5. Opérations et fractions

5ème
CHAPITRE 5
OPERATIONS SUR DES NOMBRES EN ECRITURES FRACTIONNAIRES
Dans ce chapitre, nous allons apprendre à ajouter, soustraire ou multiplier deux nombres en écriture
fractionnaire… Il est impératif de bien revoir et connaître le chapitre n°3 !
I. Somme et différence de deux nombres en écriture fractionnaire
Règle
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire :
• les deux fractions doivent avoir le même dénominateur ;
• on additionne ou on soustrait les numérateurs uniquement, et on garde le dénominateur commun.
Exemples
5
9
+
12 12
14
A=
12
7
A=
6
¤ A=
5 3
+
8 16
5×2 3
B=
+
8 × 2 16
10 3
B=
+
16 16
13
B=
16
¤ B=
2
3
7 2
C= +
1 3
7×3 2
C=
+
1×3 3
21 2
C= +
3 3
23
C=
3
¤ C=7+
Les deux fractions ont le même dénominateur…
Ne pas oublier de simplifier la fraction…
…lorsque cela est possible !
Les deux fractions n’ont pas le même dénominateur…
1
5
.
Je transforme la fraction en une fraction de même dénominateur que
16
8
Je multiplie donc son numérateur et son dénominateur par 2 car 8 × 2 = 16
Astuce : 7 =
7
1
II. Produit de nombres en écriture fractionnaire
Règle
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire :
• on multiplie les numérateurs entre eux ;
• on multiplie les dénominateurs entre eux.
Lorsque cela est possible, on essaie de simplifier l’expression avant d’effectuer les multiplications…
Exemples
3 7
×
4 5
3×7
D=
4×5
21
D=
20
¤ D=
5 21
×
12 25
5 × 21
E=
12 × 25
5 × 7×3
E=
4×3 × 5×5
7
E=
4×5
7
E=
20
¤ E=
3
4
136 3
F=
×
1
4
136 × 3
F=
1×4
4×34 × 3
F=
1 × 4×1
102
F=
= 102
1
Avant de multiplier, j’essaie de simplifier…
5 et 25 sont dans la table de 5… De même, 12 et 21 sont dans la table de 3.
Je décompose en produits le numérateur et le dénominateur pour voir les
simplifications éventuelles…
Je simplifie cette fraction par 3 et par 5, au numérateur et au dénominateur.
En effet, on ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant le
numérateur et le dénominateur par un même nombre (voir chapitre 3).
La fraction obtenue est déjà simplifiée…
¤ F = 136 ×
Astuce : 136 =
136
1
III. Et les priorités de calcul ?
Règle
Pour organiser un calcul complexe avec plusieurs opérations, on utilise les mêmes règles de priorité de
calcul que celles vu dans le chapitre n°1 « Organiser un calcul ».
Exemples
4 1
+
5 10
3 4 1
G= – +
1 5 10
3 × 10 4 × 2 1
G=
–
+
1 × 10 5 × 2 10
30 8
1
G=
–
+
10 10 10
22 1
+
G=
10 10
23
G=
10
¤ G=3–
13 5 21
–
×
8 12 10
13 5 × 21
–
H=
8 12 × 10
13
5 × 7×3
–
H=
8 4×3 × 5×2
13
7
H=
–
8 4×2
13 7
H=
–
8 8
6 3
H= =
8 4
¤ H=
3 1–1

×
4 2 6
3 1×3 1
I= ×2×3–6

4 
3 3 1
I= ×6–6

4 
3 2
I= ×
4 6
3×2
I=
4×6
3×2
1
I=
=
2×2 × 3×2 4
¤ I=
Astuce : 3 =
3
1
Comme il n’y a que des additions et des soustractions,
je mets toutes les fractions au même dénominateur...
Voir la règle n°1 du chapitre n°1 :
j’effectue le calcul de gauche à droite…
Voir la règle n°3 du chapitre n°1 :
j’effectue en priorité la multiplication…
Je n’oublie de simplifier la
fraction obtenue, si possible…
Voir la règle n°4 du chapitre n°1 :
j’effectue en priorité les calculs entre parenthèses…
IV.
Quelques problèmes classiques avec des fractions
1. Calculer une fraction restante
Exemple
Thibaut et sa maman Lucie achète une baguette à la boulangerie.
1
2
et sa maman en mange .
En revenant, Thibaut en mange
5
15
Quelle fraction de la baguette reste-t-il lorsqu’ils arrivent à la maison ?
Le calcul à effectuer pour résoudre ce problème est :
1 représente
la baguette entière
Remarque
 2 1
1 – 15 + 5


 2 + 1
15 5 représente ce que


Thibaut et Lucie ont mangé.
Pour effectuer ce calcul, il faut respecter les priorités de calcul vues dans le chapitre n°1…
2. Calculer la fraction d’un nombre (6ème)
Méthode
Exemple
Calculer la fraction d’un nombre revient à multiplier ce nombre par la fraction.
Un groupe de 42 personnes font un séjour de ski à la station Pineige.
Les deux-tiers sont des enfants. Combien y-a-t-il d’enfants ?
Le calcul à effectuer pour résoudre ce problème est :
42 ×
2
3
3. Calculer la fraction d’une fraction
Méthode
Exemple
Calculer la fraction d’une fraction revient à multiplier les deux fractions.
Une bouteille est remplie d’eau aux deux-tiers. Je bois un quart de cette eau.
Quelle fraction de toute la bouteille représente l’eau que j’ai bue ?
Un schéma pour mieux comprendre :
eau contenue
dans la bouteille
2
= de la bouteille
3
eau bue =
Attention de bien lire la consigne !
J’ai bu le quart de l’eau qu’il y avait
dans la bouteille…
Je n’ai pas bu un quart de bouteille !
1
de l’eau
4
Le calcul à effectuer pour résoudre ce problème est :
2 1
×
3 4