituent un entier et il reste deux quinzièmes.
Autrement dit, il reste 2 morceaux sur 5, ou
2
5
.
Par conséquent, 54 ÷ 13 = 2 25 ; soit le même résultat que celui obtenu avec
les bandes de fractions.
102
Ressources/Notes
Papier et crayon
• Quelle expression de division cette image représente-t-elle? (8N6.7)
CD-ROM: FR 3.32
• Dessinez un modèle de bande de fractions pour illustrer
7
8
÷
1
.
4
(8N6.7)
ME: p. 135-139
103
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
Les élèves devraient toujours être encouragés à penser à la vraisemblance
de leurs réponses et à utiliser l’estimation pour les vérifier. Au moment
d’estimer des quotients proches de nombres entiers, considérez ce qui
suit :
0 ÷ n = 0, où n est n’importe quelle valeur et n ≠ 0
n ÷ 1 = n, où n est n’importe quelle valeur
1÷n=
1
n
, où n est n’importe quelle valeur et n ≠ 0
n ÷ n = 1, où n est n’importe quelle valeur et n ≠ 0
Les élèves ne sont pas responsables de la notation impliquant n et on
devrait leur rappeler que la division par zéro est non définie. En appliquant ces propriétés et en utilisant des points de repères qui sont des
nombres entiers, les élèves peuvent estimer un quotient.
Déterminer des points
de repère
8N6.8 Estimer le quotient de
deux fractions positives données
en utilisant des nombres entiers
comme points de repère.
des règles générales pour diviser
des fractions propres positives.
÷ 89
1
9
B 0, 89 B 1
0 ÷1 = 0
÷ 2 13
4
5
B 1, 2 13 B 2
1÷ 2 =
1
9
4
5
Diviser à l’aide des
points de repère
Estimer un quotient
1
9
1
2
4
5
÷ 89 B 0
÷ 2 13 B
1
2
4 15 ÷ 1 89
4 15 B 4,1 89 B 2
4÷2 = 2
4 15 ÷ 1 89 B 2
2 89 ÷ 3 101
2 89 B 3,3 101 B 3
3÷3 =1
2 89 ÷ 3 101 B 1
Une des façons d’aborder la généralisation de règles relatives à la division
de fractions nécessite d’utiliser des modèles pour montrer le rapport
entre la division et la multiplication correspondante.
Problèmes déjà
modélisés à l’aide
d’une droite
numérique
2
3
÷ 13 =
Problème de
multiplication associé
2
9
2
3
3 ÷ 13 = 9
3
1
× 13 =
2
9
Par conséquent
(∴ )
∴ 23 ÷ 13 = 32 × 13
× 13 = 19 = 9
∴ 3 ÷ 13 = 13 × 13
3
1
÷ 23 = 4 12 =
9
2
3
1
× 32 = 92 = 4 12
∴ 13 ÷ 32 = 13 × 32
4
5
÷ 13 = 2 52 = 125
4
5
× 13 = 125 = 2 52
∴ 54 ÷ 13 = 54 × 13
À suivre
104
Ressources/Notes
Interview
• Estimez chacune des divisions ci-après et expliquez votre réflexion.
(i) 24 ÷ 4 14
(ii) 32 ÷ 7 34
(8N6.8)
fractionnaires
GE: ProGuide: p. 35-40, 41-46
ME: p. 135-140, 141-146
CD-ROM: FR 3.32
ME: p. 135-140
105
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
L’utilisation de suites numériques est aussi un bon moyen d’aider à
mieux comprendre la division de fractions. Lorsque vous divisez un
nombre entier par une fraction, considérez la suite numérique suivante :
8÷4 =2
8÷2 = 4
8 ÷1 = 8
8 ÷ 12 = 16 → 18 × 12 = 16
(suite)
8 ÷ 14 = 32 → 18 × 14 = 32
8 ÷ 18 = 64 → 18 × 18 = 64
(suite)
Cette suite peut être prolongée de manière à inclure d’autres quotients
de fraction et, en bout de ligne, à permettre de faire une généralisation
au sujet de la division de fractions.
Un des algorithmes servant à diviser des fractions est l’algorithme
du dénominateur commun. Cela nécessite de trouver un
dénominateur commun et de diviser les numérateurs. Par exemple,
÷ 13 = 12
÷ 155 = 12 ÷ 5 = 125 = 2 25 . Cette façon de procéder fait
15
appel à l’interprétation de la division fondée sur l’évaluation, ou le
regroupement de parts égales, interprétation à laquelle on a fait référence
plus tôt.
4
5
À suivre
106
Ressources/Notes
Journal
• Sarah a effectué la division
3
4
3
4
÷ 23 de la façon suivante :
÷ 23 = 34 × 23
=
8
9
Êtes-vous d’accord avec la méthode utilisée par Sarah et la réponse
obtenue? Expliquez.
(8N6.9)
CD-ROM: FR 3.32
• Expliquez pourquoi
15
16
÷ 58 est la moitié de
15
16
÷ 165 .
(8N6.9)
ME: p. 135-140
107
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
L’algorithme classique d’inversion et de multiplication fait découvrir
aux élèves le concept de réciproque. Les réciproques sont deux nombres
dont le produit est 1. Par exemple,
3
4
et
4
3
sont des réciproques parce
= 1 . Il est important d’insister sur le fait que tout nombre
que 34 × 34 = 12
12
entier peut être écrit sous forme de fraction dont le dénominateur est le
chiffre 1.
Cet algorithme est probablement l’une des procédures les plus mal comprises en mathématiques intermédiaires. Dans l’intérêt des enseignants,
une justification mathématique de cette approche est donnée ici.
(suite)
La raison pour laquelle multiplier
de façon réciproque fonctionne
(exemple)
2
3
÷ 54 =n
2
3
4
5
(suite)



