Conséquence du théorème de Thalès Réciproque du théorème de

3e Thalès
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Conséquence du théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès
I. Conséquence du théorème de Thalès
1. Enoncé
Propriété : (contraposée du théorème de Thalès)
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en un point A.
Soient B et M deux points de la droite (d) distincts du point A.
Soient C et N deux points de la droite (d’) distincts du point A.
஺ெ
஺ே
Si
≠
, alors les droites (BC) et (MN) NE sont PAS parallèles.
஺஻
஺஼
2.Utilisation pour démontrer que deux droites NE sont PAS parallèles
Exemple :
On considère la figure ci-contre pour
laquelle :
AB = 3 cm ; AM = 9 cm ; AN = 7 cm et
AC = 2cm ;
Les droites (MN) et (BC) sont-elles
parallèles ?
Les droites (CN) et (BM) sont sécantes en A. De plus :
஺ெ
ଽ
D’une part
= =3
஺஻
D’autre part
ଷ
஺ே
஺஼
଻
= = 3,5
ଶ
஺ெ
஺ே
On constate que
≠
஺஻
஺஼
Donc, par conséquence du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne
sont pas parallèles.
car si les droites étaient parallèles, d’après le théorème de Thalès, les rapports seraient égaux.
II. Réciproque du théorème de Thalès
1. Enoncé
Propriété : (réciproque du théorème de Thalès)
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en un point A.
Soient B et M deux points de la droite (d) distincts du point A.
Soient C et N deux points de la droite (d’) distincts du point A.
࡭ࡹ
࡭ࡺ
Si
=
, et si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre,
࡭࡮
࡭࡯
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
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Remarque : Concernant l’ordre des points, on retrouve les trois configurations.
Les points A,M,B et A,N,C sont
alignés dans le même ordre.
Les points A,B,M et A,C,N sont
alignés dans le même ordre.
Les points M,A,B et N,A,C sont
alignés dans le même ordre.
2.Utilisation pour démontrer que deux droites sont parallèles
La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que des droites sont
parallèles.
Exemple :
On considère la figure ci-contre pour
laquelle :
AN = AN’= 2 cm, AM =3 cm, AB = 9 cm
et AC = 6cm.
Les droites (MN) et (BC) sont-elles
parallèles ?
On sait que les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A. De plus :
஺ெ
ଷ
ଵ
D’une part
= =
D’autre part
஺஻
஺ே
஺஼
ଽ
ଶ
= =
଺
஺ெ
ଷ
ଵ
ଷ
஺ே
On constate que
=
஺஻
஺஼
De plus, les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès,
les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Remarque : Constater l’égalité des rapports ne suffit pas, il faut aussi vérifier que
les points sont alignés dans le même ordre.
஺ெ
஺ேᇲ
ଵ
Exemple : Dans l’exemple ci-dessus, on remarque aussi que :
=
= .
஺஻
஺஼
ଷ
Mais les points M, A, B et N’, A, C ne sont pas alignés dans le même ordre et
Les droites (BC) et (MN’) ne sont pas parallèles.