Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients

Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
(ou système d’équation différentielles linéaires scalaire à coefficients
constants du second ordre) du type
d2X ( t )
dt 2
+ A X ( t ) = B( t )
X ( t ) est un vecteur dans un espace vectoriel E de dimension fini n. Il a pour composante
x1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t ) dans une base B ( e1 , e2 ,..., en ) de E. Les composantes de X sont des fonctions
de t ∈ à valeurs réelles ou complexes à déterminer. A est une matrice carrée de dimension n × n à
coefficients constants dans la base B et B ( t ) un vecteur de E dont les composantes sont des fonctions
de t ∈ à valeurs réelles ou complexes. La solution de l’équation est complètement définie par la
condition initiale X ( t 0 ) = X 0 d’après le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa
trigonalisation.
La méthode est la même que celle développée pour la résolution des équations différentielles linéaires
du premier ordre à coefficients constants.
Diagonalisation : si A est diagonalisable, il existe une matrice de passage P dont les colonnes sont les
composantes dans B des vecteurs propres associés à chaque valeur propre de A, et une matrice
diagonale D dans la base des vecteurs propres, formée par les valeurs propres λ k ( k = 1,..., n ) de A, tel
que P −1AP = D . On peut donc écrire :
+ P −1AP P −1X = P −1B
P −1 X
et en posant Q = P −1X , on a à résoudre l’équation :
+ D Q = P −1B ,
Q
Les équations de ce système sont découplées, et il suffit de résoudre les n équations différentielles
linéaires scalaire du second ordre sur les composantes q k de Q :
q k + λ k q k = ( P −1B ) , k = 1,..., n ,
k
pour en déduire X = PQ .
Trigonalisation : si A n’est pas diagonalisable car toutes les conditions précédentes de diagonalisation
ne sont pas remplies, elle peut quand même parfois être trigonalisée.
Dans ce cas, l’équation à résoudre est :
+ T Q = P −1B ,
Q
où T = P −1AP est une matrice triangulaire qui peut être prise sous la forme d’une matrice réduite de
Jordan.
Exemple : Deux oscillateurs harmoniques unidimensionnels couplés.
1
Th.C