Division euclidienne

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Enoncés
1
Division euclidienne
Exercice 1 [ 01189 ] [Correction]
Soient a ∈ Z et b ∈ N∗ , on note q le quotient de la division euclidienne de a − 1 par b.
Déterminer pour tout n ∈ N, le quotient de la division euclidienne de (abn − 1) par bn+1 .
Exercice 2
[ 01198 ]
[Correction]
(a) Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a ∈ N par b ∈ N∗ alors
2r − 1 est le reste de la division euclidienne de 2a − 1 par 2b − 1.
(b) Montrer que pgcd(2a − 1, 2b − 1) = 2pgcd(a,b) − 1.
Exercice 3 [ 01215 ] [Correction]
On considère la suite (ϕn )n∈N définie par
ϕ0 = 0, ϕ1 = 1 et ∀n ∈ N, ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn
(a) Montrer
∀n ∈ N∗ , ϕn+1 ϕn−1 − ϕ2n = (−1)n
(b) En déduire
∀n ∈ N∗ , ϕn ∧ ϕn+1 = 1
(c) Montrer
∀n ∈ N, ∀m ∈ N∗ , ϕn+m = ϕm ϕn+1 + ϕm−1 ϕn
(d) En déduire
∀m, n ∈ N∗ , pgcd(ϕn , ϕm+n ) = pgcd(ϕn , ϕm )
puis pgcd(ϕm , ϕn ) = pgcd(ϕn , ϕr ) où r est le reste de la division euclidienne de m par
n.
(e) Conclure
pgcd(ϕm , ϕn ) = ϕpgcd(m,n)
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Corrections
Corrections
2
(d)
Exercice 1 : [énoncé]
a − 1 = bq + r avec 0 ≤ r < b.
abn − 1 = (bq + r + 1)bn − 1 = qbn+1 + bn (r + 1) − 1.
Or 0 ≤ bn (r + 1) − 1 < bn+1 donc la relation ci-dessus est la division euclidienne de
abn − 1 par bn+1 .
Le quotient de celle-ci est donc q.
pgcd(ϕm+n , ϕn ) = pgcd(ϕm ϕn−1 + ϕm−1 ϕn , ϕn ) = pgcd(ϕm ϕn−1 , ϕn ) = pgcd(ϕm , ϕn )
car ϕn ∧ ϕn−1 = 1.
Par récurrence on obtient que
∀q ∈ Nϕm ∧ ϕn = ϕm+qn ∧ ϕn
On en déduit alors pgcd(ϕm , ϕn ) = pgcd(ϕn , ϕr ) car on peut écrire m = nq + r avec
q ∈ N.
Exercice 2 : [énoncé]
(a) On aa = bq + r avec 0 ≤ r < b.
2a − 1 = 2bq+r − 1 = 2bq+r − 2r + 2r − 1 = (2b − 1)(1 + 2b + · · · + 2b(q−1) )2r + 2r − 1
avec 0 ≤ 2r − 1 < 2b − 1.
(e) Suivons l’algorithme d’Euclide calculant pgcd(m, n) :
a0 = m, a1 = n, a0 = a1 q1 + a2 , a1 = a2 q2 + a3 ,..., a p−1 = a p q p + 0 avec
a p = pgcd(m, n)
Or pgcd(ϕn , ϕm ) = pgcd(ϕa0 , ϕa1 ) = pgcd(ϕa1 , ϕa2 ) = . . . = pgcd(ϕa p , ϕ0 ) = ϕa p car
ϕ0 = 0.
Ainsi pgcd(ϕm , ϕn ) = ϕpgcd(m,n) .
(b) Posons a0 = a, a1 = b et définissons a2 , . . . , am comme par l’algorithme d’Euclide
avec am = pgcd(am−1 , am−2 ).
On a
pgcd(2a −1, 2b −1) = pgcd(2a0 −1, 2a1 −1) = pgcd(2a1 −1, 2a2 −1) = . . . = pgcd(2am −1, 20 −1) = 2am −1
Exercice 3 : [énoncé]
(a) Par récurrence sur n ∈ N∗ :
Pour n = 1 : ϕ2 ϕ0 − ϕ21 = 0 − 1 = −1 : ok.
Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1.
ϕn+2 ϕn − ϕ2n+1 = (ϕn + ϕn+1 )ϕn − ϕn+1 (ϕn + ϕn−1 ) = ϕ2n − ϕn+1 ϕn−1 = −(−1)n = (−1)n+1
HR
Récurrence établie.
(b) Par l’égalité de Bézout on obtient que ϕn ∧ ϕn+1 = 1 puisque la relation précédente
permet d’écrire uϕn + vϕn+1 = 1 avec u, v ∈ Z.
(c) Par récurrence sur m ∈ N∗
Pour m = 1 : ϕn+1 = ϕ1 ϕn+1 + ϕ0 ϕn car ϕ1 = 1 et ϕ0 = 0.
Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1
ϕn+m+1 = ϕ(n+1)+m = ϕm ϕn+2 +ϕm−1 ϕn+1 = ϕm ϕn+1 +ϕm ϕn +ϕm−1 ϕn+1 = ϕm+1 ϕn+1 +ϕm ϕn
HR
Récurrence établie.
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