=n
 4
4
 ( 5 ) =n( 5 )

2
3
4
5
Explication de la démarche
Division en format fractionnaire.
Multiplier chaque côté de
l’équation par le dénominateur:
4
5
( 23 ) ( 54 )  =n 4
(5 )

( 54 ) 



2
3
2
3
Simplifier.
=n× 54
× 54 =n× 54 × 54
Isoler
n en multipliant chaque
côté de l’équation par 54 , la
réciproque de 54 .
2
3
× 54 =n× ( 54 × 54 )
2
3
× 54 =n× (1)
2
3
1 est le produit des réciproques.
× 54 =n
∴ 23 ÷ 54 = 23 × 54
Ceci est vrai parce que
et
108
2
3
2
3
÷ 54 =n
× 54 =n .
Ressources/Notes
CD-ROM: FR 3.32
ME: p. 135-140
109
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
Le travail avec les nombres fractionnaires est le prolongement naturel de
la modélisation et des règles appliquées à la division de fractions propres.
Pour modéliser 3 34 ÷ 1 23 sur une droite numérique :
• Écrivez les fractions impropres équivalentes ayant un dénominateur
commun.
3 34 ÷ 1 23
[C, CE, L, RP]
(suite)
= 3 129 ÷ 1 128
45
20
= 12
÷ 12
• Utilisez une droite numérique divisée en douzièmes, indiquez
45
12
8N6.10 Modéliser et appliquer
des fractions avec des nombres
fractionnaires.
(1245 = 154 ), la première fraction dans l’opération.
• En commençant à 0, délimitez des groupes de
20
12
(1220 = 53 ) jusqu’à ce
qu’il ne soit plus possible de former des groupes entiers de
Deux groupes entiers de
20
12
20
12
.
sont formés.
• 20 douzièmes constituent un entier et il reste cinq douzièmes; ainsi,
il reste 5 morceaux sur 20, ou
5
20
Par conséquent, 3 34 ÷ 1 23 = 2 14 .
110
= 14 .
À suivre
Ressources/Notes
Portfolio
• Charlotte décide de préparer des muffins pour le pique-nique de
l’école. Sa recette requiert 2 14 tasses de farine pour faire 12 muffins.
Charlotte a constaté qu’il y avait exactement 18 tasses de farine dans
le pot à ingrédient et elle a donc décidé d’utiliser tout le contenu du
pot.
(i) Combien de muffins Charlotte peut-elle s’attendre à obtenir?
(ii) Le directeur de l’école a aimé les muffins de Charlotte et lui a
demandé d’agir comme traiteur à l’occasion du pique-nique de
l’école l’année prochaine, et de préparer assez de muffins pour la
totalité des 400 élèves. Combien de tasses de farine faudra-t-il à
Charlotte?
(8N6.10)
fractionnaires
CD-ROM: FR 3.33
ME: p. 141-146
111
Domaine: Le nombre
spécifiques
Les élèves devraient toujours être encouragés à vérifier la vraisemblance
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
8N6.10 Modéliser et appliquer
des fractions avec des nombres
fractionnaires.
(suite)
8N6.11 Fournir un contexte
comportant la division de deux
fractions positives données.
8N6.12 Identifier l’opération
appropriée pour résoudre un
problème comportant des
fractions positives.
de leurs réponses. Comme 3 34 B 4 et 1 23 B 2 , et 4 ÷ 2 = 2 , la réponse
2 14 est vraisemblable parce que 2 14 B 2 .
Aussi bien l’algorithme d’inversion et de multiplication que l’algorithme
du dénominateur commun peut être appliqué ici. Les nombres
fractionnaires doivent d’abord être réécrits sous forme de fractions
impropres équivalentes.
En plus de devoir résoudre des problèmes nécessitant la division de
fractions et expliquer les méthodes de résolution utilisées, les élèves
devraient également être tenus d’écrire des problèmes sous forme
d’énoncés qui correspondent à une division de fractions donnée. Cela
