Cours 11

UQAM, MAT2030 - Introduction à la géométrie
Hiver 2009
– Cours 11 –
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Rappels sur les applications
Pour bien comprendre les principes de translations, rotations etc. Nous aurons besoins de
la notion d’application.
Tout le monde connait la fonction
f : R+ −→ R
√
x 7−→
x
(R+ = {x ∈ R | x ≥ 0})
Mais que veut vraiment signifier le mot “fonction”. Intuitivement, une fonction est une règle qui
permet d’associer à tout élément d’un ensemble E un et un seul élément d’un ensemble F . On
l’appelle application en général (voir le cours d’algèbre 1 pour une définition formelle).
Notation. – On écrit f : E → F pour dire que f est une application de l’ensemble E vers
l’ensemble F .
– L’unique image d’un élément x ∈ E par la application f est noté f (x).
Exemple. (a) Soit E un ensemble, l’identité sur E est la application
IdE : E −→ E
x 7−→ x
(b) Un suite (un )n∈I est une application u : I → E où I ⊆ N et E est un ensemble.
(c) L’addition sur N (mais aussi sur Z, Q et R) est une application
+ : N × N −→ N
(n, m) 7−→ n + m
De même, la multiplication est une application.
(d) L’addition dans un espace vectoriel, ainsi que la multiplication d’un vecteur par un scalaire
sont des applications.
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3.1
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Image directe et réciproque
Définition. Soit f : E → F une application.
1. L’ensemble
Im(f ) = {f (x) | x ∈ E} = {y ∈ F | ∃x ∈ E, f (x) = y} ⊆ F
est appelé l’image de E par f .
2. Si A ⊆ E, alors f (A) ⊆ F est l’image (directe) de A par f . On a donc Im(f ) = f (E).
3. Si B ⊆ F , alors l’ensemble
f −1 (B) = {x ∈ E | f (x) ∈ B}
est l’image réciproque (ou inverse) de B par f . On a donc f −1 (F ) = E. Si B = {y} est
un singleton, on écrit aussi simplement f −1 (y) au lieu de f −1 ({y}).
Exemple. On considère l’application
f : R+ −→ R
√
x 7−→
x
√
Alors Im(f ) = R+ ; f (N) = {n2 | n ∈ N} ; f −1 ({ 2, 4, 3, −3}) = {2, 16, 9} car −3 n’a pas
d’antécédant. De même, f −1 ({x ∈ R | x < 0}) = ∅ car aucun réel négatif n’a d’antécédant.
3.2
Composition d’applications
Définition. Si f : A → B et g : B → C sont des applications, alors g ◦ f , appelée composée
(ou composition) de f et g, est l’application de A à C définie par : (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀x ∈ A.
√
Exemple. Soient f : N → R+ et g : R+ → R√définient pas f (n) = n et g(x) = x2 + x + 1.
Alors g ◦ f : N → R tel que (g ◦ f )(n) = n + n + 1.
Proposition 3.1. Soient f : A → B, g : B → C et h : C → D trois applications, alors :
1. h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
(associativité) ;
2. f ◦ IdA = f et IdB ◦ f = f
(éléments neutres).
Démonstration. Si x ∈ A on a :
(1) (h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))) = (h ◦ g)(f (x)) = ((h ◦ g) ◦ f )(x).
(2) f ◦ IdA (x) = f (IdA (x)) = f (x). De même (IdB ◦ f )(x) = IdB (f (x)) = f (x).
Remarque. f ◦ g 6= g ◦ f en général. La composition n’est pas commutative !
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3.3
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Applications inversibles
Définition. Une application f : E → F est inversible si f −1 (y) = {x} est un singleton pour
tout y ∈ F .
Voici une caractérisation très importante des applications inversibles.
Théorème 3.2. Une application f : E → F est inversible si et seulement si il existe une
application g : F → E tel que
g ◦ f = IdE
et f ◦ g = IdF
Dans ce cas on note g = f −1 l’application inverse.
Démonstration. Voir algèbre 1.
Remarque. Si f : E → F est une application inversible, alors il est clair que f −1 est une
application de F dans E, f −1 : F → E, qui est aussi inversible.
Exemple. (a) L’identité IdE est inversible et IdE −1 = IdE .
(b) L’application f : Z → N définie par f (n) = n2 n’est pas inversible car l’image inverse
de 4 est {−2, 2} qui n’est pas un singleton.
3.4
Injection, surjection, bijection
Définition. Soit f : E → F une application. On dit que :
1. f est injective si pour tout x, x0 ∈ E : f (x) = f (x0 ) =⇒ x = x0 . On dit aussi que f est
une injection.
2. f est surjective si f (E) = F . On dit aussi que f est une surjection.
3. f est bijective si f est injective et surjective. On dit aussi que f est une bijection. On dit
alors que E est en bijection avec F .
Remarque. (a) f est injective si et seulement si f −1 (y) est un singleton pour tout y ∈ Im(F ).
(b) f est surjective si et seulement si pour tout y ∈ F il existe x ∈ E tel que f (x) = y.
(c) f est bijective si et seulement si f −1 (y) est un singleton pour tout y ∈ F ;
Exemple. (a) L’application f : R → R définie par f (x) = |x| n’est pas surjective car −1 n’a pas
d’antécédent. Elle n’est pas non plus injective f (−2) = 2 = f (2).
(b) Par contre, l’application g = f |R+ : R+ → R est injective : si x, x0 ∈ R+ tel que g(x) = g(x0 ),
alors x = |x| = |x0 | = x0 car x.x0 ≥ 0.
(c) L’application h : R+ → R+ définie par f (x) = |x| est une bijection.
Injectivité : comme ci-dessus.
Surjectivité : On a bien h(R+ ) = R+ .
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Hiver 2009
Théorème 3.3. Soit f : E → F une application. Alors f est inversible si et seulement si f
est une bijection.
Démonstration. Par définition, f est inversible si et seulement si f −1 (y) est un singleton pour
tout y ∈ F . On conclut par la remarque ci-dessus.
3.5
Groupes d’applications
Soit E un ensemble, alors l’ensemble des bijections de E vers E, noté SE est un groupe pour
la composition. C’est à dire que
1. IdE ∈ SE (existence d’un élément neutre).
2. Si f, g ∈ SE , f ◦ g ∈ SE (stabilité par composition qui est associative). En effet,
(f ◦ g) ◦ (g −1 ◦ f −1 ) = (g −1 ◦ f −1 ) ◦ (f ◦ g) = IdE .
Donc f ◦ g est une bijection et (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 , par Théoreèmes 3.2 et 3.3.
3. Si f ∈ SE , alors f −1 : E → E est aussi inversible, donc une bijection (existence d’un
inverse).
Plus tard, on aura besoin de la notion de sous-groupes de SE : G ⊂ SE est un sous-groupe
si :
1. IdE ∈ G.
2. Si f, g ∈ G, alors f ◦ g ∈ G.
3. Si f ∈ G, alors f −1 ∈ G.
Exemple. G = {f : R → R | f (x) = ax, a ∈ R∗ } est un sous-groupe de SR l’ensemble des
bijection sur R. En effet, IdR (x) = x (a = 1) ; si f (x) = ax et g(x) = bx alors (f ◦ g)(x) = abx
donc f ◦ g ∈ G ; l’inverse de f (x) = ax, a 6= 0, est f −1 (x) = x/a.
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