Diagonalisation des matrices carrées : trucs et astuces
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Diagonalisation des matrices carrées : trucs et astuces
Diagonalisation des matrices carrées : trucs et astuces M désigne une matrice de Mn (R). 1. On suppose que M est diagonalisable. Justifier que : X Tr(M) = dim(Eλ ) × λ. λ∈Sp(M) 2. On suppose que la somme des coefficients de chaque ligne de M vaut s : n X ∀i ∈ [[1 ; n]] , mi,j = s. j=1 3. Montrer que s est une valeur propre de M et préciser un vecteur propre associé à s. On suppose que la somme des coefficients de chaque colonne de M vaut s : n X ∀j ∈ [[1 ; n]] , mi,j = s. i=1 4. 5. 6. 7. Montrer que s est une valeur propre de M. On suppose M non inversible. Donner une valeur propre de M et préciser le sous-espace propre associé. On suppose que M ne possède qu’une valeur propre. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable. Remplir le tableau suivant à l’aide de quatre matrices de M2 (R). diagonalisable non diagonalisable ! ! ? ? ? ? inversible ? ? ? ? ! ! ? ? ? ? non inversible ? ? ? ? −1 Pour vérifier que P MP = D sans inverser P... Montrer que : P−1 MP = D ⇔ (P inversible et MP = PD). Lycée Henri Poincaré 1/1 lo