exige une compréhension plus approfondie que celle requise par les
calculs simples et les réponses des élèves permettront à l’enseignant
d’avoir une opinion mieux équilibrée de la pensée des élèves. Il peut être
avantageux de modéliser ce genre de procédé avec la classe. Encouragez
les élèves à continuer à partager les problèmes qu’ils conçoivent, de façon
à être exposés à des situations uniques qui exigent d’utiliser la division
de fractions.
La détermination de l’opération requise pour résoudre un problème
mathématique sous forme d’énoncé peut être difficile pour les élèves de
niveau intermédiaire. Avant de résoudre des problèmes, il est important
de lire au complet divers énoncés de problèmes avec les élèves et de
cerner les mots clés qui déterminent la ou les opérations requises pour
résoudre chaque problème. La priorité ici n’est pas de demander aux
élèves de résoudre les problèmes. Il pourrait être avantageux d’élaborer
un tableau incluant des mots ou des concepts, tel que celui ci :
Addition
somme
total
tout ensemble
Soustraction
différence
dépasser
soustraire
combien de plus
que ?
combien de moins
que ?
Multiplication
produit
multiplier
fois
Division
quotient
parties égales
groupes égaux
diviser
On peut ajouter des éléments à ce tableau en tout temps.
À suivre
112
Ressources/Notes
Papier et crayon
• La recette de salsa de Céline est très populaire. La liste d’ingrédients
qui suit permet de préparer assez de salsa pour 6 personnes.
2 14 tasse(s) de tomates en dés
1
2
tasse d’oignons
3
4
cuillerée à thé de sel
1
8
cuillerée à thé de sucre
2
3
tasse de poivron vert
(i) Céline organise une fête et il y aura 17 invités. De quelle façon
doit-elle modifier la liste des ingrédients pour s’assurer d’avoir assez de salsa pour la fête? Rédigez la nouvelle liste d’ingrédients.
(ii) Si Céline organise une soirée de cinéma à la maison et qu’il n’y
aura que deux personnes avec qui partager la salsa, de combien
plus petite la préparation sera t-elle? Rédigez la nouvelle liste
d’ingrédients.
(8N6.4 et 8N6.11 )
• Écrivez un énoncé de problème tiré du monde réel pour les
opérations suivantes en vous servant de fractions.
(i)
3 divisé par
1
4
(ii) 1 23 divisé par
1
6
(8N6.11)
• Formulez un problème que vous pourriez résoudre en divisant 34 par
3. Résolvez le problème.
(8N6.11)
fractionnaires
Leçon 3.8: Résoudre des problèmes à l’aide des fractions
GE: ProGuide: p. 39, 45,52, FR
3.9a, 3.9b
ME: p. 140, 146, 152
http://mathforum.org/paths/
fractions/frac.recipe.html
• Donnez aux élèves un certain nombre de problèmes. Demandez-leur
de déterminer l’opération nécessaire pour résoudre chaque problème
et d’expliquer pourquoi ils savent que c’est l’opération à utiliser.
Ne demandez pas aux élèves de résoudre le problème. Tout texte de
mathématiques peut servir de source pour les problèmes à proposer.
(8N6.12)
113
Domaine: Le nombre
spécifiques
L’élève devra
8N6 Démontrer une
[C, CE, L, RP]
(suite)
8N6.12 Identifier l’opération
appropriée pour résoudre un
problème comportant des
fractions positives. (suite)
8N6.13 Résoudre un problème
donné comportant des fractions
positives, en tenant compte de
la priorité des opérations (se
limitant aux problèmes ayant
des solutions positives).
Pour souligner l’importance de lire les problèmes attentivement,
demandez aux élèves de comparer les solutions de deux problèmes dont
l’énoncé ne diffère que par un seul mot, par exemple :
o Jacques peut habituellement conduire jusque chez lui à la vitesse
moyenne de 50 km/h. Un jour, une tempête d’hiver a réduit sa
vitesse des trois cinquièmes de sa vitesse habituelle. À quelle vitesse
moyenne s’est-il rendu chez lui ce jour là?
o Jacques peut habituellement conduire jusque chez lui à la vitesse
moyenne de 50 km/h. Un jour, une tempête d’hiver a réduit sa
vitesse aux trois cinquièmes de sa vitesse habituelle. À quelle vitesse
moyenne s’est-il rendu chez lui ce jour là?
Les élèves ont déjà été exposés à l’ordre des opérations dans le cadre
de leurs travaux avec les nombres entiers et les décimales au cours des
années d’études précédentes. Le travail avec les entiers dans le présent
cours prévoit lui aussi l’application de l’ordre des opérations. Pour
étendre cet ordre au travail avec des fractions, il se peut que la révision
de l’addition et de la soustraction de fractions soit nécessaire.
Les élèves pourraient utiliser une règle mnémonique, telle que
PEDMAS, pour se souvenir de l’ordre. Les exposants ne sont toutefois
pas inclus dans le cadre du présent résultat d’apprentissage. Si les élèves
se fient à ce moyen de mémorisation, il est important de réaffirmer
que la division et la multiplication se font dans l’ordre dans lequel elles
apparaissent de gauche à droite, tout comme on doit faire dans le cas de
l’addition et de la soustraction.
Au présent niveau, les élèves travaillent uniquement avec des fractions
positives et les questions doivent se limiter à celles qui ont une solution
positive.
Les représentations concrètes ou illustrées continuent d’être utiles quand
les élèves ont encore de la difficulté à effectuer les opérations de base
que sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division de
fractions, lorsqu’ils résolvent des problèmes qui font intervenir l’ordre
des opérations.
114
Ressources/Notes
Journal
• Marguerite participe à un concours en vue de gagner un téléphone
cellulaire. Elle doit répondre à la question réglementaire suivante :
Quelle est la valeur de 10 − 2 × 12 ?
(i) Comment Marguerite pourrait-elle déterminer que 4 est une
réponse possible?
(ii) Comment Marguerite pourrait-elle déterminer que 9 est une
réponse possible?
(iii)Quelle est la bonne réponse? Expliquez.
(8N6.13)
Leçon 3.8: Résoudre des problèmes à l’aide de fractions
• Comment le fait de connaître l’ordre des opérations aide-t-il à faire
en sorte que vous obteniez la même réponse à
tres élèves de la classe?
3
4
+
1
4
× 125
que les au(8N6.13)
Papier et crayon
• Insérez un jeu de parenthèses pour rendre vrais les énoncés qui suivent, et justifiez votre réponse.
(i)
1
2
+ 14 × 23 =
1
2
(ii) 34 × 15 + 23 × 53 = 1 121
Leçon 3.9: La priorité des opérations avec des fractions
GE: ProGuide: p. 47-52, 53-55.
FR 3.24
CD-ROM: FR 3.34, 3.35
ME: p. 147-152, 153-155
On peut retrouver des problèmes à
résoudre (en anglais) à
http://math.about.com/od/fractionsrounding1/a/freefractions.htm
(8N6.13)
115
116

(8e ann\351e 5 Module 3 Les op\351rations sur les fractions.indd)

Transcription

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